Кіріспе

Геометрияның негізгі кеңістігі — Евклид кеңістігі физикалық кеңістікті бейнелеуге арналған геометрияның негізгі кеңістігі болып табылады. Бастапқыда, Евклидтің «Элементтерінде» ол Евклид геометриясының үш өлшемді кеңістігі ретінде қарастырылған, бірақ қазіргі математикада кез келген оң бүтін сан n үшін Евклидтік кеңістіктер бар, олар өлшемдерін нақтылау үшін Евклидтік n кеңістіктері деп аталады. n бір немесе екіге тең болғанда, олар тиісінше Евклидтік түзулер және Евклидтік жазықтықтар деп аталады. «Евклидтік» деген сөз физика мен қазіргі математикада кейінірек қарастырылған басқа кеңістіктерден Евклидтік кеңістіктерді ажырату үшін қолданылады. Ежелгі грек геометрлері физикалық кеңістікті модельдеу үшін Евклид кеңістігін енгізді. Олардың еңбектерін Евклид өзінің «Элементтері» атты еңбегінде жинақтады, кеңістіктің барлық қасиеттерін теоремалар түрінде дәлелдеудің жаңашылдығын көрсетті. Бұл дәлелдемелер постулаттар деп аталатын бірнеше негізгі қасиеттерге негізделген, олар айқын (мысалы, екі нүктеден өтетін тек бір түзу сызық бар) немесе дәлелдеуге мүмкін емес сияқты (параллельдік постулат) деп есептелді. 19 ғасырдың соңында Евклидтік емес геометриялар енгізілгеннен кейін, ескі постулаттар Евклид кеңістіктерін аксиоматикалық теория арқылы анықтау үшін қайта формальданды. Векторлық кеңістіктер мен сызықтық алгебра арқылы Евклид кеңістіктерінің басқа анықтамасы аксиоматикалық анықтамамен эквивалентті екені көрсетілді. Қазіргі математикада осы анықтама жиі қолданылады және осы мақалада егжей-тегжейлі сипатталған. Барлық анықтамалар бойынша, Евклид кеңістігі нүктелерден тұрады, олар Евклид кеңістігін құру үшін қажетті қасиеттерімен ғана анықталады. Әрбір өлшем үшін тек бір ғана Евклид кеңістігі бар; яғни, берілген өлшемнің барлық Евклид кеңістіктері изоморфты. Сондықтан, әдетте, белгілі бір Евклид кеңістігімен жұмыс істеуге болады, мысалы, , оны стандартты скалярлық көбейтумен жабдықталған нақты n кеңістігі ретінде Картезиандық координаттарды қолдану арқылы бейнелеуге болады.

Анықтаманың тарихы

Евклидтік кеңістік ежелгі гректердің біздің физикалық кеңістігіміздің абстракциясы ретінде енгізгені. Олардың Евклидтің "Элементтер" еңбегінде пайда болған маңызды жаңалығы – физикалық әлемнен абстрактталған, математикалық тұрғыдан дәлелдеуге болмайтын бірнеше негізгі қасиеттерден бастап, геометрияның барлық құрылысын және дәлелдемесін жасау болды. Бұл қасиеттер қазіргі тілде постулаттар немесе аксиомалар деп аталады. Евклидтік кеңістікті анықтаудың осы әдісі бүгінге дейін синтетикалық геометрия деп аталады. 1637 жылы Рене Декарт картезиандық координаттарды енгізіп, олардың геометриялық мәселелерді сандармен алгебралық есептеулерге келтіруге мүмкіндік беретінін көрсетті. Геометрияны алгебраға дейін тоғыстыру – бұл маңызды көзқарас өзгерісі болды, себебі соған дейін нақты сандар ұзындықтар мен қашықтықтар арқылы анықталған. Евклидтік геометрия 19 ғасырға дейін үш өлшемнен артық кеңістіктерде қолданылмады. Людвиг Шлефли синтетикалық және алгебралық әдістерді пайдаланып, Евклидтік геометрияны n өлшемді кеңістікке жалпылады және кез келген өлшемдегі Евклидтік кеңістікте барлық тұрақты политоптарды (Платондық денелердің жоғары өлшемді аналогтары) ашты. Декарттың аналитикалық геометрия деп аталатын тәсілі кеңінен қолданылғанына қарамастан, Евклидтік кеңістіктің анықтамасы 19 ғасырдың соңына дейін өзгеріссіз қалды. Абстрактты векторлық кеңістіктерді енгізу олардың Евклидтік кеңістіктерді таза алгебралық анықтамамен анықтауға мүмкіндік берді. Бұл жаңа анықтама геометриялық аксиомалар тұрғысынан классикалық анықтамамен эквивалентті екені дәлелденді. Қазір Евклидтік кеңістіктерді енгізу үшін осы алгебралық анықтама жиі қолданылады.

