Евклидтік емес геометриялар: Аксиомалар мен даму тарихы

Кіріспе

Эвклидтік геометрияны анықтайтын аксиомаларға тікелей байланысты екі геометрия бар. Математикада эвклидтік емес геометрия – эвклидтік геометрияны анықтайтын аксиомаларға өте жақын аксиомаларға негізделген екі геометриядан тұрады. Эвклидтік геометрия метрикалық және аффиндік геометриялардың тоғысқан нүктесі болғандықтан, эвклидтік емес геометрия параллельдік постулатты басқа постулатпен алмастыру немесе метрикалық талаптарды жеңілдету арқылы туындайды. Бірінші жағдайда гиперболалық және эллипстік геометриялар, дәстүрлі эвклидтік емес геометриялар пайда болады. Метрикалық талаптар жеңілдетілгенде, жазықтық алгебраларымен байланысты аффиндік жазықтықтар пайда болады, олар кинематикалық геометрияларды тудырады, олар да эвклидтік емес геометрия деп аталады.

Өмірбаян

Евклид геометриясы, грек математигі Евклидтің есімімен аталады, ең көне математиканың бірін қамтиды, ал одан ауытқушы геометриялар 19 ғасырға дейін қабылданбады. Евклидтің «Элементтер» еңбегін жазғаннан кейін ғана Евклидтік емес геометрияның ашылуына әкелген пікірталас басталды. «Элементтерде» Евклид шектеулі сандағы болжамдармен (23 анықтама, бес ортақ түсінік және бес постулат) бастап, еңбектегі барлық басқа нәтижелерді (ұсыныстарды) дәлелдеуге тырысады. Постулаттардың ең әйгілісі көбінесе «Евклидтің бесінші постулаты» немесе жай ғана параллельдік постулат деп аталады. Евклидтің түпнұсқа тұжырымында: Егер бір түзу сызық екі түзу сызыққа осылай түсіп, бір жақтағы ішкі бұрыштардың қосындысы екі тік бұрыштан кем болса, онда түзу сызықтар, шексіз созылғанда, сол жақтағы бұрыштар екі тік бұрыштан кем болатын жерде қиылысады. Басқа математиктер осы қасиеттің қарапайым түрлерін ұсынды. Дегенмен, постулаттың түріне қарамастан, ол Евклидтің басқа постулаттарына қарағанда әлдеқайда күрделі болып көрінеді: 1. Кез келген нүктеден кез келген нүктеге түзу сызық жүргізу. 2. Берілген түзу сызықты түзу бойымен үздіріссіз созу. 3. Кез келген орталықтан және қашықтықтан (радиустан) шеңбер салу. 4. Барлық тік бұрыштар бір-біріне тең. Кем дегенде мың жыл бойы геометрлер бесінші постулаттың күрделілігіне алаңдап, оны қалған төртеуінен теорема ретінде дәлелдеуге болады деп сенді. Ибн әл-Хайтам (Альхазен, 11 ғасыр), Омар Хайям (12 ғасыр), Насир әд-Дин әт-Туси (13 ғасыр) және Джованни Джироламо Саккери (18 ғасыр) сияқты көптеген математиктер қарама-қайшылық арқылы дәлел табуға тырысты. Ибн әл-Хайтам, Хайям және әт-Тусидің төртбұрыштар туралы теоремалары, соның ішінде Ламберт төртбұрышы мен Саккери төртбұрышы «гиперболалық және эллиптік геометрияның алғашқы теоремалары» болды. Бұл теоремалар, сондай-ақ Playfair аксиомасы сияқты баламалы постулаттар, Евклидтік емес геометрияның кейінгі дамуында маңызды рөл атқарды. Бесінші постулатқа қарсы шығудың алғашқы әрекеттері оның кейінгі еуропалық геометрлер арасында, Витело, Леви бен Герсон, Альфонсо, Джон Уоллис және Саккери сияқты ғалымдардың дамуына үлкен әсер етті. Алайда, Евклидтік емес геометрияны тұжырымдауға тырысқан бұл ертедегі әрекеттердің барлығы параллельдік