Координат геометриясы – математикадағы геометрияны координат жүйесі арқылы зерттеу. Физика, инженерия, ғарыш саласында қолданылады. Негізгі түсініктер!
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Координаталар жүйесін қолданып геометрияны зерттеу
Координаталық геометрия
Study of geometry using a coordinate system
coordinate geometry
Математикада аналитикалық геометрия, сондай-ақ координаталық геометрия немесе картезиандық геометрия деп аталатын бұл сала, координаталар жүйесін пайдаланып геометрияны зерттеумен айналысады. Бұл синтетикалық геометриядан өзгеше. Аналитикалық геометрия физика және инженерия, сондай-ақ авиация, ракета техникасы, ғарыш ғылымдары және ғарышқа ұшу салаларында қолданылады. Ол алгебралық, дифференциалдық, дискреттік және есептеу геометриясы сияқты геометрияның көптеген қазіргі заманғы салаларының негізін құрайды. Әдетте, жазықтықтар, түзу сызықтар және шеңберлер үшін теңдеулерді манипуляциялау үшін, көбінесе екі және кейде үш өлшемде картезиандық координаттар жүйесі қолданылады. Геометриялық тұрғыдан, Евклид жазықтығы (екі өлшемді) және Евклид кеңістігі зерттеледі. Оқулықтарда оқытылғандай, аналитикалық геометрияны қарапайым түрде былай түсіндіруге болады: ол геометриялық пішіндерді сандық түрде анықтау және бейнелеумен, сондай-ақ пішіндердің сандық анықтамалары мен бейнелеуінен сандық ақпарат алумен байланысты. Нақты сандардың алгебрасы геометрияның үздіксіздігі туралы нәтижелер беру үшін қолданылуы Кантор-Дедекинд аксиомасына негізделген.
In mathematics, analytic geometry, also known as coordinate geometry or Cartesian geometry, is the study of geometry using a coordinate system. This contrasts with synthetic geometry. Analytic geometry is used in physics and engineering, and also in aviation, rocketry, space science, and spaceflight. It is the foundation of most modern fields of geometry, including algebraic, differential, discrete and computational geometry. Usually the Cartesian coordinate system is applied to manipulate equations for planes, straight lines, and circles, often in two and sometimes three dimensions. Geometrically, one studies the Euclidean plane (two dimensions) and Euclidean space. As taught in school books, analytic geometry can be explained more simply: it is concerned with defining and representing geometric shapes in a numerical way and extracting numerical information from shapes' numerical definitions and representations. That the algebra of the real numbers can be employed to yield results about the linear continuum of geometry relies on the Cantor–Dedekind axiom.
Ежелгі Грекия
Грекиялық математик Менахм проблемаларды шешіп, теоремаларды координаталарды қолдануға өте ұқсас әдіспен дәлелдеді және кейде ол аналитикалық геометрияны енгізген деп айтылады. Аполлоний Пергскийдің "Белгілі қималар туралы" еңбегіндегі проблемалар бір өлшемді аналитикалық геометрия деп аталатын тәсілмен қарастырылды; түзу бойындағы нүктелерді, олардың басқаларына қатынасы бойынша табу мәселесімен айналысты. Аполлоний "Коникалар" еңбегінде аналитикалық геометрияға өте ұқсас әдісті одан әрі дамытты, оның жұмысы кейде Декарттың жұмысын шамамен 1800 жылға жуық бағалады деп есептеледі. Оның анықтама сызықтарын, диаметрін және жанамасын қолдануы қазіргі заманғы координаттық жүйенің қолданылуынан ешқандай айырмасы жоқ, онда жанама нүктесінен диаметр бойымен өлшенген қашықтықтар абсциссалар, ал жанамаға параллель және ось пен қисық арасындағы кесінділер ординаталар болып табылады. Ол қисықтардың сөзбен берілген (риторикалық) теңдеулеріне тең келетін абсциссалар мен сәйкес ординаталар арасындағы байланыстарды одан әрі дамытты. Алайда, Аполлоний аналитикалық геометрияны дамытуға жақын болғанымен, оны жүзеге асыра алмады, себебі ол теріс шамаларды ескермеді және әрбір жағдайда координаттар жүйесі берілген қисыққа априори емес, а posteriori қойылды. Яғни, теңдеулер қисықтар арқылы анықталды, бірақ қисықтар теңдеулер арқылы анықталмады. Координаттар, айнымалылар және теңдеулер – нақты геометриялық жағдайға қолданылатын қосымша ұғымдар болды.
