Кіріспе
Топологияны анықтау үшін қолданылатын ашық жиындықтар жиыны. Математикада, топологиялық кеңістік (X, τ) үшін негіз (немесе негіздер) – X-тің ашық ішкі жиындықтарының жиыны, мұнда топологияның кез келген ашық жиынтығы оның кейбір ішкі жиындықтарының біріктірілісіне тең болады. Мысалы, нақты сандар түзуіндегі барлық ашық интервалдар жиыны – Евклидтік топологияның негізі болып табылады, өйткені әрбір ашық интервал ашық жиындық болып табылады, сондай-ақ -ның кез келген ашық ішкі жиынтығын ашық интервалдардың кейбір жиынының біріктірілісі ретінде жазуға болады. Негіздер топологияның барлық жерінде кездеседі. Топологияның негізіндегі негізгі ашық жиынтықтар деп аталатын жиынтықтарды сипаттау және қолдану кездейсоқ ашық жиынтықтарға қарағанда оңай. Көптеген маңызды топологиялық анықтамалар, мысалы, үздіксіздік және жинақтылық, тек негізгі ашық жиынтықтарды пайдаланып тексерілуі мүмкін. Кейбір топологияларда белгілі бір пайдалы қасиеттері бар ашық жиынтықтардың негізі болады, бұл мұндай топологиялық анықтамаларды тексеруді жеңілдетуі мүмкін. Жиынның барлық ішкі жиындықтарының жиыны ондағы топологияның негізін құрамайды. Төменде егжей-тегжейлі сипатталған белгілі бір шарттарда, ішкі жиындықтар жиыны, барлық мүмкін ішкі жиындықтардың біріктірілісін алу арқылы алынған ондағы (бірден-бір) топологияның негізін құрайды. Мұндай жиындықтардың жиындары топологияларды анықтау үшін жиі қолданылады. Негіздерге байланысты әлсіз түсінік – топологияның қосалқы негізі. Топологиялар үшін негіздер көршілес негіздермен де тығыз байланысты.
In mathematics, a base (or basis; : bases) for the topology τ of a topological space (X, τ) is a family of open subsets of X such that every open set of the topology is equal to the union of some sub family of For example, the set of all open intervals in the real number line is a basis for the Euclidean topology on because every open interval is an open set, and also every open subset of can be written as a union of some family of open intervals. Bases are ubiquitous throughout topology. The sets in a base for a topology, which are called basic open sets, are often easier to describe and use than arbitrary open sets. Many important topological definitions such as continuity and convergence can be checked using only basic open sets instead of arbitrary open sets. Some topologies have a base of open sets with specific useful properties that may make checking such topological definitions easier. Not all families of subsets of a set form a base for a topology on Under some conditions detailed below, a family of subsets will form a base for a (unique) topology on , obtained by taking all possible unions of subfamilies. Such families of sets are very frequently used to define topologies. A weaker notion related to bases is that of a subbase for a topology. Bases for topologies are also closely related to neighborhood bases.
Мысалдар
Барлық ашық интервалдардың Γ жиыны, екі немесе одан көп жиындардың шекті қиылыстары бойынша жабық X жиынының бос емес ішкі жиындарынан тұратын, X-тегі топологияның негізі болып табылады, егер және тек қана X-ті жабатын болса. Анықтама бойынша, әрбір σ-алгебра, әрбір сүзгі (және әсіресе, әрбір маңай сүзгісі) және әрбір топология – жабатын жүйе және сонымен қатар топологияның негізі. Шындығында, егер Γ – X-тегі сүзгі болса, онда {∅} ∪ Γ – X-тегі топология және Γ – оның негізі. Топологияның негізі шекті қиылыстар бойынша жабылуы міндетті емес, және көптегендері жабылмайды. Бірақ, көптеген топологиялар шекті қиылыстар бойынша жабық негіздер арқылы анықталады. Мысалы, төмендегі әрбір ішкі жиын шекті қиылыстар бойынша жабық, сондықтан әрқайсысы белгілі бір топологияның негізін құрайды: -дағы барлық шектелген ашық интервалдардың Γ жиыны -дағы стандартты Евклидтік топологияны тудырады. -дағы барлық шектелген жабық интервалдардың Σ жиыны -дағы дискретті топологияны тудырады, сондықтан Евклидтік топология осы топологияның ішкі жиыны болып табылады. Бұл Γ, Σ-ның ішкі жиыны болмаса да, нәтижесінде Γ-дан туындаған топология, яғни -дағы Евклидтік топология, Σ-дан туындаған топологиядан жуан. Шындығында, ол қатаң түрде жуан, себебі Σ-да Евклидтік топологияда ешқашан ашық емес бос емес компактты жиындар бар. Γ-дағы барлық интервалдардың жиыны, егер интервалдың екі ұшы да рационал сандар болса, Γ-мен бірдей топологияны тудырады. Бұл Γ символының әрбір мысалы Σ-мен ауыстырылса да дұрыс. 1=Σ∞ = { [r, ∞) : r ∈ } топологияны Σ-дан туындаған топологиядан қатаң түрде жуан жасайды. 1=Γ∞ = { (r, ∞) : r ∈ } Евклидтік топологияда 1=Σ∞ элементі ашық емес: Евклидтік топологиядан да, Σ∞-дан да қатаң түрде жуан топологияны тудырады. Σ∞ және Γ∞ жиындары бөлек, бірақ, соған қарамастан, Γ∞ – Σ∞ тудыратын топологияның ішкі жиыны.