постулатқа тең деп танылған болжамдарға негізделген, параллельдік постулаттың дұрыс еместігін дәлелдеуге тырысты. Дегенмен, бұл әрекеттер гиперболалық және эллиптік геометрияның кейбір қасиеттерін анықтауға көмектесті. Мысалы, Хайям оны «Философтың қағидаларынан» (Аристотель) алынған эквивалентті постулаттан шығаруға тырысты: «Екі жақындасатын түзу сызық қиылысады және екі жақындасатын түзу сызықтың жақындасатын бағытта айырылуы мүмкін емес». Хайям кейін Сачери төртбұрышының төбе бұрыштарының үш мүмкін жағдайын – тік, доғал және сүйір бұрыштарды қарастырды және олар туралы бірқатар теоремаларды дәлелдегеннен кейін, өзінің постулатына сүйене отырып, доғал және сүйір бұрыштарды жоққа шығарды, соның салдарынан Евклидтің классикалық постулатын шығарды, ол өзінің постулатына тең екенін түсінбеді. Тағы бір мысал – әт-Тусидің ұлы Садр әд-Дин (кейде «Псевдо-Туси» деп аталады), ол 1298 жылы әт-Тусидің кейінгі ойларына негізделген тақырыпта кітап жазды, онда параллельдік постулатқа тең басқа гипотеза ұсынылды. «Ол Евклидтің аксиомалар мен постулаттар жүйесін де, «Элементтерден» алынған көптеген ұсыныстардың дәлелдемелерін де қайта қарады». Оның еңбегі 1594 жылы Римде жарық көрді және оны Еуропа геометрлері, соның ішінде Валлис және оның жұмысын сынға алған Саккери зерттеді. Джордано Витале өзінің «Евклид реституо» (1680, 1686) атты кітабында Сачери төртбұрышын қолданып, АВ және CD табандарының үш нүктесі тең болса, онда АВ және CD әрқашан тең болатынын дәлелдеді. 1733 жылы жарияланған «Евклид аб Омни Нево Виндикатус» (Евклид барлық кемшіліктерден босатылды) атты еңбегінде Саккери эллипстік геометрияны мүмкін емес деп тез жоққа шығарды (эллипстік геометрия жұмыс істеуі үшін Евклидтің басқа аксиомаларын өзгерту қажет) және гиперболалық геометрияда көптеген нәтижелерді дәлелдеуге кірісті. Ақырында ол өзінің нәтижелері гиперболалық геометрияның мүмкін еместігін дәлелдейтініне сенді. Оның бұл мәлімдемесінің негізі Евклидтік болжамдарға негізделген сияқты, өйткені ешқандай логикалық қарама-қайшылық болған жоқ. Евклидтік геометрияны дәлелдеуге тырысқанда ол жаңа, өмір сүруге жарамды геометрияны кездейсоқ ашты, бірақ оны түсінбеді. 1766 жылы Иоганн Ламберт «Теория параллельных линий» (Параллель сызықтар теориясы) еңбегін жазды, бірақ оны жарияламады. Ол Саккери сияқты, бесінші постулатты дәлелдеуге тырысты. Ол қазір Ламберт төртбұрышы деп белгілі бір фигурамен жұмыс істеді, ол үш тік бұрыштан тұратын төртбұрыш (Сачери төртбұрышының жартысы ретінде қарастырылуы мүмкін). Ол төртінші бұрыштың доғал еместігін тез жоққа шығарды, бұл Саккери мен Хайям да жасаған. Содан кейін ол сүйір бұрыш болжамымен көптеген теоремаларды дәлелдеді. Саккериден айырмашылығы, ол бұл болжаммен қайшылыққа тап болғанын сезінбеді. Ол үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы үшбұрыштың ауданы азайған сайын артатынын дәлелдеді және бұл оны нақты жағдайдың сферадағы қиялдағы радиусқа негізделген моделін болжауға итерді. Ол бұл идеяны одан әрі дамытпады. Осы уақытта ғалам Евклид геометриясының қағидаларына сәйкес жұмыс істейді деп кеңінен сеніліп келді.