Қазіргі заманғы анықтаманың мотивациясы

Евклид жазықтығын қарастырудың бір жолы – қашықтық пен бұрыштар арқылы өрнектелетін белгілі бір қатынастарды қанағаттандыратын нүктелер жиыны. Мысалы, жазықтықта екі негізгі амал (қозғалыстар деп аталады) бар. Біріншісі – аудару, яғни жазықтықтың жылжуы, нәтижесінде әрбір нүкте бір бағытта және бірдей қашықтыққа жылжады. Екіншісі – жазықтықтағы белгілі бір нүкте маңында айналу, онда жазықтықтағы барлық нүктелер сол нүктеге қатысты бірдей бұрышқа бұрылады. Евклид геометриясының негізгі қағияттарының бірі – егер жазықтықтың екі фигурасын (көбінесе ішкі жиынтықтар ретінде қарастырылады) аудару, айналу және кері түрлендірулердің (төменде қараңыз) белгілі бір тізбегі арқылы бір фигурадан екіншісіне өткел жасау мүмкін болса, олар тең (конгруэнтті) деп есептелуі керек. Бұның бәрін математикалық тұрғыдан нақтылау үшін теорияда Евклид кеңістігі және оған байланысты қашықтық, бұрыш, аудару және айналу ұғымдары анық берілуі тиіс. Физикалық теорияларда қолданылғанда да Евклид кеңістігі – нақты физикалық орналасқан жерлерден, координаттық жүйелерден, өлшеу құралдарынан және т.б. ажыратылған абстракция болып табылады. Евклид кеңістігінің математикалық анықтамасы ұзындық бірліктері және басқа физикалық өлшемдер туралы сұрақтарды да ескермейді: «математикалық» кеңістіктегі қашықтық – сан, оны дюйм немесе метрмен білдіруге болмайды. Евклид кеңістігін математикалық тұрғыдан анықтаудың стандартты тәсілі, осы мақаланың қалған бөлігінде көрсетілгендей, ішкі көбейтіндімен жабдықталған аударма кеңістігінде әрекет ететін нүктелер жиыны ретінде қарастыру болып табылады. Аудармалардың әрекеті кеңістікті аффиндік кеңістікке айналдырады, бұл сызықтарды, жазықтықтарды, ішкі кеңістіктерді, өлшемді және параллельдікті анықтауға мүмкіндік береді. Ішкі көбейтінді қашықтық пен бұрыштарды анықтауға мүмкіндік береді. Нақты сандардың n-тік жұбы, нүктелік көбейтіндімен жабдықталған, n өлшемді Евклид кеңістігі болып табылады. Керісінше, бастапқы нүкте деп аталатын нүктені және аударма кеңістігінің ортонормалдық базисін таңдау n өлшемді Евклид кеңістігі мен Евклид кеңістігі ретінде қаралатын кеңістік арасындағы изоморфизмді анықтауға тең. Осыдан келіп, Евклид кеңістігі туралы айтылатын барлық нәрсені де айтуға болады. Сондықтан көптеген авторлар, әсіресе элементарлық деңгейде, оны стандартты n өлшемді Евклид кеңістігі немесе жай ғана n өлшемді Евклид кеңістігі деп атайды.

