Кіріспе
Математикада, әсіресе, жол теориясының математикалық негізінде Годдард-Торн теоремасы (сонымен қатар "призрак жоқ" теоремасы деп аталады) – бозондық жолдарды кванттаушы функтордың қасиеттерін сипаттайтын теорема. Ол Питер Годдард пен Чарльз Торнның есімдерімен аталған. "Призрак жоқ" деген атау теореманың бастапқы тұжырымында шығыс векторлық кеңістікте туындаған ішкі көбейтінінің оң белгілі екендігінен келіп шыққан. Осылайша, "призрактар" (Паули-Вилларс призрактары) немесе теріс нормалы векторлар болған жоқ. "Призрак жоқ" теоремасының атауы кванттық механиканың "баруға болмайтын" теоремасымен байланысты сөзжұмбақ болып табылады.
In mathematics, and in particular in the mathematical background of string theory, the Goddard–Thorn theorem (also called the no ghost theorem) is a theorem describing properties of a functor that quantizes bosonic strings. It is named after Peter Goddard and Charles Thorn. The name "no ghost theorem" stems from the fact that in the original statement of the theorem, the natural inner product induced on the output vector space is positive definite. Thus, there were no so called ghosts (Pauli–Villars ghosts), or vectors of negative norm. The name "no ghost theorem" is also a word play on the no go theorem of quantum mechanics.
Формализм
Бозондық тізбектерді кванттау үшін әдетте қолданылатын екі табиғи изоморфты функтор бар. Екі жағдайда да, Virasoro инвариантты билинейрлік формалармен жабдықталған орталық заряд 26-ға тең Вирасоро алгебрасының оң энергиялық өкілдіктерімен басталып, билинейрлік формалармен жабдықталған векторлық кеңістіктерге жетуге болады. Мұнда "Virasoro инвариантты" дегеніміз – Ln операторы барлық n бүтін сандары үшін L-n операторына байланысты (adjoint) дегенді білдіреді. Тарихи тұрғыдан алғанда, бірінші функтор "ескі каноникалық кванттау" деп аталады, ол салмағы 1-ге тең негізгі кіші кеңістікті билинейрлік форманың радикалына бөлу арқылы анықталады. Мұнда "негізгі кіші кеңістік" – барлық қатаң оң n үшін Ln операторымен жойылған векторлар жиыны, ал "салмақ 1" дегеніміз – L0 операторы бірлік операторы ретінде әрекет етеді. Екінші, табиғи түрде изоморфты функтор 1-дәрежелі BRST кохомологиясымен беріледі. BRST кохомологиясының бұрынғы емдеулерінде BRST зарядының таңдауы өзгергендіктен дәрежеде ығысу кездеседі, сондықтан 1995 жылға дейінгі мақалалар мен мәтіндерде -1/2 дәрежелі кохомологияға ұшырасуы мүмкін. Осы функторлардың табиғи түрде изоморфты екенін дәлелдеу Полчинскидің "Сызықтық теория" кітабының 4.4-бөлімінде келтірілген. Годдард-Торн теоремасы, 1971 жылы Лавлейс болжағандай, осы кванттау функторы екі еркін бозонның қосылуын шамалы немесе толығымен жояды дегенді білдіреді. Лавлейстің нақты тұжырымы – 26-шы өлшемде Virasoro типті Уорд тождестіктері екі толық осциллятор жиынтығын жояды. Математикалық тұрғыдан бұл былай тұжырымдалады:
The first functor historically is "old canonical quantization", and it is given by taking the quotient of the weight 1 primary subspace by the radical of the bilinear form. Here, "primary subspace" is the set of vectors annihilated by Ln for all strictly positive n, and "weight 1" means L0 acts by identity. A second, naturally isomorphic functor, is given by degree 1 BRST cohomology. Older treatments of BRST cohomology often have a shift in the degree due to a change in choice of BRST charge, so one may see degree −1/2 cohomology in papers and texts from before 1995. A proof that the functors are naturally isomorphic can be found in Section 4.4 of Polchinski's String Theory text. The Goddard–Thorn theorem amounts to the assertion that this quantization functor more or less cancels the addition of two free bosons, as conjectured by Lovelace in 1971. Lovelace's precise claim was that at critical dimension 26, Virasoro type Ward identities cancel two full sets of oscillators. Mathematically, this is the following claim:
Let V be a unitarizable Virasoro representation of central charge 24 with Virasoro invariant bilinear form, and let be the irreducible module of the R1,1 Heisenberg Lie algebra attached to a nonzero vector λ in R1,1. Then the image of V ⊗ under quantization is canonically isomorphic to the subspace of V on which L0 acts by 1 (λ,λ). The no ghost property follows immediately, since the positive definite Hermitian structure of V is transferred to the image under quantization.