The Greek mathematician Menaechmus solved problems and proved theorems by using a method that had a strong resemblance to the use of coordinates and it has sometimes been maintained that he had introduced analytic geometry. Apollonius of Perga, in On Determinate Section, dealt with problems in a manner that may be called an analytic geometry of one dimension; with the question of finding points on a line that were in a ratio to the others. Apollonius in the Conics further developed a method that is so similar to analytic geometry that his work is sometimes thought to have anticipated the work of Descartes by some 1800 years. His application of reference lines, a diameter and a tangent is essentially no different from our modern use of a coordinate frame, where the distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and the segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. He further developed relations between the abscissas and the corresponding ordinates that are equivalent to rhetorical equations (expressed in words) of curves. However, although Apollonius came close to developing analytic geometry, he did not manage to do so since he did not take into account negative magnitudes and in every case the coordinate system was superimposed upon a given curve a posteriori instead of a priori. That is, equations were determined by curves, but curves were not determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions applied to a specific geometric situation.
Персия
11 ғасырдағы парсы математигі Омар Хайям геометрия мен алгебра арасындағы тығыз байланысты байқап, сандық және геометриялық алгебра арасындағы қашықтықты қысқартуға үлкен үлес қосты, бірақ шешуші қадам Декартпен бірге жасалды. Омар Хайям алгебралық геометрияның негізін қалаушы деп есептеледі, ал оның 1070 жылы жазылған «Алгебра мәселелерін дәлелдеу туралы трактат» кітабы аналитикалық геометрияның қағидаларын белгілеп, парсы математикасының Еуропаға жеткен маңызды бөлігіне айналды. Хайям алгебралық теңдеулерді геометриялық тұрғыдан толыққанды қарастырғандықтан, аналитикалық геометрияны ойлап табуда Декартқа дейінгі даму сатысы ретінде қарастырылуға лайық.
The 11th century Persian mathematician Omar Khayyam saw a strong relationship between geometry and algebra and was moving in the right direction when he helped close the gap between numerical and geometric algebra but the decisive step came later with Descartes. Omar Khayyam is credited with identifying the foundations of algebraic geometry, and his book Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), which laid down the principles of analytic geometry, is part of the body of Persian mathematics that was eventually transmitted to Europe. Because of his thoroughgoing geometrical approach to algebraic equations, Khayyam can be considered a precursor to Descartes in the invention of analytic geometry.
Батыс Еуропа
Аналитикалық геометрия Рене Декарт пен Пьер де Ферма екеуі де тәуелсіз түрде ойлап тапқан, бірақ кейде құрмет тек Декартқа ғана беріледі. Аналитикалық геометрияның тағы бір атауы – картезиялық геометрия, ол Декарттың есімімен аталған. Декарт 1637 жылы жарық көрген үш қосымша эсселердің (қосымшалардың) бірі – «La Géométrie» (Геометрия) атты еңбегінде маңызды жетістіктерге жеткен. Оның туған тілі – француз тілінде жазылған «La Géométrie» және оның философиялық қағидалары Еуропада дифференциалдық және интегралдық есептеудің (математикалық есептеудің) негізін қалады. Алғашқыда бұл жұмыс жақсы қабылданбады, себебі аргументтерде көптеген олқылықтар мен күрделі теңдеулер болды. Тек 1649 жылы латын тіліне аударылып, ван Шутеннің түсіндірмелері қосылғаннан кейін (және одан кейін де) Декарттың шедеврi лайықты құрметке ие болды. Пьер де Ферма да аналитикалық геометрияның дамуына үлкен үлес қосты. Оның «Ad locos planos et solidos isagoge» (Жазық және кеңістіктік геометрияға кіріспе) атты қолжазбасы, Декарттың «Әдіс туралы толғанысы» жарық көргенге дейін, 1637 жылы Париж қаласында таратылды. Анық жазылған және жақсы қабылданған бұл кіріспе де аналитикалық геометрияның негізін қалады. Фермат пен Декарттың қарастыруларының арасындағы басты айырмашылық – көзқарас мәселесі: Фермат әрқашан алгебралық теңдеуден бастап, оны қанағаттандыратын геометриялық қисықты сипаттайды, ал Декарт геометриялық қисықтардан бастап, олардың теңдеулерін қисықтардың қасиеттерінің бірі ретінде шығарады.
