Введение
Гомоморфизм группы Ли от действительных чисел
In mathematics, a one parameter group or one parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism
from the real line (as an additive group) to some other topological group If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. One parameter groups were introduced by Sophus Lie in 1893 to define infinitesimal transformations. According to Lie, an infinitesimal transformation is an infinitely small transformation of the one parameter group that it generates. It is these infinitesimal transformations that generate a Lie algebra that is used to describe a Lie group of any dimension. The action of a one parameter group on a set is known as a flow. A smooth vector field on a manifold, at a point, induces a local flow a one parameter group of local diffeomorphisms, sending points along integral curves of the vector field. The local flow of a vector field is used to define the Lie derivative of tensor fields along the vector field.
В математике одна параметрическая группа или одна параметрическая подгруппа обычно означает непрерывный групповой гомоморфизм из множества действительных чисел (как аддитивной группы) в некоторую другую топологическую группу. Если этот гомоморфизм инъективен, то его образ будет подгруппой, изоморфной множеству действительных чисел как аддитивной группе. Одна параметрическая группа была введена Соффусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований. По словам Ли, бесконечно малое преобразование – это бесконечно малое преобразование одной параметрической группы, которую оно порождает. Именно эти бесконечно малые преобразования порождают алгебру Ли, используемую для описания группы Ли любой размерности. Действие одной параметрической группы на множестве известно как поток. Гладкое векторное поле на многообразии в точке индуцирует локальный поток – однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, отображающих точки вдоль интегральных кривых векторного поля. Локальный поток векторного поля используется для определения производной Ли тензорных полей вдоль векторного поля.
In mathematics, a one parameter group or one parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism
from the real line (as an additive group) to some other topological group If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. One parameter groups were introduced by Sophus Lie in 1893 to define infinitesimal transformations. According to Lie, an infinitesimal transformation is an infinitely small transformation of the one parameter group that it generates. It is these infinitesimal transformations that generate a Lie algebra that is used to describe a Lie group of any dimension. The action of a one parameter group on a set is known as a flow. A smooth vector field on a manifold, at a point, induces a local flow a one parameter group of local diffeomorphisms, sending points along integral curves of the vector field. The local flow of a vector field is used to define the Lie derivative of tensor fields along the vector field.
Примеры
В теории Ли, однопараметровые группы соответствуют одномерным подпространствам соответствующей алгебры Ли. Соответствие между группой Ли и алгеброй Ли является основой науки, начатой Софьюсом Ли в 1890-х годах. Другой важный случай встречается в функциональном анализе, где группа состоит из унитарных операторов на гильбертовом пространстве. См. теорему Стоуна об однопараметровых унитарных группах. В своей монографии «Группы Ли» П. М. Кон сформулировал следующую теорему: Любая связная одномерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе вещественных чисел, либо аддитивной группе вещественных чисел. В частности, любая одномерная группа Ли локально изоморфна к .
Any connected 1 dimensional Lie group is analytically isomorphic either to the additive group of real numbers , or to , the additive group of real numbers In particular, every 1 dimensional Lie group is locally isomorphic to .
Физика
В физике одна параметровая группа описывает динамические системы. Более того, если система физических законов допускает однопараметровую группу дифференцируемых симметрий, то, согласно теореме Нётер, существует сохраняющаяся величина. В изучении пространства-времени использование единичной гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало обычным явлением с тех пор, как Герман Минковский обсудил это в 1908 году. Принцип относительности был сведен к произвольности выбора диаметра единичной гиперболы для определения мировой линии. Используя параметризацию гиперболы с помощью гиперболического угла, теория специальной относительности предоставила исчисление относительного движения с однопараметровой группой, индексированной быстротой. Быстрота заменяет скорость в кинематике и динамике теории относительности. Поскольку быстрота не ограничена, однопараметровая группа, на которой она основана, является некомпактной. Концепция быстроты была введена Э. Т. Уиттакером в 1910 году, а в следующем году названа Альфредом Роббом. Параметр быстроты равен длине гиперболического версора – концепции, возникшей в девятнадцатом веке. Математические физики Джеймс Кокль, Уильям Кингдон Клиффорд и Александр Макфарлейн в своих трудах использовали эквивалентное отображение декартовой плоскости оператором , где – гиперболический угол и .
В ГЛ ((n,C)
Важный пример в теории групп Ли возникает, когда в качестве группы G берется GL(n,ℂ), группа обратимых n × n матриц с комплексными элементами. В этом случае фундаментальным результатом является следующее:
Theorem: Suppose is a one parameter group. Then there exists a unique matrix such that
for all It follows from this result that is differentiable, even though this was not an assumption of the theorem. The matrix can then be recovered from as This result can be used, for example, to show that any continuous homomorphism between matrix Lie groups is smooth.
Теорема: Пусть γ — однопараметрическая группа. Тогда существует единственная матрица A такая, что
Theorem: Suppose is a one parameter group. Then there exists a unique matrix such that
for all It follows from this result that is differentiable, even though this was not an assumption of the theorem. The matrix can then be recovered from as This result can be used, for example, to show that any continuous homomorphism between matrix Lie groups is smooth.
для всех t. Из этого результата следует, что γ дифференцируема, хотя это и не было предположением теоремы. Матрицу A можно затем восстановить из γ как exp(A). Этот результат может быть использован, например, для доказательства того, что любой непрерывный гомоморфизм между матричными группами Ли является гладким.
Theorem: Suppose is a one parameter group. Then there exists a unique matrix such that
for all It follows from this result that is differentiable, even though this was not an assumption of the theorem. The matrix can then be recovered from as This result can be used, for example, to show that any continuous homomorphism between matrix Lie groups is smooth.
Топология
Техническое осложнение заключается в том, что как подпространство может нести топологию, которая грубее, чем топология на ; это может произойти в случаях, когда является инъективным отображением. Рассмотрите, например, случай, когда является тором, а построено путем наматывания прямой линии вокруг него с иррациональным углом наклона. В этом случае индуцированная топология может отличаться от стандартной топологии вещественной прямой.