Кіріспе

"Бейкілдіктегі нүкте" қосылған 2D кеңістіктің геометриялық тұжырымдамасы. Математикада проективті жазықтық – жазықтық ұғымын кеңейтетін геометриялық құрылым. Кәдімгі Евклид жазықтығында екі түзу әдетте бір нүктеде қиылысады, бірақ параллель түзулер сияқты қиылыспайтын түзулер жұбы да болады. Проективті жазықтықты параллель түзулердің қиылысатын "бұйымсыздық нүктелерімен" жабдықталған қарапайым жазықтық ретінде қарастыруға болады. Осылайша, проективті жазықтықтағы кез келген екі түрлі түзу дәл бір нүктеде қиылысады. Ренессанс суретшілері перспективада салу әдістерін дамыту арқылы осы математикалық тақырыптың негізін қалады. Архетипілік мысал – нақты проективті жазықтық, сондай-ақ кеңейтілген Евклид жазықтығы деп те аталады. Бұл мысал, сәл өзгеше түрінде, алгебралық геометрия, топология және проективті геометрия салаларында маңызды, онда оны PG(2, R), RP2 немесе P2(R) сияқты әртүрлі белгілермен көрсетуге болады. Күрделі проективті жазықтық сияқты шексіз және Фано жазықтығы сияқты шекті, көптеген басқа проективті жазықтықтар да бар. Проективті жазықтық – 2 өлшемді проективті кеңістік. Барлық проективті жазықтықтарды 3 өлшемді проективті кеңістікке ендіру мүмкін емес; мұндай ендіру Desargues теоремасы деп аталатын қасиеттің салдары болып табылады, ол барлық проективті жазықтықтарға тән емес.

Жобалаушы Моултон жазықтығы

Моултон жазықтығының нүктелері – Евклид жазықтығының нүктелері, координаталары әдеттегідей берілген. Евклид жазықтығынан Моултон жазықтығын жасау үшін кейбір түзулер қайта анықталады. Яғни, олардың нүктелер жиындарының бір бөлігі өзгертіледі, ал қалған түзулер өзгеріссіз қалады. Теріс еңіске ие барлық түзулерді қайта анықтап, оларды "қисайған" түзулерге айналдырамыз. Бұл дегеніміз, осы түзулер теріс x координаталарына ие нүктелерін сақтайды, бірақ қалған нүктелері оң x координаталарында сол y-төспен қиылысатын, бірақ екі есе еңісі бар түзудің нүктелерімен алмастырылады. Моултон жазықтығы параллель түзулер кластарына ие және ол аффинді жазықтық болып табылады. Бұрынғы мысалдағыдай, проективті Моултон жазықтығын алу үшін проекциялауға болады. Десарг теоремасы Моултон жазықтығында да, проективті Моултон жазықтығында да дұрыс теорема емес.

