Кіріспе
Нақты сандардан Lie тобының гомоморфизмі
In mathematics, a one parameter group or one parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism
from the real line (as an additive group) to some other topological group If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. One parameter groups were introduced by Sophus Lie in 1893 to define infinitesimal transformations. According to Lie, an infinitesimal transformation is an infinitely small transformation of the one parameter group that it generates. It is these infinitesimal transformations that generate a Lie algebra that is used to describe a Lie group of any dimension. The action of a one parameter group on a set is known as a flow. A smooth vector field on a manifold, at a point, induces a local flow a one parameter group of local diffeomorphisms, sending points along integral curves of the vector field. The local flow of a vector field is used to define the Lie derivative of tensor fields along the vector field.
Математикада, бір параметрлік топ немесе бір параметрлік кіші топ әдетте нақты сызықтан (қосымша топ ретінде) басқа топологиялық топқа үздіксіз топ гомоморфизмін білдіреді. Егер гомоморфизм инъективті болса, онда оның бейнесі – қосымша топ ретінде изоморфты болатын кіші топ болады. Бір параметрлік топтарды 1893 жылы Софус Ли шексіз кіші түрлендірулерді анықтау үшін енгізді. Лиге сәйкес, шексіз кіші түрлендіру – оны тудыратын бір параметрлік топтың шексіз кіші өзгерісі. Осы шексіз кіші түрлендірулер кез келген өлшемдегі Lie тобын сипаттауға қолданылатын Lie алгебрасын тудырады. Бір параметрлік топтың жиынға әсері ағын деп аталады. Көпқырлылықтағы тегіс векторлық өріс, белгілі бір нүктеде, векторлық өрістің интегралды қисықтары бойынша нүктелерді жіберетін жергілікті дифеоморфизмдердің бір параметрлік тобын – жергілікті ағынды тудырады. Векторлық өрістің жергілікті ағыны, векторлық өріс бойындағы тензорлық өрістердің Lie туындысын анықтау үшін қолданылады.
In mathematics, a one parameter group or one parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism
from the real line (as an additive group) to some other topological group If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. One parameter groups were introduced by Sophus Lie in 1893 to define infinitesimal transformations. According to Lie, an infinitesimal transformation is an infinitely small transformation of the one parameter group that it generates. It is these infinitesimal transformations that generate a Lie algebra that is used to describe a Lie group of any dimension. The action of a one parameter group on a set is known as a flow. A smooth vector field on a manifold, at a point, induces a local flow a one parameter group of local diffeomorphisms, sending points along integral curves of the vector field. The local flow of a vector field is used to define the Lie derivative of tensor fields along the vector field.
Мысалдар
Ли теориясында бір параметрлік топтар қатысты Ли алгебрасының бір өлшемді кіші кеңістіктеріне сәйкес келеді. Ли тобы – Ли алгебрасы сәйкестігі Софус Лидің 1890 жылдары бастаған ғылымының негізі болып табылады. Функционалдық талдауда да маңызды жағдай кездеседі, онда ол Хилберт кеңістігіндегі унитар операторлар тобы болып табылады. Бір параметрлік унитар топтар туралы Стоун теоремасын қараңыз. П. М. Кон өзінің "Ли топтары" монографиясында келесі теореманы келтірді: Кез келген байланысқан 1 өлшемді Ли тобы талдамалық түрде нақты сандардың қосым тобына немесе нақты сандардың қосым тобына изоморфты болады. Атап айтқанда, кез келген 1 өлшемді Ли тобы жергілікті түрде -ке изоморфты.
Any connected 1 dimensional Lie group is analytically isomorphic either to the additive group of real numbers , or to , the additive group of real numbers In particular, every 1 dimensional Lie group is locally isomorphic to .
Физика
Физикада бір параметрлік топтар динамикалық жүйелерді сипаттайды. Бұдан әрі, егер физикалық заңдар жүйесі дифференциалданатын симметриялардың бір параметрлік тобын қабылдаса, онда Нотер теоремасы бойынша сақталатын шама болады. Уақыт-кеңістікті зерттеуде, Герман Минковски 1908 жылы оны талқылағаннан бері, кеңістік-уақыт өлшемдерін калибрлеу үшін бірлік гиперболасын қолдану кең таралған. Салыстырмалылық принципі әлемдік сызықты анықтау үшін бірлік гиперболаның қай диаметрін пайдаланудағы кездейсоқтыққа дейін тоғытылды. Гиперболаның гиперболалық бұрышпен параметризациялануын пайдалана отырып, арнайы салыстырмалылық теориясы жылдамдықпен индекстелген бір параметрлік топпен салыстырмалы қозғалыстың есебін ұсынды. Жылдамдық салыстырмалылық теориясының кинематикасы мен динамикасындағы жылдамдықты алмастырады. Жылдамдық шексіз болғандықтан, оған сүйенген бір параметрлік топ шексіз болып табылады. Жылдамдық тұжырымын 1910 жылы Э.Т. Уиттакер енгізді, ал келесі жылы Альфред Робб оған атау берді. Жылдамдық параметрі он тоғызыншы ғасырдағы гиперболалық версордың ұзындығына тең. Математикалық физиктер Джеймс Кокль, Уильям Кингдон Клиффорд және Александр Макфарлейн өздерінің еңбектерінде оператор арқылы Картезиан жазықтығының эквивалентті бейнесін қолданды, мұнда гиперболалық бұрыш және .
GL ((n,C) -де
Лай топтарының теориясындағы маңызды мысал, жазылымдары комплекс сандардан құралған инверттік матрицалар тобы ретінде қарастырылғанда туындайды. Бұл жағдайдағы негізгі нәтиже мынадай: Теорема: Егер топ бір параметрлі болса, онда барлық үшін орындалатындай бірегей матрица табылады. Бұл нәтижеден топтың дифференциалданатыны көрінеді, тіпті бұл теореманың шарты болмаса да. Аталған матрицаны топтан былай алуға болады. Бұл нәтиже, мысалы, матрицалық Лай топтары арасындағы кез келген үздіксіз гомоморфизмнің тегіс екенін көрсетуге қолданылуы мүмкін.
Theorem: Suppose is a one parameter group. Then there exists a unique matrix such that
for all It follows from this result that is differentiable, even though this was not an assumption of the theorem. The matrix can then be recovered from as This result can be used, for example, to show that any continuous homomorphism between matrix Lie groups is smooth.
Топология
Техникалық қиындық сол, субкеңістіктегі топология негізгі кеңістіктегіден жуан болуы мүмкін; мұндай жағдай инъективтілік болғанда туындауы мүмкін. Мысалы, торды қарастырайық, ол тура сызықты иррационалды бұрышпен орап құрылған. Ондай жағдайда туындаған топология нақты түзудің стандартты топологиясынан өзгеше болуы мүмкін.