Analytic geometry was independently invented by René Descartes and Pierre de Fermat, although Descartes is sometimes given sole credit. Cartesian geometry, the alternative term used for analytic geometry, is named after Descartes. Descartes made significant progress with the methods in an essay titled La Géométrie (Geometry), one of the three accompanying essays (appendices) published in 1637 together with his Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences, commonly referred to as Discourse on Method. La Geometrie, written in his native French tongue, and its philosophical principles, provided a foundation for calculus in Europe. Initially the work was not well received, due, in part, to the many gaps in arguments and complicated equations. Only after the translation into Latin and the addition of commentary by van Schooten in 1649 (and further work thereafter) did Descartes's masterpiece receive due recognition. Pierre de Fermat also pioneered the development of analytic geometry. Although not published in his lifetime, a manuscript form of Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci) was circulating in Paris in 1637, just prior to the publication of Descartes' Discourse. Clearly written and well received, the Introduction also laid the groundwork for analytical geometry. The key difference between Fermat's and Descartes' treatments is a matter of viewpoint: Fermat always started with an algebraic equation and then described the geometric curve that satisfied it, whereas Descartes started with geometric curves and produced their equations as one of several properties of the curves.
Картезиандық координаттар (жатық немесе кеңістікте)
Ең көп қолданылатын координаттар жүйесі – Картезиандық координаттар жүйесі, онда әрбір нүктенің көлденең орнын көрсететін x координатасы және тік орнын көрсететін y координатасы болады. Бұлар әдетте реттелген жұп (x, y) түрінде жазылады. Бұл жүйе үш өлшемді геометрияда да қолданылады, онда Евклид кеңістігіндегі әрбір нүкте координаталардың реттелген үштігі (x, y, z) арқылы көрсетіледі.
The most common coordinate system to use is the Cartesian coordinate system, where each point has an x coordinate representing its horizontal position, and a y coordinate representing its vertical position. These are typically written as an ordered pair (x, y). This system can also be used for three dimensional geometry, where every point in Euclidean space is represented by an ordered triple of coordinates (x, y, z).
Полярлық координаттар (жаттықтықта)
Полярлық координаттарда жазықтықтың кез келген нүктесі, координата басынан арақашықтығы r және бұрышы θ арқылы көрсетіледі, мұнда θ әдетте оң x осьінен сағат тіліне қарсы бағытта өлшенеді. Осы белгілеуді пайдаланып, нүктелер әдетте реттелген жұп түрінде жазылады (r, θ). Осы формулаларды қолдану арқылы екі өлшемді декарттық және полярлық координаттарды бір-біріне айналдыруға болады: Бұл жүйе цилиндрлік немесе сфералық координаттарды қолдану арқылы үш өлшемді кеңістікке кеңейтілуі мүмкін.
In polar coordinates, every point of the plane is represented by its distance r from the origin and its angle θ, with θ normally measured counterclockwise from the positive x axis. Using this notation, points are typically written as an ordered pair (r, θ). One may transform back and forth between two dimensional Cartesian and polar coordinates by using these formulae: This system may be generalized to three dimensional space through the use of cylindrical or spherical coordinates.