Euclidean geometry, named after the Greek mathematician Euclid, includes some of the oldest known mathematics, and geometries that deviated from this were not widely accepted as legitimate until the 19th century. The debate that eventually led to the discovery of the non Euclidean geometries began almost as soon as Euclid wrote Elements. In the Elements, Euclid begins with a limited number of assumptions (23 definitions, five common notions, and five postulates) and seeks to prove all the other results (propositions) in the work. The most notorious of the postulates is often referred to as "Euclid's Fifth Postulate", or simply the parallel postulate, which in Euclid's original formulation is:
If a straight line falls on two straight lines in such a manner that the interior angles on the same side are together less than two right angles, then the straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Other mathematicians have devised simpler forms of this property. Regardless of the form of the postulate, however, it consistently appears more complicated than Euclid's other postulates:
1. To draw a straight line from any point to any point. 2. To produce [extend] a finite straight line continuously in a straight line. 3. To describe a circle with any centre and distance [radius]. 4. That all right angles are equal to one another. For at least a thousand years, geometers were troubled by the disparate complexity of the fifth postulate, and believed it could be proved as a theorem from the other four. Many attempted to find a proof by contradiction, including Ibn al Haytham (Alhazen, 11th century), Omar Khayyám (12th century), Nasīr al Dīn al Tūsī (13th century), and Giovanni Girolamo Saccheri (18th century). The theorems of Ibn al Haytham, Khayyam and al Tusi on quadrilaterals, including the Lambert quadrilateral and Saccheri quadrilateral, were "the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries". These theorems along with their alternative postulates, such as Playfair's axiom, played an important role in the later development of non Euclidean geometry. These early attempts at challenging the fifth postulate had a considerable influence on its development among later European geometers, including Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis and Saccheri. All of these early attempts made at trying to formulate non Euclidean geometry, however, provided flawed proofs of the parallel postulate, depending on assumptions that are now recognized as essentially equivalent to the parallel postulate. These early attempts did, however, provide some early properties of the hyperbolic and elliptic geometries. Khayyam, for example, tried to derive it from an equivalent postulate he formulated from "the principles of the Philosopher" (Aristotle): "Two convergent straight lines intersect and it is impossible for two convergent straight lines to diverge in the direction in which they converge." Khayyam then considered the three cases right, obtuse, and acute that the summit angles of a Saccheri quadrilateral can take and after proving a number of theorems about them, he correctly refuted the obtuse and acute cases based on his postulate and hence derived the classic postulate of Euclid, which he didn't realize was equivalent to his own postulate. Another example is al Tusi's son, Sadr al Din (sometimes known as "Pseudo Tusi"), who wrote a book on the subject in 1298, based on al Tusi's later thoughts, which presented another hypothesis equivalent to the parallel postulate. "He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the Elements." His work was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers, including Saccheri who criticised this work as well as that of Wallis. Giordano Vitale, in his book Euclide restituo (1680, 1686), used the Saccheri quadrilateral to prove that if three points are equidistant on the base AB and the summit CD, then AB and CD are everywhere equidistant. In a work titled Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Freed from All Flaws), published in 1733, Saccheri quickly discarded elliptic geometry as a possibility (some others of Euclid's axioms must be modified for elliptic geometry to work) and set to work proving a great number of results in hyperbolic geometry. He finally reached a point where he believed that his results demonstrated the impossibility of hyperbolic geometry. His claim seems to have been based on Euclidean presuppositions, because no logical contradiction was present. In this attempt to prove Euclidean geometry he instead unintentionally discovered a new viable geometry, but did not realize it. In 1766 Johann Lambert wrote, but did not publish, Theorie der Parallellinien in which he attempted, as Saccheri did, to prove the fifth postulate. He worked with a figure now known as a Lambert quadrilateral, a quadrilateral with three right angles (can be considered half of a Saccheri quadrilateral). He quickly eliminated the possibility that the fourth angle is obtuse, as had Saccheri and Khayyam, and then proceeded to prove many theorems under the assumption of an acute angle. Unlike Saccheri, he never felt that he had reached a contradiction with this assumption. He had proved the non Euclidean result that the sum of the angles in a triangle increases as the area of the triangle decreases, and this led him to speculate on the possibility of a model of the acute case on a sphere of imaginary radius. He did not carry this idea any further. At this time it was widely believed that the universe worked according to the principles of Euclidean geometry.