Векторлық кеңістіктің құрылысы

Ұзартылған нақты жазықтықтың шексіздіктегі түзуі проективті жазықтықтың басқа түзулерінен өзгеше табиғатқа ие болғандай көрінсе де, бұл олай емес. Сол проективті жазықтықтың тағы бір құрастырылысы, ешбір түзуді (геометриялық тұрғыдан) басқасынан ажыратуға болмайтынын көрсетеді. Бұл құрастырылымда нақты проективті жазықтықтың әрбір "нүктесі" – 3 өлшемді векторлық кеңістіктегі бастапқы нүкте арқылы өтетін бір өлшемді ішкі кеңістік (геометриялық түзу), ал проективті жазықтықтағы "түзу" – 3 кеңістіктегі бастапқы нүкте арқылы өтетін (геометриялық) жазықтықтан туындайды. Бұл идеяны келесідей жалпылап, нақтылауға болады. K кез келген бөлу сақинасы (көкшеңгір сақина) болсын. K3 – K элементтерінің барлық үштігінен тұратын жиынды білдірсін, x = (x0, x1, x2) (векторлық кеңістік ретінде қарастырылатын декарт көбейтіндісі). K3-дегі кез келген нөлдік емес x үшін, x-ты қамтитын K3-тің ең кішкентай ішкі кеңістігі (бастапқы нүкте арқылы өтетін түзудегі барлық векторлар ретінде көруге болады) – K3-тің ішкі жиыны болып табылады. Сол сияқты, егер x және y K3 элементтері болса және 1=kx + my = 0 теңдігі тек 1=k = m = 0 болғанда ғана орындалса, онда K3 x және y-ды қамтитын ең кішкентай ішкі кеңістігі (оларды бастапқы нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы барлық векторлар ретінде көруге болады) – K3-тің ішкі жиыны болып табылады. Бұл 2 өлшемді ішкі кеңістік k және m-ді бекіту және нәтижесінде алынған вектордың еселіктерін алу арқылы алынатын бастапқы нүкте арқылы өтетін әртүрлі 1 өлшемді ішкі кеңістіктерді қамтиды. Бірдей қатынастағы k және m-нің әртүрлі таңдаулары бірдей түзуді береді. K үстіндегі проективті жазықтық, PG(2, K) немесе KP2 деп белгіленеді, K3-тегі барлық 1 өлшемді ішкі кеңістіктерден тұратын нүктелер жиынына ие. PG(2, K) нүктелерінің L ішкі жиыны, егер K3-тегі 2 өлшемді ішкі кеңістік болса, онда PG(2, K)-тегі түзу болады. Бұл құрастырылым проективті жазықтықты құрайтынын тексеру әдетте сызықтық алгебра есебі ретінде қалдырылады. Бұл құрастырылымның тағы бір (алгебралық) көрінісі төмендегідей. Бұл проективті жазықтықтың нүктелері K3 \ {(0, 0, 0)} жиынының эквиваленттік сыныптары болып табылады, эквиваленттік қатынас x ~ kx, K×-тегі барлық k үшін. Жобалау жазықтығындағы түзулер жоғарыда көрсетілгендей анықталады. PG(2, K) нүктесінің координаттары (x0, x1, x2) біртекті координаттар деп аталады. Әрбір үштік (x0, x1, x2) PG(2, K-да нақты анықталған нүктені білдіреді, бірақ үштік (0, 0, 0) ешқандай нүктені білдірмейді. Дегенмен, PG(2, K)-тегі әрбір нүкте көптеген үштіктермен бейнеленеді. Егер K топологиялық кеңістік болса, онда KP2 көбейтінді, ішкі кеңістік және бөлу топологиялары арқылы топологияны мұра етеді.

Классикалық мысалдар

Нақты проекциялық жазықтық RP2, K нақты сандар, R ретінде алынғанда туындайды. Жабық, бағдарланбайтын нақты 2-көптүрлілік ретінде, ол топологиядағы негізгі мысал болып табылады. Бұл құрылымда, R3-тің түпнұсқасында орталастырылған бірлік сфераны қарастырайық. Осы құрылымдағы R3 сызықтарының әрқайсысы сфераны екі антиподальді нүктеде кесіп өтеді. R3 сызығы RP2 нүктесін көрсететіндіктен, сфераның антиподальді нүктелерін теңестіру арқылы RP2-нің бірдей моделін аламыз. Антиподальді нүктелерді теңестіргеннен кейін RP2 сызықтары сфераның үлкен шеңберлері болады. Бұл сипаттама эллипстік геометрияның стандартты моделін береді. CP2 кешенді проекциялық жазықтығы, K кешенді сандар, C ретінде алынғанда туындайды. Бұл жабық кешенді 2-көптүрлілік, демек жабық, бағдарланатын нақты 4-көптүрлілік. Ол және басқа өрістердегі проекциялық жазықтықтар (паппиан жазықтықтары деп аталады) алгебралық геометриядағы негізгі мысалдар болып табылады. Кватерниондық проекциялық жазықтық HP2 де жеке қызығушылық тудырады.

