Введение

Совокупность открытых множеств, используемых для определения топологии. В математике основание (или базис; : базисы) для топологии τ топологического пространства (X, τ) — это семейство открытых подмножеств X, такое что каждое открытое множество топологии равно объединению некоторого подсемейства. Например, множество всех открытых интервалов на прямой действительных чисел является базисом для евклидовой топологии, поскольку каждый открытый интервал является открытым множеством, и также каждое открытое подмножество может быть записано как объединение некоторого семейства открытых интервалов. Базисы повсеместно встречаются в топологии. Множества в базисе для топологии, называемые базовыми открытыми множествами, часто легче описывать и использовать, чем произвольные открытые множества. Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и сходимость, можно проверять, используя только базовые открытые множества вместо произвольных открытых множеств. Некоторые топологии имеют базис открытых множеств со специфическими полезными свойствами, которые могут упростить проверку таких топологических определений. Не все семейства подмножеств множества образуют базис для топологии на . При определенных условиях, описанных ниже, семейство подмножеств образует базис для (единственной) топологии на , получаемой путем взятия всех возможных объединений подсемейств. Такие семейства множеств очень часто используются для определения топологий. Более слабым понятием, связанным с базисами, является субазис для топологии. Базисы для топологий также тесно связаны с базисами окрестностей.

Примеры

Множество Γ всех открытых интервалов в образует основу для евклидовой топологии на . Непустое семейство подмножеств множества X, замкнутое относительно конечных пересечений двух или более множеств, называемое системой на X, является основой для топологии на X тогда и только тогда, когда оно покрывает X. По определению, каждая σ-алгебра, каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр окрестностей) и каждая топология являются покрывающими системами и, следовательно, основаниями для топологии. Фактически, если Γ является фильтром на X, то { ∅ } ∪ Γ является топологией на X, а Γ – основой для неё. Основание для топологии не обязано быть замкнутым относительно конечных пересечений, и многие из них таковыми не являются. Однако многие топологии определяются основаниями, которые также замкнуты относительно конечных пересечений. Например, каждое из следующих семейств подмножеств замкнуто относительно конечных пересечений и, следовательно, каждое из них образует основу для некоторой топологии на : Множество Γ всех ограниченных открытых интервалов в генерирует обычную евклидову топологию на . Множество Σ всех ограниченных замкнутых интервалов в генерирует дискретную топологию на , и, следовательно, евклидова топология является подмножеством этой топологии. Это несмотря на то, что Γ не является подмножеством Σ. Следовательно, топология, порожденная Γ, которая является евклидовой топологией на , грубее, чем топология, порожденная Σ. Фактически, она строго грубее, поскольку Σ содержит непустые компактные множества, которые никогда не являются открытыми в евклидовой топологии. Множество Γ всех интервалов в Γ, у которых оба конца интервала являются рациональными числами, порождает ту же топологию, что и Γ. Это остается верным, если каждый символ Γ заменить на Σ. 1=Σ∞ = { [r, ∞) : r ∈ } порождает топологию, которая строго грубее, чем топология, порожденная Σ. Ни один элемент 1=Σ∞ не является открытым в евклидовой топологии на . 1=Γ∞ = { (r, ∞) : r ∈ } порождает топологию, которая строго грубее, чем как евклидова топология, так и топология, порожденная Σ∞. Множества Σ∞ и Γ∞ не пересекаются, но тем не менее Γ∞ является подмножеством топологии, порожденной Σ∞.

Объекты, определенные с точки зрения основ

Топология порядка на полностью упорядоченном множестве допускает семейство множеств, подобных открытым интервалам, в качестве базы. В метрическом пространстве семейство всех открытых шаров образует базу для топологии. Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех одноэлементных множеств. Счетное пространство — это пространство, имеющее счетную базу. Топология Зариски на спектре кольца имеет базу, состоящую из открытых множеств, обладающих специфическими полезными свойствами. Для обычной базы этой топологии каждое конечное пересечение базовых открытых множеств является базовым открытым множеством. Топология Зариски — это топология, для которой алгебраические множества являются замкнутыми множествами. Она имеет базу, образованную дополнениями алгебраических гиперповерхностей. Топология Зариски спектра кольца (множество простых идеалов) имеет базу, в которой каждый элемент состоит из всех простых идеалов, не содержащих данный элемент кольца.

Теоремы

Топология тоньше, чем топология , если и только если для каждого элемента и каждого базового открытого множества из , содержащего , существует базовое открытое множество из , содержащее и содержащееся в . Если – основания для топологий и , то множество всех декартовых произведений с каждым является основанием для топологии произведения . В случае бесконечного произведения это по-прежнему применимо, за исключением того, что все, кроме конечного числа базовых элементов, должны быть равны всему пространству. Пусть – основание для , и пусть – подпространство . Тогда, если мы пересекаем каждый элемент с , полученное множество множеств является основанием для подпространства . Если функция отображает каждое базовое открытое множество в открытое множество , то это открытое отображение. Аналогично, если прообраз каждого базового открытого множества открыт в , то непрерывна. Множество является основанием для топологического пространства , если и только если подмножество элементов из , содержащих , образует локальное основание в любой точке .