Евклидтік емес геометрияны ашу

XIX ғасырдың басында Евклидтік емес геометрияны құрудағы шешуші қадамдар жасалды. Шамамен 1813 жылы Карл Фридрих Гаусс, ал 1818 жылы неміс құқық профессоры Фердинанд Карл Швейкарт Евклидтік емес геометрияның бастапқы идеяларын жасады, бірақ ешқайсысы нәтижелерін жарияламады. Швейкарттың жүрегі туысы Франц Таурин 1825 және 1826 жылдары гиперболалық тригонометрияның маңызды нәтижелерін екі мақалада жариялады, алайда гиперболалық геометрияның ішкі үйлесімділігін мойындағанмен, ол Евклидтік геометрияның ерекше рөліне сеніп қалды. Содан кейін, 1829–1830 жылдары орыс математигі Николай Иванович Лобачевский, ал 1832 жылы венгр математигі Янош Болай гиперболалық геометрия бойынша тәуелсіз және жеке-жеке трактаттар жариялады. Осының салдарынан гиперболалық геометрия Лобачевскийлік немесе Болай-Лобачевскийлік геометрия деп аталады, себебі екі математик те бір-бірінен тәуелсіз Евклидтік емес геометрияның негізгі авторлары болып табылады. Гаусс Болайдың әкесіне кіші Болайдың жұмысын көрсеткенде, ол осындай геометрияны бірнеше жыл бұрын жасағанын, бірақ жарияламағанын айтты. Лобачевский параллельдік постулатты жоққа шығару арқылы Евклидтік емес геометрияны құрды, ал Болай k параметріне байланысты Евклидтік және гиперболалық геометрияның болу мүмкіндігін қарастыратын геометрияны жасады. Болай өз жұмысын физикалық ғаламның геометриясы Евклидтік пе, Евклидтік емес пе, математикалық дәлелдеу арқылы анықтау мүмкін емес екенін атап өтумен аяқтады; бұл міндет физикалық ғылымдардың құзырында. Бернхард Риман 1854 жылы өткізген танымал лекциясында Риман геометриясы саласын қалыптастырды, қазір көпөлшемділіктер, Риман метрикасы және қисықтық деп аталатын ұғымдарды талқылады. Ол Евклид кеңістігіндегі бірлік шардың Риман метрикаларының отбасы үшін формула беріп, Евклидтік емес геометриялардың шексіз отбасын құрды. Олардың ең қарапайым түрі эллипстік геометрия деп аталады және параллель түзулердің болмауына байланысты Евклидтік емес геометрия саналады. Риман геометрияны қисықтық тензоры арқылы тұжырымдау арқылы Евклидтік емес геометрияны жоғары өлшемдерге қолдануға мүмкіндік берді. Белтрами (1868) Риман геометриясын теріс қисықтыққа ие кеңістіктерге алғаш рет қолданды.

The beginning of the 19th century would finally witness decisive steps in the creation of non Euclidean geometry. Circa 1813, Carl Friedrich Gauss and independently around 1818, the German professor of law Ferdinand Karl Schweikart had the germinal ideas of non Euclidean geometry worked out, but neither published any results. Schweikart's nephew Franz Taurinus did publish important results of hyperbolic trigonometry in two papers in 1825 and 1826, yet while admitting the internal consistency of hyperbolic geometry, he still believed in the special role of Euclidean geometry. Then, in 1829–1830 the Russian mathematician Nikolai Ivanovich Lobachevsky and in 1832 the Hungarian mathematician János Bolyai separately and independently published treatises on hyperbolic geometry. Consequently, hyperbolic geometry is called Lobachevskian or Bolyai Lobachevskian geometry, as both mathematicians, independent of each other, are the basic authors of non Euclidean geometry. Gauss mentioned to Bolyai's father, when shown the younger Bolyai's work, that he had developed such a geometry several years before, though he did not publish. While Lobachevsky created a non Euclidean geometry by negating the parallel postulate, Bolyai worked out a geometry where both the Euclidean and the hyperbolic geometry are possible depending on a parameter k. Bolyai ends his work by mentioning that it is not possible to decide through mathematical reasoning alone if the geometry of the physical universe is Euclidean or non Euclidean; this is a task for the physical sciences. Bernhard Riemann, in a famous lecture in 1854, founded the field of Riemannian geometry, discussing in particular the ideas now called manifolds, Riemannian metric, and curvature. He constructed an infinite family of non Euclidean geometries by giving a formula for a family of Riemannian metrics on the unit ball in Euclidean space. The simplest of these is called elliptic geometry and it is considered a non Euclidean geometry due to its lack of parallel lines. By formulating the geometry in terms of a curvature tensor, Riemann allowed non Euclidean geometry to apply to higher dimensions. Beltrami (1868) was the first to apply Riemann's geometry to spaces of negative curvature.