Тарақты өрістердің шекті жазықтығы

Веддерберн теоремасы бойынша, шекті бөліну сақинасы коммутативті болуы керек, демек ол өріс болады. Осылайша, осы құрылымның шекті мысалдары «өріс жазықтықтары» деп аталады. K-ны 1=q = pn элементі бар шекті өріс ретінде қабылдасақ, p-мен бірінші дәрежелі проекциялық жазықтық q2 + q + 1 нүктеден тұрады. Өріс жазықтықтары әдетте PG(2, q) арқылы белгіленеді, мұнда PG проективтік геометрияны білдіреді, «2» – өлшем, ал q – жазықтықтың реті деп аталады (ол кез келген түзудағы нүктелер санынан бірге кем). Төменде талқыланатын Фано жазықтығы PG(2, 2) арқылы белгіленеді. Жоғарыдағы үшінші мысал – проекциялық жазықтық PG(2, 3). Фано жазықтығы – екі элементтен тұратын өрістен туындайтын проекциялық жазықтық. Бұл ең кішкентай проекциялық жазықтық, ол тек жеті нүктеден және жеті түзуден тұрады. Оң жақтағы суретте жеті нүкте кішкентай шарлар түрінде, ал жеті түзу – алты түзу кесіндісі және шеңбер түрінде көрсетілген. Алайда, шарларды «түзулер» деп, ал түзу кесінділерін және шеңберді «нүктелер» деп қарастыруға болады – бұл проективтік жазықтықтағы екілік принципінің мысалы: егер түзулер мен нүктелер орын алмастырылса, нәтижесінде де проективтік жазықтық болады (төменде қараңыз). Жеті нүктенің колинеарлық нүктелерді (бір түзуде жатқан нүктелерді) колинеарлық нүктелерге көшіретін өзгеруі жазықтықтың колинеациясы немесе симметриясы деп аталады. Геометрияның колинеациялары қосылу арқылы топты құрайды, ал Фано жазықтығы үшін бұл топта (1=PΓL(3, 2) = PGL(3, 2)) 168 элемент бар.

Десаргестің теоремасы мен Десаргестің жазықтықтары

Десарг теоремасы проективті жазықтықта универсалды түрде жарамды, егер және тек қана егер жазықтықты жоғарыда көрсетілгендей, қисайтылатын өріс үстінен үш өлшемді векторлық кеңістіктен құрастыруға болады. Мұндай жазықтықтар Десарг жазықтықтары деп аталады және олар Жирар Десаргтың есімімен аталған. Жоғарыда келтірілген нақты (немесе кешенді) проективті жазықтық және 3-ретті проективті жазықтық – Десарг жазықтықтарының мысалдары. Осылайша құрастырылмаған проективті жазықтықтар Десарг емес жазықтықтар деп аталады, ал жоғарыда келтірілген Мольтон жазықтығы – солардың бір мысалы. PG(2, K) белгісі Десарг жазықтықтары үшін ғана қолданылады. K өріс болған жағдайда, бұл өте көп кездесетін жағдай, олар өріс жазықтықтары деп те аталады, ал егер өріс шекті болса, оларды Галуа жазықтықтары деп атайды.

Ұшақ асты

Жобалаушы жазықтықтың субжазықтығы — жазықтықтың нүктелерінің жиыны, өзі бірдей инциденттік қатынастармен жобалаушы жазықтықты құрайды. Келесі теорема дәлелденеді. Π — N реттік шекті проективті жазықтық болсын, ал Π₀ — M реттік тиісті субжазықтық. Онда N = M² немесе N ≥ M² + M.