Евклид кеңістіктерінің осындай абстрактілі анықтамасын енгізудің және онымен жұмыс істеудің себебі – көбінесе координаттарға және бастапқы нүктеге тәуелді болмай жұмыс істеуге қажеттілік (яғни, белгілі бір базисті және бастапқы нүктені таңдамай). Тағы бір себеп – физикалық әлемде бастапқы нүкте де, базис те жоқ.

Техникалық анықтама

A – нақты сандар бойынша шекті өлшемді ішкі өнім кеңістігі. Евклид кеңістігі – ассоциацияланған векторлық кеңістігі Евклидтік векторлық кеңістік болатын нақты сандар үстіндегі аффиндік кеңістік. Евклид кеңістігі кейде Евклидтік аффиналық кеңістік деп аталады, оны Евклидтік векторлық кеңістіктен ажырату үшін. Егер E – Евклид кеңістігі болса, оның байланысты векторлық кеңістігі (Евклидтік векторлық кеңістігі) жиі деп белгіленеді. Евклид кеңістігінің өлшемдері – оның байланысты векторлық кеңістігінің өлшемдері. E элементтері нүктелер деп аталады және әдетте үлкен әріптермен белгіленеді. элементтері Евклидтік векторлар немесе еркін векторлар деп аталады. Оларды аудармалар деп те атайды, бірақ дұрыс айтқанда аударма – бұл Евклид кеңістігінде Евклидтік вектордың әрекеті нәтижесінде пайда болған геометриялық түрлендіру. P нүктесі бойынша v трансляциясының әрекеті P + v деп белгіленетін нүкте береді. Бұл әрекет келесіні қанағаттандырады. Ескерту: Сол жақтағы екінші + – векторлық қосымша; қалғандары + – вектордың нүктеге әрекет етуін білдіреді. Бұл белгілер екіұшты емес, өйткені + таңбасының екі мағынасын ажырату үшін оның сол жақ аргументінің табиғатына қарау жеткілікті. Әрекеттің еркін және транзитивті болуы әрбір (P, Q) нүктелер жұбы үшін дәл бір орын ауыстыру векторы v бар екенін білдіреді, яғни P + v = Q. Бұл v векторы Q − P деп белгіленеді немесе. Бұрын түсіндірілгендей, Евклид кеңістіктерінің кейбір негізгі қасиеттері аффиндік кеңістіктің құрылымынан туындайды. Олар осы бөлімде және оның кіші бөлімдерінде сипатталған. Ішкі өнімнен туындайтын қасиеттер осы бөлімде және оның кіші бөлімдерінде түсіндіріледі.

Үлгі үлгілері

Кез келген векторлық кеңістік үшін қосы, векторлық кеңістіктің өзінде еркін және транзитивті әрекет етеді. Сондықтан, Евклидтік векторлық кеңістікті, өзімен байланысты векторлық кеңістік ретінде қарастырылатын Евклидтік кеңістік ретінде қарастыруға болады. Евклидтік векторлық кеңістіктің әдеттегі жағдайы, нүктелік көбейтіндісі ішкі көбейтінді ретінде жабдықталған векторлық кеңістік ретінде қарастырылады. Осы Евклид кеңістігінің ерекше мысалының маңыздылығы, әрбір Евклид кеңістігі оған изоморфты болып табылуында. Нақтырақ айтқанда, n өлшемді E Евклид кеңістігін қарастыра отырып, оны бастапқы нүкте деп аталатын бір нүктені және ортонормалды базисті таңдау, E-ден өзіне дейінгі Евклид кеңістіктерінің изоморфизмін анықтайды. n өлшемді әрбір Евклид кеңістігі оған изоморфты болғандықтан, Евклид кеңістігі кейде n өлшемді стандартты Евклид кеңістігі деп аталады.

Бір-біріне жақын құрылым

Евклид кеңістігінің кейбір негізгі қасиеттері оның аффиндік кеңістік екендігіне ғана байланысты. Бұл қасиеттер аффиндік қасиеттер деп аталады және сызықтар, кіші кеңістіктер мен параллелизм ұғымдарын қамтиды, олар келесі тармақтарда толыққанды қарастырылады.

