Введение
В математике, и в частности в математических основах теории струн, теорема Годдарда — Торна (также называемая теоремой об отсутствии призраков) — это теорема, описывающая свойства функтора, квантующего бозонные струны. Она названа в честь Питера Годдарда и Чарльза Торна. Название «теорема об отсутствии призраков» происходит от того, что в первоначальной формулировке теоремы естественное внутреннее произведение, индуцированное на выходном векторном пространстве, является положительно определённым. Таким образом, не возникало так называемых призраков (призраков Паули — Вилларса), то есть векторов отрицательной нормы. Название «теорема об отсутствии призраков» также является игрой слов с теоремой о запрете в квантовой механике.
In mathematics, and in particular in the mathematical background of string theory, the Goddard–Thorn theorem (also called the no ghost theorem) is a theorem describing properties of a functor that quantizes bosonic strings. It is named after Peter Goddard and Charles Thorn. The name "no ghost theorem" stems from the fact that in the original statement of the theorem, the natural inner product induced on the output vector space is positive definite. Thus, there were no so called ghosts (Pauli–Villars ghosts), or vectors of negative norm. The name "no ghost theorem" is also a word play on the no go theorem of quantum mechanics.
Формализм
Существует два естественным образом изоморфных функтора, которые обычно используются для квантования бозонных струн. В обоих случаях начинают с представлений алгебры Вирасоро с положительной энергией и центральным зарядом 26, снабженных инвариантными относительно Вирасоро двулинейными формами, и приходят к векторным пространствам, снабженным двулинейными формами. Здесь "инвариантность относительно Вирасоро" означает, что Ln является сопряженным к L−n для всех целых n. Первый функтор исторически известен как "старая каноническая квантизация", и он определяется как фактор пространства первичных векторов веса 1 по радикалу двулинейной формы. Здесь "первичное подпространство" – это множество векторов, аннигилируемых Ln для всех строго положительных n, а "вес 1" означает, что L0 действует как тождественное преобразование. Второй, естественным образом изоморфный функтор, задается BRST-кохомологиями 1-й степени. В более ранних работах по BRST-кохомологиям часто встречается сдвиг степени из-за изменения выбора BRST-заряда, поэтому в статьях и текстах, опубликованных до 1995 года, можно встретить кохомологии степени −1/2. Доказательство естественной изоморфности этих функторов можно найти в разделе 4.4 учебника Полчинского по теории струн. Теорема Годдарда — Торна по существу утверждает, что этот функтор квантования компенсирует добавление двух свободных бозонов, как предполагал Лавлейс в 1971 году. Точное утверждение Лавлейса заключалось в том, что при критической размерности 26 тождества Уорда типа Вирасоро компенсируют два полных набора осцилляторов. Математически это можно сформулировать следующим образом:
The first functor historically is "old canonical quantization", and it is given by taking the quotient of the weight 1 primary subspace by the radical of the bilinear form. Here, "primary subspace" is the set of vectors annihilated by Ln for all strictly positive n, and "weight 1" means L0 acts by identity. A second, naturally isomorphic functor, is given by degree 1 BRST cohomology. Older treatments of BRST cohomology often have a shift in the degree due to a change in choice of BRST charge, so one may see degree −1/2 cohomology in papers and texts from before 1995. A proof that the functors are naturally isomorphic can be found in Section 4.4 of Polchinski's String Theory text. The Goddard–Thorn theorem amounts to the assertion that this quantization functor more or less cancels the addition of two free bosons, as conjectured by Lovelace in 1971. Lovelace's precise claim was that at critical dimension 26, Virasoro type Ward identities cancel two full sets of oscillators. Mathematically, this is the following claim:
Let V be a unitarizable Virasoro representation of central charge 24 with Virasoro invariant bilinear form, and let be the irreducible module of the R1,1 Heisenberg Lie algebra attached to a nonzero vector λ in R1,1. Then the image of V ⊗ under quantization is canonically isomorphic to the subspace of V on which L0 acts by 1 (λ,λ). The no ghost property follows immediately, since the positive definite Hermitian structure of V is transferred to the image under quantization.
Пусть V – унитаризуемое представление Вирасоро с центральным зарядом 24 и инвариантной относительно Вирасоро двулинейной формой, а – неприводимый модуль алгебры Ли Гейзенберга R1,1, присоединенный к ненулевому вектору λ в R1,1. Тогда образ V при квантовании канонически изоморфен подпространству V, на котором L0 действует как умножение на 1 (λ, λ). Отсутствие призраков следует непосредственно из того, что положительно определенная эрмитова структура V переносится на образ при квантовании.
The first functor historically is "old canonical quantization", and it is given by taking the quotient of the weight 1 primary subspace by the radical of the bilinear form. Here, "primary subspace" is the set of vectors annihilated by Ln for all strictly positive n, and "weight 1" means L0 acts by identity. A second, naturally isomorphic functor, is given by degree 1 BRST cohomology. Older treatments of BRST cohomology often have a shift in the degree due to a change in choice of BRST charge, so one may see degree −1/2 cohomology in papers and texts from before 1995. A proof that the functors are naturally isomorphic can be found in Section 4.4 of Polchinski's String Theory text. The Goddard–Thorn theorem amounts to the assertion that this quantization functor more or less cancels the addition of two free bosons, as conjectured by Lovelace in 1971. Lovelace's precise claim was that at critical dimension 26, Virasoro type Ward identities cancel two full sets of oscillators. Mathematically, this is the following claim:
Let V be a unitarizable Virasoro representation of central charge 24 with Virasoro invariant bilinear form, and let be the irreducible module of the R1,1 Heisenberg Lie algebra attached to a nonzero vector λ in R1,1. Then the image of V ⊗ under quantization is canonically isomorphic to the subspace of V on which L0 acts by 1 (λ,λ). The no ghost property follows immediately, since the positive definite Hermitian structure of V is transferred to the image under quantization.
Приложения
Функторы квантования бозонных струн, описанные здесь, могут быть применены к любой конформной алгебре вершин центрального заряда 26, и результат естественным образом обладает структурой алгебры Ли. Теорема Годдарда — Торна позволяет конкретно описать алгебру Ли через входную алгебру вершин. Пожалуй, наиболее впечатляющим примером применения этого является доказательство Ричардом Борхердсом гипотезы о чудовищном лунном свете, где унитаризуемое представление Вирасоро является алгеброй вершин монстра (также называемой «модулем лунного света»), построенной Фрэнкелем, Леповским и Мюрманом. Взяв тензорное произведение с алгеброй вершин, связанной с гиперболической решеткой ранга 2, и применив квантование, можно получить алгебру Ли монстра, которая является обобщенной алгеброй Каца — Муди, градуированной решеткой. Используя теорему Годдарда — Торна, Борхердс показал, что однородные компоненты алгебры Ли естественным образом изоморфны градуированным компонентам модуля лунного света как представлениям простой группы монстра. Более ранние применения включают определение Фрэнкелем верхних границ для кратностей корней алгебры Каца — Муди Ли, диаграмма Динкина которой является решеткой Лича, и построение Борхердсом обобщенной алгебры Каца — Муди Ли, содержащей алгебру Ли Фрэнкеля и насыщающей границу Фрэнкеля 1/∆.