N квадрат болғанда, M реттік субжазықтықтар Баер субжазықтықтары деп аталады. Жазықтықтың әрбір нүктесі Баер субжазығының бір түзуінде жатады және жазықтықтың әрбір түзуі Баер субжазығының бір нүктесін қамтиды. Десаргуестік жазықтықтар PG(2, pⁿ) үшін субжазықтықтардың реттері шекті GF(pⁿ) өрісінің субөрістерінің реттерімен анықталады, яғни pⁱ, мұндағы i — n-нің бөлгіші. Десаргуестік емес жазықтықтарда Брук теоремасы субжазықтық реті туралы жалғыз ақпаратты береді. Бұл теореманың теңсіздігіндегі теңдік жағдайының кездесуі белгісіз. M² + M = N шарты орындалғанда N реттік жазықтықта M реттік субжазықтықтың болуы ашық сұрақ. Егер мұндай субжазықтықтар болса, онда құрама (жасалмаған қуаттылық) реттік проективті жазықтықтар болады.

Бір-біріне жақын жазықтықтар

Евклидтік жазықтықты проекциялау нақты проективті жазықтықты тудырады. Кері операция — проективті жазықтықтан бір түзуді және осы түзуге тиісті барлық нүктелерді алып тастау — аффиндік жазықтықты шығарады.

Құрастыру

Проективті жазықтықтың коллинеациясы — жазықтықтың өзіне биективті бейнелеуі, ол нүктелерді нүктелерге және түзулерді түзулерге сәйкестендіреді, инциденттілікті сақтайды, яғни егер σ биекция болса және P нүктесі m түзуінде жатса, онда Pσ нүктесі mσ түзуінде жатады. Егер σ проективті жазықтықтың коллинеациясы болса, P = Pσ шартын қанағаттандыратын P нүктесі σ-ның тұрақты нүктесі деп аталады, ал m = mσ шартын қанағаттандыратын m түзуі σ-ның тұрақты түзуі деп аталады. Тұрақты түзудегі нүктелердің тұрақты нүктелер болуы міндетті емес, олардың σ-ның әсерінен алынған бейнелері тек осы түзуде жатуы керек. Коллинеацияның тұрақты нүктелері мен тұрақты түзулерінің жиынтығы жабық конфигурация құрайды, бұл проективті жазықтықтың анықтамасындағы бірінші екі, бірақ міндетті түрде үшінші шартты қанағаттандыратын нүктелер мен түзулердің жүйесі. Осылайша, кез келген коллинеация үшін тұрақты нүктелер мен тұрақты түзулердің құрылымы өзі проективті жазықтықты немесе дегенеративті жазықтықты құрайды. Құрылымы жазықтықты құрайтын коллинеациялар жазықтық коллинеациялары деп аталады.

Гомографиялық

PG(2, K) гомографиясы (немесе проекциялық түрлендіру) – бұл осы типтегі проекциялық жазықтықтың, негізгі векторлық кеңістіктің сызықтық түрлендіруі болып табылатын коллинеация. Оларды біртекті координаттарды қолдана отырып, K-дағы 3 × 3 инверттік матрицалармен көрсетуге болады, олар PG(2, K) нүктелеріне y = M xT арқылы әсер етеді, мұнда x және y – K3 (векторлар) нүктелері, ал M – K-дағы 3 × 3 инверттік матрица. Егер бір матрица екіншісінің тұрақты еселігі болса, екі матрица да бірдей проекциялық түрлендіруді көрсетеді. Осылайша, проекциялық түрлендірулер тобы – проекциялық сызықтық топ деп аталатын скалярлық матрицаларға бөлінген жалпы сызықтық топтың бөлігі. PG(2, K) коллинеациясының тағы бір түрі – K-нің кез келген автоморфизмі арқылы шақырылады, олар автоморфты коллинеациялар деп аталады. Егер α – K-нің автоморфизмі болса, онда (x0, x1, x2) → (x0α, x1α, x2α) коллинеациясы автоморфты коллинеация болып табылады. Проективті геометрияның негізгі теоремасы PG(2, K) коллинеацияларының барлығы гомографиялар мен автоморфты коллинеациялардың композициясы екенін айтады. Автоморфты коллинеациялар – жазықтық коллинеациялар.