Терминология

"Евклидтік емес геометрия" терминін енгізген Гаусс болды. Ол өзінің жұмысына қатысты, біз бүгінде оны гиперболалық геометрия немесе Лобачевский геометриясы деп атаймыз. Көптеген қазіргі заманғы авторлар әлі де гиперболалық геометрияны білдіру үшін "евклидтік емес геометрия" деген жалпы термин қолданады. Артур Кейли конус ішіндегі нүктелер арасындағы қашықтықты логарифм және проективті қима қатынас функциясы арқылы анықтауға болатынын көрсетті. Бұл әдіс Кейли-Клейн метрикасы деп аталды, себебі Феликс Клейн оны 1871 және 1873 жылғы мақалаларында, содан кейін кітапта евклидтік емес геометрияларды сипаттау үшін пайдаланды. Кейли-Клейн метрикасы гиперболалық және эллиптік метрикалық геометрия, сондай-ақ евклидтік геометрияның жұмыс моделін ұсынды. Клайн "гиперболалық" және "эллиптік" терминдерін енгізді (оның жүйесінде ол евклидтік геометрияны параболалық деп атады, бірақ бұл термин кеңінен қолданылмады). Оның ықпалы нәтижесінде "евклидтік емес геометрия" термині қазір "гиперболалық" немесе "эллиптік" геометрияны білдіреді. Кейбір математиктер "евклидтік емес" деп аталатын геометриялар тізімін әртүрлі жолдармен кеңейтуді ұсынады. Евклидтік геометриядан өте ерекшеленетін көптеген геометрия түрлері бар, бірақ олар Риман геометриясының жалпы жағдайлары сияқты "евклидтік емес геометрия" терминінің дәстүрлі мағынасына міндетті түрде кірмейді.

Эвклидтік емес геометрияның аксиомалық негізі

Евклид геометриясы бірнеше тәсілмен аксиомалық тұрғыдан сипатталуы мүмкін. Дегенмен, Евклидтің бес постулаттан (аксиомалардан) тұратын бастапқы жүйесі олардың бірі емес, себебі оның дәлелдері аксиома ретінде қабылдануы тиіс бірнеше айтылмаған болжамдарға негізделген. 20 аксиомадан тұратын Гильберт жүйесі Евклидтің тәсілін ең жақын ұстанады және Евклидтің барлық дәлелдерін негіздеуді қамтамасыз етеді. Басқа жүйелер анықталмаған ұғымдардың әртүрлі жиынтығын қолдана отырып, әртүрлі жолдармен бірдей геометрияны алады. Алайда, барлық тәсілдерде Евклидтің бесінші постулатына, параллельдік постулатына логикалық жағынан тең болатын аксиома бар. Гильберт Playfair аксиомасын пайдаланады, ал, мысалы, Бирхофф «Бір-біріне ұқсас, бірақ сәйкес келмейтін үшбұрыштар жұбы бар» деген аксиоманы қолданады. Осы жүйелердің кез келгенінде, параллельдік постулатқа тең болатын бір аксиоманы алып тастау, қандай да бір нысанда болса да, және барлық басқа аксиомаларды өзгеріссіз қалдыру абсолютті геометрияны тудырады. Евклидтің «Элементтердегі» алғашқы 28 теоремасы параллельдік постулатты немесе оған балама нәрсені пайдаланбағандықтан, олардың барлығы абсолютті геометриядағы дұрыс мәлімдемелер болып табылады. Евклидтік емес геометрияны алу үшін параллельдік постулатты (немесе оған баламасын) оның жорамалымен алмастыру керек. Playfair аксиомасының нысаны жоққа шығарылатын күрделі мәлімдеме болғандықтан (бір және тек бір ғана), оны екі жолмен жоққа шығаруға болады: берілген түзуге параллель нүкте арқылы бірден көп түзу өтеді немесе берілген түзуге параллель нүкте арқылы түзулер мүлдем өте алмайды. Бірінші жағдайда, параллельдік постулатты (немесе оған баламасын) «Жазықтықта, P нүктесі және P арқылы өтетін l түзуі берілген болса, P арқылы l түзуіне сәйкес келмейтін екі түзу бар» деген мәлімдемемен алмастыру және барлық басқа аксиомаларды сақтап қалу гиперболалық геометрияны береді. Екінші жағдай оңай қарастырылмайды. Паралельдік постулатты жай ғана «Жазықтықта, P нүктесі және P арқылы өтетін l түзуі берілген болса, P арқылы өтетін барлық түзулер l түзуімен қиылысады» деген мәлімдемемен алмастыру аксиомалардың дәйекті жиынтығын бермейді. Бұл себебі абсолютті геометрияда параллель түзулер бар, бірақ бұл мәлімдемеде параллель түзулер жоқ делінеді. Бұл мәселе Хайям, Сачери және Ламбертке (әлдеқандай түрінде) белгілі болды және олардың «доғал бұрышты жағдайды» қабылдамауының себебі болды. Паралель түзулер жоқ деген аксиоманы қамтитын аксиомалардың дәйекті жиынтығын алу үшін басқа аксиомаларды өзгерту қажет. Бұл түзетулер қолданылатын аксиомалық жүйеге байланысты. Басқаларының арасында, бұл түзетулер Евклидтің екінші постулатын, түзу кесінділерін шексіз ұзартуға болатындығы туралы мәлімдемеден, түзулер шексіз ұзын екендігі туралы мәлімдемеге дейін өзгертуге әкеледі. Риманның эллиптік геометриясы осы аксиоманы қанағаттандыратын ең табиғи геометрия ретінде пайда болады.