Паралельдік

Евклид кеңістігіндегі бірдей өлшемді S және T екі субкеңістігі, егер олардың бағыты бірдей болса, параллель болады (яғни, бірдей қатысты векторлық кеңістік). Балама түрінде, егер бірін екіншісіне бейімдейтін v трансляциялық векторы болса, олар параллель болады.

P нүктесі мен S субкеңістігі берілгенде, P-ні қамтитын және S-ке параллель болатын дәл бір субкеңістік бар. Егер S түзу (бір өлшемді субкеңістік) болса, бұл қасиет Плейфейр аксиомасы болып табылады. Осыдан Евклид жазықтығында екі түзу бір нүктеде қиылысады немесе параллель болады деген қорытынды шығады. Параллель субкеңістіктер ұғымы әр түрлі өлшемді субкеңістіктерге де қатысты: егер біреуінің бағыты екіншісінің бағытында жатса, екі субкеңістік параллель болады.

Басқа координаттар

Евклид кеңістігі аффиндік кеңістік болғандықтан, оны аффиндік шеңбер деп қарастыруға болады, ол Евклидтік шеңбермен бірдей, бірақ негіздің ортонормалды болуы талап етілмейді. Бұл аффиндік координаттарды анықтайды, кейде негізгі векторлар жұптық ортогональ емес екенін көрсету үшін бұрыштық координаттар деп те аталады. n өлшемді Евклид кеңістігінің аффиндік негізі – гипержазықтықта жатпайтын n + 1 нүктелер жиынтығы. Аффиндік негіз кез келген нүкте үшін барицентрлік координаттарды анықтайды. n өлшемді Евклид кеңістігінде көптеген басқа координата жүйелерін келесідей анықтауға болады. f гомеоморфизм (немесе көбінесе диффеоморфизм) болсын, ол E кеңістігінің тығыз ашық ішкі жиынынан E кеңістігінің ашық ішкі жиынына өтеді. E кеңістігінің x нүктесінің координаттары – f(x) функциясының компоненттері. Осылайша полярлық координаттар жүйесі (2 өлшем) және сфералық және цилиндрлік координаттар жүйесі (3 өлшем) анықталады. f функциясының анықталу облысынан тыс жатқан нүктелер үшін координаталар кейде жақын орналасқан нүктелердің координаттарының лиміті ретінде анықталуы мүмкін, бірақ мұндай координаталар бірегей болуы міндетті емес және нүктеге жақын аймақта үздіксіз болмауы мүмкін. Мысалы, сфералық координаттар жүйесінде бойлық полюсте анықталмайды, ал антимеридианда бойлық -180°-тан +180°-қа дейін үзіліспен өтеді. Координаталарды анықтаудың осы әдісі басқа математикалық құрылымдарға, әсіресе көптіктерге оңай қолданылады.

Топология

Евклидтік қашықтық Евклидтік кеңістікті метрикалық кеңістікке, ал одан кейін топологиялық кеңістікке айналдырады. Бұл топология Евклидтік топология деп аталады. Бұл топология үшін өнім топологиясы да қолданылады. Ашық жиындар – олардың әрбір нүктесінің маңында ашық шар болатын жиынтар. Басқаша айтқанда, ашық шарлар осы топологияның базасын құрайды. Евклидтік кеңістіктің топологиялық өлшемі оның геометриялық өлшемімен тең. Бұл әртүрлі өлшемдердегі Евклидтік кеңістіктер гомеоморфты емес екенін көрсетеді. Сонымен қатар, доменнің инварианттылық теоремасы, Евклидтік кеңістіктің ішкі жиыны, егер және тек қана сол өлшемдегі Евклидтік кеңістіктің ашық ішкі жиынына гомеоморфты болса, ғана ашық болады (ішкі кеңістік топологиясы үшін). Евклидтік кеңістіктер толық және жергілікті түрде ықшам. Яғни, Евклидтік кеңістіктің жабық ішкі жиыны, егер ол шектеулі болса (яғни бір шардың ішінде орналасқан болса), ықшам болады. Атап айтқанда, жабық шарлар ықшам болады.