A non empty family of subsets of a set X that is closed under finite intersections of two or more sets, which is called a system on X, is necessarily a base for a topology on X if and only if it covers X. By definition, every σ algebra, every filter (and so in particular, every neighborhood filter), and every topology is a covering system and so also a base for a topology. In fact, if Γ is a filter on X then { ∅ } ∪ Γ is a topology on X and Γ is a basis for it. A base for a topology does not have to be closed under finite intersections and many are not. But nevertheless, many topologies are defined by bases that are also closed under finite intersections. For example, each of the following families of subset of is closed under finite intersections and so each forms a basis for some topology on :
The set Γ of all bounded open intervals in generates the usual Euclidean topology on
The set Σ of all bounded closed intervals in generates the discrete topology on and so the Euclidean topology is a subset of this topology. This is despite the fact that Γ is not a subset of Σ. Consequently, the topology generated by Γ, which is the Euclidean topology on , is coarser than the topology generated by Σ. In fact, it is strictly coarser because Σ contains non empty compact sets which are never open in the Euclidean topology. The set Γ of all intervals in Γ such that both endpoints of the interval are rational numbers generates the same topology as Γ. This remains true if each instance of the symbol Γ is replaced by Σ. 1=Σ∞ = { [r, ∞) : r ∈ } generates a topology that is strictly coarser than the topology generated by Σ. No element of 1=Σ∞ is open in the Euclidean topology on 1=Γ∞ = { (r, ∞) : r ∈ } generates a topology that is strictly coarser than both the Euclidean topology and the topology generated by Σ∞. The sets Σ∞ and Γ∞ are disjoint, but nevertheless Γ∞ is a subset of the topology generated by Σ∞.
Негізгі элементтермен анықталатын объектілер
Толық реттелген жиынның реттік топологиясы негіз ретінде ашық аралықтарға ұқсас жиындарды қабылдайды. Метрикалық кеңістікте барлық ашық шарлардың жиынтығы топологияның негізін құрайды. Дискреттік топологияда барлық бір элементті жиынтар негіз болып табылады. Екінші саналатын кеңістік – саналатын негізі бар кеңістік. Сақина спектріндегі Зариски топологиясының негізі белгілі бір пайдалы қасиеттері бар ашық жиындардан тұрады. Бұл топологияның стандартты негізі үшін, негізгі ашық жиындардың кез келген шекті қиылысы негізгі ашық жиын болып табылады. Зариски топологиясы алгебралық жиындарды жабық жиындар ретінде қарастыратын топология. Оның негізі алгебралық гипербеттердің толықтыруларынан құралған. Сақина спектрінің Зариски топологиясы (жарасымды идеалдар жиынтығы) негізден тұрады, мұнда әрбір элемент сақинаның берілген элементін қамтымайтын барлық жарасымды идеалдардан құралған.
Теоремалар
Топология топологиядан нәзік болады, егер және тек қана егер, кез келген және -нің қамтитын әрбір негізгі ашық жиыны үшін, -нің қамтитын және -ге кіретін негізгі ашық жиыны болса. Егер -лер топологиялардың негіздері болса, онда барлық жиындық көбейтінділер жиыны, мұндағы әрбір , өнім топологиясының негізі болып табылады. Шегі шексіз көбейтінді үшін, бұл әлі де қолданылады, бірақ негіз элементтерінің тек шектеулі саны ғана бүкіл кеңістік болуы керек. Егер - кеңістіктің негізі болса және - кеңістіктің ішкі кеңістігі болса, онда біз -нің әрбір элементін -мен қиыстырсақ, нәтижесіндегі жиындар жиыны -нің ішкі кеңістігі үшін негіз болады. Егер функция -нің әрбір негізгі ашық жиынын -нің ашық жиынына бейнелесе, онда ол ашық бейнелеу болады. Сол сияқты, егер -нің негізгі ашық жиынының әрбір кері бейнесі -де ашық болса, онда - үздікес. - кеңістіктің негізі болып табылады, егер және тек қана егер, -нің элементтерінің кез келген нүктеде -ні қамтитын қосалқы жиыны жергілікті негіз құраса.