Euclidean geometry can be axiomatically described in several ways. However, Euclid's original system of five postulates (axioms) is not one of these, as his proofs relied on several unstated assumptions that should also have been taken as axioms. Hilbert's system consisting of 20 axioms most closely follows the approach of Euclid and provides the justification for all of Euclid's proofs. Other systems, using different sets of undefined terms obtain the same geometry by different paths. All approaches, however, have an axiom that is logically equivalent to Euclid's fifth postulate, the parallel postulate. Hilbert uses the Playfair axiom form, while Birkhoff, for instance, uses the axiom that says that, "There exists a pair of similar but not congruent triangles." In any of these systems, removal of the one axiom equivalent to the parallel postulate, in whatever form it takes, and leaving all the other axioms intact, produces absolute geometry. As the first 28 propositions of Euclid (in The Elements) do not require the use of the parallel postulate or anything equivalent to it, they are all true statements in absolute geometry. To obtain a non Euclidean geometry, the parallel postulate (or its equivalent) must be replaced by its negation. Negating the Playfair's axiom form, since it is a compound statement ( there exists one and only one ), can be done in two ways:

Either there will exist more than one line through the point parallel to the given line or there will exist no lines through the point parallel to the given line. In the first case, replacing the parallel postulate (or its equivalent) with the statement "In a plane, given a point P and a line l not passing through P, there exist two lines through P, which do not meet l" and keeping all the other axioms, yields hyperbolic geometry. The second case is not dealt with as easily. Simply replacing the parallel postulate with the statement, "In a plane, given a point P and a line l not passing through P, all the lines through P meet l", does not give a consistent set of axioms. This follows since parallel lines exist in absolute geometry, but this statement says that there are no parallel lines. This problem was known (in a different guise) to Khayyam, Saccheri and Lambert and was the basis for their rejecting what was known as the "obtuse angle case". To obtain a consistent set of axioms that includes this axiom about having no parallel lines, some other axioms must be tweaked. These adjustments depend upon the axiom system used. Among others, these tweaks have the effect of modifying Euclid's second postulate from the statement that line segments can be extended indefinitely to the statement that lines are unbounded. Riemann's elliptic geometry emerges as the most natural geometry satisfying this axiom.

Модельдер

Евклидтік емес геометрияның модельдері — бұл Евклидтік емес геометрияның математикалық модельдері, яғни берілген түзуге l-ге параллель, осы түзуде жатпайтын нүкте арқылы дәл бір түзу жүргізуге болмайды. Гиперболалық геометриялық модельдерде, керісінше, A нүктесі арқылы l-ге параллель шексіз көп түзулер бар, ал эллиптикалық геометриялық модельдерде параллель түзулер мүлдем жоқ. (Толық ақпарат алу үшін гиперболалық және эллиптикалық геометрия жазбаларын қараңыз.) Евклидтік геометрия біздің "жазық жазықтық" ұғымымен бейнеленеді. Эллиптикалық геометрияның ең қарапайым моделі — сфера, онда түзулер "үлкен шеңберлер" (мысалы, экватор немесе глобустағы меридиандар) болып табылады, ал бір-біріне қарама-қарсы жатқан нүктелер біріктіріледі (бірдей деп есептеледі). Псевдосфера гиперболалық геометрияны модельдеуге қажетті қисықтыққа ие.

Эллипстік геометрия

Эллипстік геометрияның ең қарапайым моделі - сфера, онда түзулер "үлкен шеңберлер" (мысалы, экватор немесе глобустағы меридиандар) болып табылады, ал бір-біріне қарама-қарсы жатқан нүктелер (антиподальді нүктелер деп аталады) теңестіріледі (бірдей деп есептеледі). Бұл нақты проективті жазықтықтың да стандартты модельдерінің бірі. Ерекшелігі - эллипстік геометрия моделі ретінде ұзындықтар мен бұрыштарды өлшеуге мүмкіндік беретін метрика енгізіледі, ал проективті жазықтық моделі ретінде мұндай метрика болмайды. Эллипстік модельде, кез келген берілген l түзуі және l түзуінде жатпайтын A нүктесі үшін, A нүктесінен өтетін барлық түзулер l түзуін қиып өтеді.