Аксиоматикалық анықтамалар

Бұл мақалада сипатталған Евклид кеңістіктерінің анықтамасы Евклидтің анықтамасынан түбегейлі өзгеше. Шындығында, Евклид кеңістікті формалды түрде анықтаған жоқ, себебі ол адам санасынан тәуелсіз болатын физикалық әлемнің сипаттамасы ретінде қарастырылды. Формалды анықтамаға қажеттілік тек 19 ғасырдың соңында, Евклид емес геометрияның енгізілуімен туды. Екі түрлі тәсіл қолданылды. Феликс Клейн геометрияны оның симметриялары арқылы анықтауды ұсынды. Осы мақалада келтірілген Евклид кеңістіктерінің ұсынылымы негізінен оның Эрланген бағдарламасынан туындаған, аудармалар мен изометриялар топтарына баса назар аударылған. Екінші жағынан, Давид Гильберт Евклидтің постулаттарынан шабыттанған аксиомалар жиынтығын ұсынды. Олар синтетикалық геометрияға жатады, өйткені олар нақты сандардың ешқандай анықтамасын қамтымайды. Кейін Г.Д. Бирхофф және Альфред Тарски нақты сандарды пайдаланатын аксиомалардың қарапайым жиынтығын ұсынды (Бирхофф аксиомалары мен Тарски аксиомаларына қараңыз). Геометриялық алгебрада Эмиль Артин Евклид кеңістігінің барлық осы анықтамалары эквивалентті екенін дәлелдеді. Евклид кеңістіктерінің барлық анықтамалары Гильберт аксиомаларын қанағаттандыратынын және нақты сандарды қамтитын (жоғарыда келтірілген анықтаманы қоса алғанда) эквивалентті екенін дәлелдеу өте оңай. Артиннің дәлелінің қиын бөлігі мынада. Гильберт аксиомаларында конгруэнция – келесілердегі эквиваленттілік қатынасы. Сондықтан келесінің ұзындығын оның эквиваленттілік класы ретінде анықтауға болады. Осылайша, бұл ұзындық теріс емес нақты сандарды сипаттайтын қасиеттерді қанағаттандыратынын дәлелдеу қажет. Артин бұл туралы Гильберт аксиомаларымен дәлелдеді.

Қолданылуы

Ежелгі гректерден бері Евклид кеңістігі физикалық әлемдегі нысандарды модельдеу үшін пайдаланылып келеді. Сондықтан ол физика, механика және астрономия сияқты көптеген ғылымдарда қолданылады. Бұған қоса, сәулет, геодезия, топография, навигация, өнеркәсіптік дизайн немесе техникалық сурет сияқты нысандардың пішіні, мүсіні, орналасуы және позициясымен айналысатын барлық техникалық салаларда кеңінен қолданылады. Үштен жоғары өлшемді кеңістік физиканың бірнеше қазіргі заманғы теорияларында кездеседі; Қараңыз: Жоғары өлшем. Олар физикалық жүйелердің конфигурациялық кеңістіктерінде де кездеседі. Евклид геометриясынан өзге, Евклид кеңістіктері математиканың басқа да салаларында кеңінен қолданылады. Дифференциалданатын көптемелердің жанама кеңістіктері – Евклид векторлық кеңістіктері. Жалпы алғанда, көптеме – Евклид кеңістіктерімен жергілікті түрде жуықталған кеңістік. Көптеген Евклид емес геометрияларды көптеме арқылы модельдеуге және жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне енгізуге болады. Мысалы, эллипстік кеңістікті эллипсоид арқылы модельдеуге болады. Евклид кеңістігінде геометриялық сипаттамасы жоқ математикалық нысандарды бейнелеу жиі кездеседі. Мұндай мысалдардың бірі – графтардың стандартты бейнеленуі.