V – орталық заряды 24-ке тең Virasoro инвариантты билинейрлік формасы бар унитаризацияланатын Virasoro өкілдігі болсын, ал R1,1 – R1,1 Хейзенберг Ли алгебрасының нөлдік емес λ векторына байланысты қайталанбайтын модулі болсын. Онда кванттау арқылы алынған V кескіні, L0 операторы 1 (λ,λ) арқылы әрекет ететін V кіші кеңістігіне каноникалық түрде изоморфты болады. "Призраксыздық" қасиеті дереу шығады, себебі V-тің оң нақты гермиттік құрылымы кванттау арқылы алынған кескінге көшіріледі.
The first functor historically is "old canonical quantization", and it is given by taking the quotient of the weight 1 primary subspace by the radical of the bilinear form. Here, "primary subspace" is the set of vectors annihilated by Ln for all strictly positive n, and "weight 1" means L0 acts by identity. A second, naturally isomorphic functor, is given by degree 1 BRST cohomology. Older treatments of BRST cohomology often have a shift in the degree due to a change in choice of BRST charge, so one may see degree −1/2 cohomology in papers and texts from before 1995. A proof that the functors are naturally isomorphic can be found in Section 4.4 of Polchinski's String Theory text. The Goddard–Thorn theorem amounts to the assertion that this quantization functor more or less cancels the addition of two free bosons, as conjectured by Lovelace in 1971. Lovelace's precise claim was that at critical dimension 26, Virasoro type Ward identities cancel two full sets of oscillators. Mathematically, this is the following claim:
Let V be a unitarizable Virasoro representation of central charge 24 with Virasoro invariant bilinear form, and let be the irreducible module of the R1,1 Heisenberg Lie algebra attached to a nonzero vector λ in R1,1. Then the image of V ⊗ under quantization is canonically isomorphic to the subspace of V on which L0 acts by 1 (λ,λ). The no ghost property follows immediately, since the positive definite Hermitian structure of V is transferred to the image under quantization.
Қолданбалар
Мұнда сипатталған бозондық тізбекті кванттау функторларын 26-шы орталық зарядқа ие кез келген конформдық түбір алгебрасына қолдануға болады, ал нәтижесі табиғи түрде Ли алгебрасының құрылымын қалыптастырады. Годдард-Торн теоремасын ендірістік түбір алгебрасы тұрғысынан Ли алгебрасын нақты сипаттау үшін пайдалануға болады. Осы қолданыстың ең таңғажайып мысалы, Ричард Борчердстің «айшаң айшық» болжамын дәлелдеуі болып табылады, онда унитаризацияланатын Вирасоро бейнесі – Френкель, Леповский және Мюрман құрастырған «айшаң модуль» деп те аталатын монстр түбір алгебрасы. 2-ші дәрежелі гиперболалық торға байланысты түбір алгебрасымен тензорлық көбейтіндіні алып, кванттауды қолдану арқылы монстрлық Ли алгебрасын аламыз, ол тор бойынша жіктелетін жалпыланған Кац-Мюди алгебрасы. Годдард-Торн теоремасын қолдану арқылы Борчердс Ли алгебрасының гомогенді бөліктері монстр қарапайым тобының өкілдіктері ретінде айшаң модульдің жіктелген бөліктеріне табиғи түрде изоморфты екенін көрсетті. Алдыңғы қолданыстардың ішінде Френкельдің Кац-Мюди Ли алгебрасының түбірлік көптіктеріне арналған жоғарғы шектерін анықтауы, оның Динкин диаграммасы Лич торы болып табылады, сондай-ақ Борчердстің Френкельдің Ли алгебрасын қамтитын және Френкельдің 1/∆ шектерін қанағаттандыратын жалпыланған Кац-Мюди Ли алгебрасын құрастыруы бар.