Цилиндрлік координаттар (аралықта)
Цилиндрлік координаттарда кеңістіктің кез келген нүктесі z биіктігі, z осінен r радиусы және xy жазықтығындағы проекциясы көлденең осьпен құратын θ бұрышы арқылы көрсетіледі.
In cylindrical coordinates, every point of space is represented by its height z, its radius r from the z axis and the angle θ its projection on the xy plane makes with respect to the horizontal axis.
Сфералық координаттар (кеңістікте)
Сфералық координаттарда кеңістіктегі әрбір нүкте шығу тегінен ρ қашықтығымен, xy жазықтығындағы проекциясының көлденең оське қатысты θ бұрышымен және z оське қатысты φ бұрышымен анықталады. Физикада бұрыштардың атаулары көбінесе ауыстырылып жазылады. Әдетте, бір теңдеу жазықтықтағы қисық сызықты көрсетеді. Бірақ бұл әрқашан солай бола бермейді: қарапайым теңдеу x = x бүкіл жазықтықты анықтайды, ал x² + y² = 0 теңдеуі тек (0, 0) нүктесін анықтайды. Үш өлшемді кеңістікте бір теңдеу көбінесе бетті көрсетеді, ал қисық сызық екі беттің қиылысы (төменде қараңыз) немесе параметрлік теңдеулер жүйесі арқылы берілуі керек. x² + y² = r² теңдеуі – центрі (0, 0) нүктесінде орналасқан және радиусы r болатын кез келген шеңбердің теңдеуі.
In spherical coordinates, every point in space is represented by its distance ρ from the origin, the angle θ its projection on the xy plane makes with respect to the horizontal axis, and the angle φ that it makes with respect to the z axis. The names of the angles are often reversed in physics. Usually, a single equation corresponds to a curve on the plane. This is not always the case: the trivial equation x = x specifies the entire plane, and the equation x2 + y2 = 0 specifies only the single point (0, 0). In three dimensions, a single equation usually gives a surface, and a curve must be specified as the intersection of two surfaces (see below), or as a system of parametric equations. The equation x2 + y2 = r2 is the equation for any circle centered at the origin (0, 0) with a radius of r.
Квадраттық беттер
Квадрикалық немесе квадрикалық бет – 3 өлшемді кеңістіктегі 2 өлшемді бет, ол квадратық полиномның нөлдерінің жиынтығы ретінде анықталады. x1, x2, x3 координаталарындағы жалпы квадрикалық алгебралық теңдеумен сипатталады. Квадрикалық беттерге эллипсоидтар (сфераны қоса алғанда), параболоидтар, гиперболоидтар, цилиндрлер, конустар және жазықтықтар жатады.
A quadric, or quadric surface, is a 2 dimensional surface in 3 dimensional space defined as the locus of zeros of a quadratic polynomial. In coordinates x1, x2,x3, the general quadric is defined by the algebraic equation
Quadric surfaces include ellipsoids (including the sphere), paraboloids, hyperboloids, cylinders, cones, and planes.
Жасалғанды табу
Көп зерттелген қиылыстың бір түрі геометриялық объектінің қиылысы мен координаталар осьтері. Геометриялық нысан мен осі қиылысуын объектінің қиылысуы деп атайды. Геометриялық нысан мен осі қиылысуын объектінің қиылысуы деп атайды. Тігінен , параметр сызықтың осьті қиып өтетін нүктесін анықтайды . Контекстке байланысты, бір немесе екі нүкте де қиылысу деп аталады.
One type of intersection which is widely studied is the intersection of a geometric object with the and coordinate axes. The intersection of a geometric object and the axis is called the intercept of the object. The intersection of a geometric object and the axis is called the intercept of the object. For the line , the parameter specifies the point where the line crosses the axis. Depending on the context, either or the point is called the intercept.