Басқа геометриялық кеңістіктер

19-шы ғасырдың соңында Евклидтік емес геометриялар енгізілгеннен бері көптеген кеңістік түрлері қарастырылды, олар бойынша Евклидтік кеңістіктердегідей геометриялық ой-қырлы жүргізуге болады. Жалпы, олар Евклидтік кеңістіктермен кейбір қасиеттерін бөліседі, бірақ оларға өте ерекше сипаттамалар тән болуы мүмкін. Осы кеңістіктердің кейбіреулері өздерінің анықтамасы үшін Евклидтік геометрияны пайдаланады немесе жоғары өлшемді Евклидтік кеңістіктің ішкі кеңістіктері ретінде бейнеленуі мүмкін. Егер мұндай кеңістік геометриялық аксиомалар арқылы анықталса, оны Евклидтік кеңістікке енгізу – оның анықтамасының дұрыстығын дәлелдеудің немесе, дәлірек айтқанда, Евклидтік геометрия дұрыс болса, оның теориясының дұрыстығын дәлелдеудің қалыпты жолы болып табылады (бірақ оны дәлелдеу мүмкін емес).

Афиналық кеңістік

Евклид кеңістігі — метрикамен жабдықталған аффиндік кеңістік. Аффиндік кеңістіктер математикада көптеген басқа да қолданыстарға ие. Атап айтқанда, олар кез келген денеде анықталғандықтан, геометрияны басқа контексттерде жасауға мүмкіндік береді. Сызықтық емес мәселелер қарастырыла бастағанда, Эвклид кеңістіктерінің жалғасы ретінде кешенді сандардағы аффиндік кеңістіктерді қарастыру көбінесе пайдалы болады. Мысалы, шеңбер және түзу кешенді аффиндік кеңістікте әрқашан екі қиылысу нүктесіне (бір-бірінен әртүрлі немесе бірдей болуы мүмкін) ие болады. Сондықтан, алгебралық геометрияның көп бөлігі кешенді аффиндік кеңістіктерде және алгебралық жабық денелердегі аффиндік кеңістіктерде құрылады. Осы аффиндік кеңістіктерде алгебралық геометрияда зерттелетін пішіндер аффиндік алгебралық сорттар деп аталады. Рационалдық сандар және жалпы алғанда алгебралық сандар денелеріндегі аффиндік кеңістіктер (алгебралық) геометрия мен сандар теориясы арасында байланыс орнатады. Мысалы, Ферманың соңғы теоремасын былай тұжырымдауға болады: "екіден жоғары дәрежедегі Ферма қисығының рационалдар үстіндегі аффиндік жазықтықта нүктесі жоқ". Сондай-ақ, шекті денелердегі аффиндік кеңістіктердегі геометрия кеңінен зерттелген. Мысалы, шекті денелердегі эллипстік қисықтар криптографияда кеңінен қолданылады.

Жобалау кеңістігі

Бастапқыда проекциялық кеңістіктер Евклид кеңістіктеріне "шегінсіз нүктелерді" қосу арқылы енгізілген, ал жалпы алғанда аффиндік кеңістіктерге "екі бір жазықтықтағы түзу дәл бір нүктеде қиылысады" деген тұжырымды дұрыс ету үшін. Проекциялық кеңістік Евклидтік және аффиндік кеңістіктермен бірдей изотроптық қасиетке ие, яғни кеңістіктің екі нүктені немесе екі түзуді ажыратуға мүмкіндік беретін ешқандай қасиеті жоқ. Сондықтан, көбінесе одан да изотроптық анықтама қолданылады, ол проекциялық кеңістікті бір өлшем артық векторлық кеңістіктегі векторлық түзулер жиынтығы ретінде анықтаудан тұрады. Аффиндік кеңістіктер сияқты, проекциялық кеңістіктер кез келген денеде анықталады және алгебралық геометрияның негізгі кеңістігі болып табылады.