Қатынастар

Дуальділік – проективті жазықтықтан 1=C = (P, L, I) оның дуалды жазықтығына 1=C* = (L, P, I*) (жоғарыда қараңыз) инциденттілікті сақтайтын бейнелеу. Яғни, σ дуальдігі нүктелерді сызықтарға, ал сызықтарды нүктелерге (1=Pσ = L және 1=Lσ = P) осылай бейнелейді: егер Q нүктесі m сызығында жатса (Q I m деп белгіленсе), онда Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ. Изоморфизм болатын дуальділік өзара байланыс деп аталады. Егер өзара байланыс болса, онда проективті жазықтық C өзіне дуалды болады. Проективті жазықтық PG(2, K) типінде болғанда, мұнда K – бөлу сақинасы, онда дуальділік өзаралық деп аталады. Мұндай жазықтықтар әрқашан өзіне дуалды болады. Проективті геометрияның негізгі теоремасы бойынша, өзаралық – K-ның автоморфизмі мен гомографияның композициясы. Егер қолданылған автоморфизм сәйкестік болса, онда өзара байланыс проективті корреляция деп аталады. Екінші реттік (инволюция) корреляция полярлық деп аталады. Егер φ корреляциясы полярлық болмаса, онда φ2 тривиальды емес коллинеация болады.

Жоғары өлшемді проекциялық кеңістіктердегі проекциялық жазықтықтар

Жобалаушы жазықтықты "геометриялық" екінші өлшемді проективтік геометрия деп қарастыруға болады. Жоғары өлшемді проективтік геометриялар проективтік жазықтықтың анықтамасына ұқсас, орын алу қатынастары арқылы анықталуы мүмкін. Олар проективтік жазықтықтарға қарағанда "жайылысқан" болып шығады, себебі еркіндіктің қосымша дәрежелері Десарг теоремасын жоғары өлшемді геометрияда геометриялық түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді. Бұл геометрияға байланысты координаталық "сақинасы" K бөлгіш сақинасы (көйлекті сақина) болуы керек, ал проективтік геометрия Kd+1 векторлық кеңістігінен құралғанға изоморфты, яғни PG(d, K). Бұрын берілген құралымдағыдай, d өлшемді проективтік кеңістіктің PG(d, K) нүктелері Kd+1-дегі бастапқы нүкте арқылы өтетін түзулер болып табылады, ал PG(d, K)-дегі түзу Kd+1-дегі бастапқы нүкте арқылы өтетін жазықтыққа сәйкес келеді. Шындығында, PG(d, K)-дегі кез келген i < d өлшемді объект Kd+1-дегі (i + 1) өлшемді (алгебралық) векторлық ішкі кеңістік болып табылады ("бастапқы нүкте арқылы өтеді"). Проективтік кеңістіктер өз кезегінде Грассман кеңістіктеріне жалпыланады. Егер Десарг теоремасы екі өлшемнен үлкен проективтік кеңістікте орындалса, онда ол сол кеңістіктегі барлық жазықтықтарда да орындалуы керек екенін көрсетуге болады. Десарг теоремасы орындалмаған проективтік жазықтықтар (Десарг емес жазықтықтар) болғандықтан, мұндай жазықтықтарды жоғары өлшемді проективтік кеңістікке ендіруге болмайды. Тек векторлық кеңістік құралымен құрылған PG(2, K) жазықтықтары ғана жоғары өлшемді проективтік кеңістіктерде кездесе алады. Математиканың кейбір салалары проективтік жазықтықтың мағынасын тек осы типті проективтік жазықтықтармен ғана шектейді, себебі проективтік кеңістіктер туралы жалпы айғақтар геометриялық өлшем екі болған кезде әрқашан ерекшеліктерді атауды талап етеді.