Геометриялық ось
Геометрияда ось – кез келген түзуге, нысанға немесе бетке перпендикуляр сызық. Бұл үшін күнделікті тілде "қалыпты" (перпендикуляр) сызық немесе инженерлік саласында "осьтік сызық" терминдері де қолданылуы мүмкін. Геометрияда нормаль – берілген нысанға перпендикуляр болатын түзу немесе вектор. Мысалы, екі өлшемді жағдайда, қисықтың белгілі бір нүктесіндегі нормаль – сол нүктедегі қисыққа жанама түзуге перпендикуляр түзу. Үш өлшемді жағдайда, P нүктесіндегі бетке нормаль, яғни беттік нормаль – P нүктесіндегі бетке жанама жазықтыққа перпендикуляр вектор. "Нормаль" сөзі сын есім ретінде де қолданылады: жазықтыққа нормаль түзу, күштің нормаль компоненті, нормаль вектор және т.б. Нормалдылық түсінігі ортогоналдылыққа көшеді.
Axis in geometry is the perpendicular line to any line, object or a surface. Also for this may be used the common language use as a: normal (perpendicular) line, otherwise in engineering as axial line. In geometry, a normal is an object such as a line or vector that is perpendicular to a given object. For example, in the two dimensional case, the normal line to a curve at a given point is the line perpendicular to the tangent line to the curve at the point. In the three dimensional case a surface normal, or simply normal, to a surface at a point P is a vector that is perpendicular to the tangent plane to that surface at P. The word "normal" is also used as an adjective: a line normal to a plane, the normal component of a force, the normal vector, etc. The concept of normality generalizes to orthogonality.
Сфералық және сызықтық емес жазықтықтар және олардың тангенстері
Тангенс – функцияның сфералық немесе өзге қисық немесе бұрылып өтетін сызығының сызықтық жуықтауы.
Tangent is the linear approximation of a spherical or other curved or twisted line of a function.
Тангенттік сызықтар мен жазықтықтар
Геометрияда, берілген нүктедегі жазық қисық сызығының тангенс сызығы (немесе просто тангенс) – бұл сол нүктеде қисыққа "жанасатын" түзу сызық. Бұл, негізінен, қисықтағы ең жақын екі нүкте арқылы өтетін түзу. Нақтырақ айтқанда, егер түзу сызық y = f(x) қисығының x = c нүктесінен өтіп, оның еңісі f'(c) болса, онда ол қисықтың тангенсі деп аталады, мұнда f'(c) – f функциясының туындысы. Осыған ұқсас анықтама кеңістіктегі қисықтар мен n-өлшемді Евклид кеңістігіндегі қисықтарға да қолданылады. Тангенс сызығы мен қисық кездесетін нүкте – тангенс нүктесі деп аталады. Тангенс сызығы қисықпен "бір бағытта" жүреді, сондықтан ол сол нүктеде қисықтың ең жақсы сызықтық жуықтауы болып табылады. Сол сияқты, берілген нүктедегі бетке жанасатын жазықтық – бұл сол нүктеде бетке "жанасатын" жазықтық. Тангенс түсінігі дифференциалдық геометриядағы ең маңызды түсініктердің бірі болып табылады және кеңінен жалпыландырылған; Тангенс кеңістігіне қараңыз.
In geometry, the tangent line (or simply tangent) to a plane curve at a given point is the straight line that "just touches" the curve at that point. Informally, it is a line through a pair of infinitely close points on the curve. More precisely, a straight line is said to be a tangent of a curve 1=y = f(x) at a point 1=x = c on the curve if the line passes through the point (c, f(c)) on the curve and has slope where f is the derivative of f. A similar definition applies to space curves and curves in n dimensional Euclidean space. As it passes through the point where the tangent line and the curve meet, called the point of tangency, the tangent line is "going in the same direction" as the curve, and is thus the best straight line approximation to the curve at that point. Similarly, the tangent plane to a surface at a given point is the plane that "just touches" the surface at that point. The concept of a tangent is one of the most fundamental notions in differential geometry and has been extensively generalized; see Tangent space.