Кіріспе

Позициялық сандық жүйе

Алтын қатынас негізі — алтын қатынасты (гр. φ әріпімен белгіленген иррационал сан ≈ 1.61803399) негізі ретінде пайдаланатын бүтін емес позициялық сандық жүйе. Оны кейде φ негізі, алтын орта негізі, фи негізі немесе, көне тілде, финарий деп те атайды. Кез келген теріс емес нақты санды φ негізінде 0 және 1 цифрларын ғана қолдана отырып, "11" цифр тізбегін пайдаланбау арқылы көрсетуге болады. Бұл стандартты түрі деп аталады. "11" цифр тізбегін қамтитын φ негізіндегі санды әрқашан φ негізінің алгебралық қасиеттерін пайдаланып, стандартты түрге қайта жазуға болады — ең бастысы, φ¹ + φ⁰ = φ². Мысалы, 11φ = 100φ. Иррационал негізді қолданғанмен, стандартты түрді қолданғанда, барлық теріс емес бүтін сандар φ негізінде аяқталатын (шекті) кеңейтім ретінде бірегей түрде бейнеленеді. φ негізінде шекті бейнеленуі бар сандар жиыны Z[ сақинасы болып табылады; ол осы сандық жүйелерде екілік сандардағы диадтық рационалдар сияқты рөл атқарады, көбейтуге мүмкіндік береді. Басқа сандардың φ негізінде стандартты бейнеленуі бар, ал рационал сандардың қайталама бейнеленуі бар. Бұл бейнеленулер бірегей, бірақ аяқталатын кеңейтімге ие сандар аяқталмайтын кеңейтімге де ие болуы мүмкін. Мысалы, φ негізінде 1 = 0.1010101, ал 10 негізінде 1 = 0.99999.

Алтын қатынастың негізгі сандарын стандартты түрде жазу

Стандартты емес түрден стандартты түрге түрлендірудің келесі мысалында, қол қойылған цифрды көрсету үшін 1 саны қолданылады. 211.01φ – стандартты φ саны емес, себебі оның құрамында "11" және сонымен қатар "2" және "1" = −1 цифрлары бар, бұл "0" немесе "1" цифрлары емес. Санды стандартты түрге келтіру үшін келесі алмастыруларды қолдануға болады: , , , . Бұл алмастыруларды кез келген ретте қолдануға болады, себебі нәтиже бірдей болады. Төменде, алдыңғы жолдағы санға қолданылған алмастырулар оң жақта, ал нәтижесі сол жақта көрсетілген. Кез келген оң сан, стандартты емес φ негізінде аяқталатын өрнекте, осылайша бірегей түрде стандартталуы мүмкін. Егер барлық цифрлар "0" немесе "1" болса, бірінші цифр теріс болса, онда сан теріс болады. (Бұл ережеден ерекшелік – егер бірінші цифр теріс бір, ал келесі екі цифр бір болса, мысалы 1111.001=1.001.) Мұны φ негізіндегі санның теріс мәніне айналдыру үшін, әр цифрды теріс санға ауыстырып, нәтижені стандарттау керек, содан соң оны теріс деп белгілеу қажет. Мысалы, теріс санды көрсету үшін минус белгісін немесе басқа белгіні пайдалануға болады.

Бірегейлік емес

Кез келген n негізіндегі жүйедегідей, аяқталатын өрнегі бар сандар баламалы, қайталама өрнекке ие. 10-дық жүйеде бұл 0,999 = 1 деген байқауға негізделген. φ негізінде 0.1010101 санының 1-ге тең екендігі бірнеше тәсілмен көрсетіледі:

Стандартты емес түрге түрлендіру: 1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = = 0.10101010 φ
Геометриялық қатар: 1.0101010 φ тең

"Қозғалыстар" арасындағы айырмашылық: φ²x − x = 10.101010 φ − 0.101010 φ = 10φ = φ, сондықтан x = 1

Бұл бірегейлік емес сандық жүйенің қасиеті, себебі 1.0000 және 0.101010 екеуі де стандартты түрде жазылған. Жалпы, φ негізіндегі кез келген санның соңғы 1 саны сол санның мәнін өзгертпей қайталама 01-ге алмастырылуы мүмкін.

Қосу, алу және көбейту

10-дық санау жүйесіндегі арифметиканың барлық стандартты алгоритмдерін φ-дық санау жүйесіне бейімдеу мүмкін. Мұны істеудің екі жолы бар:

0 және 1-ден басқа цифрлардан аулақ болыңыз

Көбірек "табиғи" тәсіл – 1+1 қосу немесе 0–1 алу қажеттілігін болдырмау. Бұл операндарды стандартты емес түрге қайта ұйымдастыру арқылы жасалады, сонда осы комбинациялар туындамайды. Мысалы, 2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001. 7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 1100.0001 − 10.01 = 1011.0001 − 10.01 = 1010.1101 − 10.01 = 1000.1001. Мұндағы шегеру стандартты "айырбас" алгоритмінің өңделген түрін қолданады.

Бөлім

Бүтін емес рационалды санды φ негізіндегі шекті сан ретінде көрсету мүмкін емес. Басқаша айтқанда, φ негізіндегі шекті түрде бейнеленетін барлық сандар бүтін сандар немесе (көбінесе) квадраттық өріс Q[√] -дағы иррационал сандар болады. Ұзақ бөлудің тек шекті санда ғана мүмкін қалдықтары болғандықтан, екі бүтін санның (немесе φ негізіндегі шекті бейнеленуі бар басқа сандардың) бөлінісі жоғарыда көрсетілгендей қайталанатын өрнекке ие болады.

Фибоначчи кодымен байланысы

Фибоначчи кодтамасы – бүтін сандар үшін қолданылатын тығыз байланысты сандар жүйесі. Бұл жүйеде тек 0 және 1 цифрлары қолданылады, ал цифрлардың разрядтық мәндері Фибоначчи сандарымен анықталады. φ негізіндегідей, "11" цифрлар тізбегі Fk+1 = Fk + Fk-1 Фибоначчи рекурренттік қатынасын қолданып, стандартты түріне келтіріледі, осылайша оның пайда болуына жол берілмейді. Мысалы, 30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.

Практикалық қолдану

Φ-арифметика негізін Фибоначчи бүтін сандар тізбегімен қосуға болады. Фибоначчи бүтін сандар тізбегіндегі нөлдік емес цифрларға сәйкес келетін сандардың қосындысы, Φ санының және тізбектегі нөлдік позициядағы элементтің көбейтіндісіне тең. Мысалы:
10 (10100.0101 Φ негізінде) және 25 (нөлдік позиция) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250
Φ негізі: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
Ішінара тізбек: 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165
10 (10100.0101 Φ негізінде) және 65 (нөлдік позиция) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650
Φ негізі: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
Ішінара тізбек: 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165