Гиперболалық геометрия

Лобачевский, Гаусс және Болайдың еңбектерінен кейін де «Гиперболалық геометрия үшін мұндай модель бар ма?» деген сұрақ туындады. Евгений Белтрами 1868 жылы гиперболалық геометрияның моделіне жауап берді. Ол псевдосфера деп аталатын беттің гиперболалық кеңістіктің бір бөлігін модельдеуге қажетті қисықтығын көрсетті, ал сол жылы жариялаған екінші мақаласында гиперболалық кеңістіктің толықтай моделін – Кляйн моделін ұсынды. Осы модельді пайдаланып, ол Евклид геометриясы мен гиперболалық геометрия эквиконсистентті екенін, яғни гиперболалық геометрия логикалық тұрғыдан дұрыс болса, Евклид геометриясы да дұрыс болатынын көрсетті. (Кері тұжырым Евклид геометриясының горосфералық моделінен шығады.) Гиперболалық модельде екі өлшемді жазықтықта, кез келген берілген l түзуі мен l түзуінде жатпайтын A нүктесі үшін, A нүктесінен өтетін және l түзуін қиыспайтын шексіз көп түзулер бар.

Бұл модельдерде Евклидтік емес геометрияның ұғымдары Евклидтік ортадағы Евклидтік объектілер арқылы бейнеленеді. Бұл қабылдау бұрмалауына әкеледі, онда Евклидтік емес геометрияның түзу сызықтары Евклидтік қисықтармен бейнеленеді, бұл оларды көзбен иілгендей көрсетеді. Бұл «иілу» Евклидтік емес түзулердің қасиеті емес, тек оларды бейнелеу тәсілінің амалы ғана.

Үш өлшемді евклидтік емес геометрия

Үш өлшемде сегіз геометриялық модель бар. Екі өлшемдегідей Эвклидтік, эллиптік және гиперболалық геометриялар; ішінара Эвклидтік және ішінара гиперболалық немесе сфералық геометриялардың араласуы; аралас геометриялардың бұрылған түрлері; және толығымен анизотроптық, яғни әр бағытта әртүрліше қасиет көрсететін бір ерекше геометрия бар.

Маңыздылық

Евклидтік емес жазықтықтың модельдерін Белтрами, Клейн және Поанкаре ұсынғанға дейін Евклидтік геометрия кеңістіктің математикалық моделі ретінде сөзсіз қабылданды. Сонымен қатар, синтетикалық геометриядағы пәннің мәні рационалдылықтың басты дәлелі болғандықтан, Евклидтік көзқарас абсолютті билікке ие болды. Евклидтік емес геометрияның ашылуы математика мен ғылым шегінен асып, үлкен әсер етті. Философ Иммануил Канттың адам білімі туралы пікірлері геометрияға ерекше мән берді. Ол синтетикалық априорлы білімнің басты мысалы болды; сезімдерден туындамаған, логика арқылы шығарылмаған – кеңістік туралы біліміміз бізбен бірге туған шындық еді. Алайда, Кант үшін оның өзгермейтін шындық геометриясы Евклидтік болды. Теологияға да математиканың әлеммен байланысы тұрғысынан абсолюттік шындықтан салыстырмалы шындыққа өту әсер етті, бұл осы парадигмалық өзгерістің нәтижесі болды. Евклидтік емес геометрия ғылым тарихындағы ғылыми революцияның мысалы, онда математиктер мен ғалымдар өз салаларын қарастыру тәсілдерін өзгертті. Кейбір геометрлер Лобачевскийді оның жұмысының революциялық сипатына байланысты "Геометрияның Копернигі" деп атады. Евклидтік емес геометриялардың болуы Викториялық Англияның рухани өміріне көптеген жағынан әсер етті, әсіресе Евклидтің "Элементтеріне" негізделген геометрияны оқытуды қайта қарастыруға себеп болды. Бұл оқу бағдарламасы мәселесі сол кезде қызу талқыланды және тіпті "Алиса Әдебиеттер елінде" авторы Льюис Кэрролл ретінде танымал Чарльз Лутвидж Доджсон (1832–1898) жазған "Евклид және оның заманауи қарсыластары" атты кітаптың тақырыбы болды.

