Кіріспе
Математикада, күрделі проекциялық жазықтық, әдетте P2(C) немесе CP2 деп белгіленеді, екі өлшемді күрделі проекциялық кеңістік болып табылады. Ол күрделі өлшемді 2-ге ие күрделі көптік, үш күрделі координаттармен сипатталады, бірақ пропорционалды түрлендіру арқылы ерекшеленетін үштіктер бірдей саналады:
where, however, the triples differing by an overall rescaling are identified:
That is, these are homogeneous coordinates in the traditional sense of projective geometry.
Яғни, бұл проективті геометрияның дәстүрлі мағынасындағы біртекті координаттар.
where, however, the triples differing by an overall rescaling are identified:
That is, these are homogeneous coordinates in the traditional sense of projective geometry.
Алгебралық геометрия
Бирационалдық геометрияда күрделі рационалдық бет – кез келген алгебралық бет, бирационалдық түрде күрделі проекциялық жазықтыққа эквивалентті. Кез келген сингуляр емес рационалдық түрлілік жазықтықтан қисықтардың өрлеу (blowing up) және төмендету (blowing down) түрлендірулері мен олардың кері түрлендірулері арқылы алынады, мұндай қисықтардың типі өте ерекше болуы керек. Арнайы жағдай ретінде, P3 проекциялық кеңістігіндегі сингуляр емес күрделі квадрика екі нүктені қисықтарға өрлеу арқылы, содан кейін осы екі нүкте арқылы өтетін түзуді төмендету арқылы жазықтықтан алынады; осы түрлендірудің керісін квадрика Q-дағы P нүктесін өрлеу және P3 проекциялық кеңістігіндегі жалпы жазықтыққа P арқылы түзулер жүргізу арқылы көруге болады. Күрделі проекциялық жазықтықтың бирационалдық автоморфизмдер тобы – Кремона тобы.
The group of birational automorphisms of the complex projective plane is the Cremona group.
Дифференциалдық геометрия
Риман көпқырлылығы ретінде, күрделі проекциялық жазықтық – қималық қисықтығы төрттен бірге шектелген, бірақ қатаң түрде емес, 4 өлшемді көпқырлылық. Яғни, ол екі шекке де жетеді де, сфералық теорема талап ететіндей сфера болмайды. Қисықтықты 1/4 пен 1 арасында немесе 1 мен 4 арасында шектеуге болатын баламалы нормалаулар бар. Алғашқы нормалау бойынша, күрделі проекциялық түзумен анықталған енгізілген беттің Гаусс қисықтығы 1-ге тең. Екінші нормалау бойынша, енгізілген нақты проекциялық жазықтықтың Гаусс қисықтығы 1-ге тең. Риман және Риччи тензорларының нақты мысалы Фубини зерттеуінің метрикасы туралы мақаланың n=2 тармағында келтірілген.