Евклидтік емес геометриялар

Евклидтік емес геометрия әдетте параллельдік постулат дұрыс емес геометриялық кеңістіктерді қарастырады. Оларға эллипстік геометрия жатады, онда үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-тан артық, және гиперболалық геометрия, онда бұл қосынды 180°-тан кем. Олардың 19 ғасырдың екінші жартысында енгізілуі және олардың теориясының қарама-қайшылықсыз екендігінің дәлелденуі (Евклид геометриясы қарама-қайшылықсыз болған жағдайда) – 20 ғасырдың басында математикадағы негізгі дағдарыстың туындауына себеп болған парадокстардың бірі және математикадағы аксиоматикалық теорияларды жүйелеуге ықпал етті.

Бұрышты кеңістіктер

Көпқырлы – әрбір нүктесінің маңында Евклид кеңістігіне ұқсайтын кеңістік. Техникалық тұрғыдан алғанда, көпқырлы – бұл топологиялық кеңістік, яғни әрбір нүктеде Евклид кеңістігінің ашық ішкі жиынына гомеоморфты көршілес аймақ болады. Көпқырлыларды осы "ұқсастықтың" күшейе түсу дәрежесі бойынша топологиялық көпқырлыларға, дифференциалданатын көпқырлыларға, тегіс көпқырлыларға және аналитикалық көпқырлыларға жіктеуге болады. Дегенмен, осы "ұқсастықтың" ешбір түрі қашықтықтар мен бұрыштарды, тіпті шамамен да сақтамайды. Тегіс көпқырлыда қашықтықтар мен бұрыштарды анықтау үшін көпқырлы нүктелеріндегі жанама кеңістіктерде тегіс өзгеретін Евклид метрикасын беру қажет (осы жанама кеңістіктер Евклид векторлық кеңістіктері болып табылады). Бұл Риман көпқырлысына алып келеді. Жалпы алғанда, Риман көпқырлысында түзу сызықтар болмайды, бірақ олардың орнын геодезиялықтар атқарады, олар екі нүкте арасындағы "ең қысқа жолдар". Бұл геодезиялықтар бойымен өлшенетін қашықтықты және геодезиялықтар арасындағы бұрышты анықтауға мүмкіндік береді, бұл олардың қиылысу нүктесіндегі жанама кеңістіктегі жанамаларының бұрышы болып табылады. Осылайша, Риман көпқырлылары жергілікті түрде иілген Евклид кеңістігі сияқты мінез-құлық көрсетеді. Евклид кеңістіктері тривиальды түрде Риман көпқырлылары болып табылады. Мұны жақсы көрсететін мысал – шардың беті. Бұл жағдайда геодезиялықтар – үлкен шеңберлердің доғалары, олар навигация контекстінде ортодромалар деп аталады. Көбінесе, Евклид емес геометриялардың кеңістіктері Риман көпқырлылары ретінде жүзеге асырылуы мүмкін.

Псевдо-Евклид кеңістігі

Нақты векторлық кеңістіктің ішкі көбейтіндісі — оң белгілі билинейлік форма, және осымен оң белгілі квадраттық форма арқылы сипатталады. Псевдоевклидтік кеңістік — бұл аффиндік кеңістік, оған сәйкес нақты векторлық кеңістік, ол дегенерацияланбаған квадраттық формамен жабдықталған (ол белгісіз болуы мүмкін). Мұндай кеңістіктің негізгі мысалы — Минковский кеңістігі, ол Эйнштейннің арнайы салыстырмалылық теориясының кеңістік-уақыты болып табылады. Бұл төрт өлшемді кеңістік, онда метрика квадраттық формамен анықталады:

мұнда соңғы координата (t) — уақыттық, ал қалған үшеуі (x, y, z) — кеңістіктік. Гравитацияны ескергенде, жалпы салыстырмалылық теориясы Минковский кеңістіктерін жанама кеңістіктер ретінде пайдаланатын псевдо-Риманн манифольдін қолданады. Бұл манифольдтың қисықтығы — сол нүктедегі гравитациялық өрістің мәніне байланысты.