Көркем әдебиет

Евклидтік емес геометрия көбінесе ғылыми фантастика мен фантастика туындыларында кездеседі. 1895 жылы Х.Г. Уэллс «Дэвидсонның көздерінің таңғажайып жағдайы» деген қысқа әңгіме жариялады. Осы әңгімені түсіну үшін шардағы антиподальді нүктелер эллипстік жазықтық моделінде қалай анықталатынын білу қажет. Әңгімеде, найзағай кезінде Сидни Дэвидсон Харлоу техникалық колледжінің электр зертханасында жұмыс істеп жатқанда «толқындар мен ерекше таза шхунаны» көреді. Әңгіменің соңында Дэвидсон Антипода аралынан H.M.S. Fulmar кемесін көргенін дәлелдейді. Евклидтік емес геометрия кейде ХХ ғасырдың қорқыныш әдебиетінің жазушысы Х.П. Лавкрафттың ықпалымен байланыстырылады. Оның туындыларында көптеген табиғаттан тыс нәрселер геометрияның өзіндік заңдарымен басқарылады: Лавкрафттың Ктулху мифологиясында суға батқан Р’льех қаласы Евклидтік емес геометриясымен сипатталады. Бұл ғаламның табиғи заңдарын сақтамаудың жанама салдары, жай ғана балама геометриялық модельді қолдану емес, оның өзінің қателігі оған қарағандарды ақылдан шығаруға жеткілікті дейді. Роберт Пирсигтің «Дзен және мотоциклді күту өнері» кітабының басты кейіпкері Риман геометриясын бірнеше рет еске алады. «Карамазовтар» романында Достоевский өзінің кейіпкері Иван арқылы Евклидтік емес геометрияны талқылайды. Кристофер Присттің «Айналдырылған әлем» романы айналып тұратын псевдосфера пішіндес планетада өмір сүрудің қиындықтарын суреттейді. Роберт Хайнлайнның «Бестің саны» (The Number of the Beast) кеңістік пен уақыт арқылы, сондай-ақ параллель және ойдан шығарылған ғаламдар арасындағы жылдам көлікті түсіндіру үшін Евклидтік емес геометрияны пайдаланады. Zeno Rogue’s HyperRogue – гиперболалық жазықтықта өтетін, ойыншыға осы геометрияның көптеген қасиеттерін сезінуге мүмкіндік беретін roguelike ойын. Көптеген механикалық жүйелер, тапсырмалар мен локациялар гиперболалық геометрияның ерекшеліктеріне тікелей байланысты. FASA-ның стратегиялық ойын, рөлдік ойын және көркем әдебиеті үшін жасалған Renegade Legion ғылыми фантастика әлемінде, 22 ғасырдың ортасында жарық көрген Hsieh Ho-ның Polydimensional Non Euclidean Geometry-ін қолдану арқылы жарық жылдамдығынан асып түсетін саяхаттар мен байланыс мүмкін болады. Иан Стюарттың «Жазық елінде» Виктория Лайн басты кейіпкері Евклидтік емес әлемдердің түрлі-түсіне саяхат жасайды.

Non Euclidean geometry often makes appearances in works of science fiction and fantasy. In 1895, H. G. Wells published the short story "The Remarkable Case of Davidson's Eyes". To appreciate this story one should know how antipodal points on a sphere are identified in a model of the elliptic plane. In the story, in the midst of a thunderstorm, Sidney Davidson sees "Waves and a remarkably neat schooner" while working in an electrical laboratory at Harlow Technical College. At the story's close, Davidson proves to have witnessed H. M. S. Fulmar off Antipodes Island. Non Euclidean geometry is sometimes connected with the influence of the 20th century horror fiction writer H. P. Lovecraft. In his works, many unnatural things follow their own unique laws of geometry: in Lovecraft's Cthulhu Mythos, the sunken city of R'lyeh is characterized by its non Euclidean geometry. It is heavily implied this is achieved as a side effect of not following the natural laws of this universe rather than simply using an alternate geometric model, as the sheer innate wrongness of it is said to be capable of driving those who look upon it insane. The main character in Robert Pirsig's Zen and the Art of Motorcycle Maintenance mentioned Riemannian geometry on multiple occasions. In The Brothers Karamazov, Dostoevsky discusses non Euclidean geometry through his character Ivan. Christopher Priest's novel Inverted World describes the struggle of living on a planet with the form of a rotating pseudosphere. Robert Heinlein's The Number of the Beast utilizes non Euclidean geometry to explain instantaneous transport through space and time and between parallel and fictional universes. Zeno Rogue's HyperRogue is a roguelike game set on the hyperbolic plane, allowing the player to experience many properties of this geometry. Many mechanics, quests, and locations are strongly dependent on the features of hyperbolic geometry. In the Renegade Legion science fiction setting for FASA's wargame, role playing game and fiction, faster than light travel and communications is possible through the use of Hsieh Ho's Polydimensional Non Euclidean Geometry, published sometime in the middle of the 22nd century. In Ian Stewart's Flatterland the protagonist Victoria Line visits all kinds of non Euclidean worlds.