Введение
В математике комплексная проективная плоскость, обычно обозначаемая P2(C) или CP2, является двухмерным комплексным проективным пространством. Это комплексное многообразие комплексной размерности 2, описываемое тремя комплексными координатами, при этом тройки, отличающиеся общим масштабированием, отождествляются:
where, however, the triples differing by an overall rescaling are identified:
That is, these are homogeneous coordinates in the traditional sense of projective geometry.
То есть, это однородные координаты в традиционном смысле проективной геометрии.
where, however, the triples differing by an overall rescaling are identified:
That is, these are homogeneous coordinates in the traditional sense of projective geometry.
Алгебраическая геометрия
В бирациональной геометрии сложная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости последовательностью взрывных преобразований и обратных им ("стягиваний") кривых, которые должны быть весьма специфического типа. В качестве частного случая, несингулярная комплексная квадратика в P3 получается из плоскости путем взрыва двух точек в кривые, а затем стягивания линии, проходящей через эти две точки; обратное преобразование можно увидеть, взяв точку P на квадратике Q, вздув ее и спроецировав на общую плоскость в P3, проводя линии через P. Группа бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости — это группа Кремоны.
The group of birational automorphisms of the complex projective plane is the Cremona group.
Дифференциальная геометрия
Как риманово многообразие, комплексная проективная плоскость является 4-мерным многообразием, чья сечная кривизна четверть-защемлена, но не строго. То есть, она достигает обеих границ и таким образом избегает быть сферой, как того требовала бы теорема о сфере. Существуют альтернативные нормировки, при которых кривизна защемлена между 1/4 и 1, либо между 1 и 4. При первой нормировке, погруженная поверхность, заданная комплексной проективной линией, имеет гауссову кривизну 1. При второй нормировке, погруженная вещественная проективная плоскость имеет гауссову кривизну 1. Явное вычисление тензоров Римана и Риччи приведено в подразделе n=2 статьи, посвященной метрике Фубини-Штуди.