Введение

Позиционная система счисления

Система с основанием, равным золотому сечению, — это нецелочисленная позиционная система счисления, использующая золотое сечение (иррациональное число ≈ 1.61803399, обозначаемое греческой буквой φ) в качестве основания. Её иногда называют основанием φ, основанием золотого сечения, основанием фи или, в разговорной речи, финарием. Любое неотрицательное вещественное число может быть представлено в виде числа в системе с основанием φ, используя только цифры 0 и 1 и избегая последовательности цифр "11" — это называется стандартной формой. Число в системе с основанием φ, содержащее последовательность цифр "11", всегда можно переписать в стандартной форме, используя алгебраические свойства основания φ, в частности, то, что φ¹ + φ⁰ = φ². Например, 11φ = 100φ. Несмотря на использование иррационального основания, при использовании стандартной формы все неотрицательные целые числа имеют единственное представление в виде конечного (ограниченного) разложения по основанию φ. Множество чисел, имеющих конечное представление в системе с основанием φ, образует кольцо Z[]; оно играет ту же роль в этой системе счисления, что и диирациональные числа в двоичной системе, обеспечивая возможность умножения. Другие числа имеют стандартные представления в системе с основанием φ, а рациональные числа — периодические представления. Эти представления уникальны, за исключением того, что числа с конечным разложением также имеют бесконечное разложение. Например, 1 = 0,1010101 в системе с основанием φ, так же как 1 = 0,99999 в системе с основанием 10.

Написание основных чисел золотого сечения в стандартной форме

В следующем примере преобразования из нестандартной в стандартную форму, обозначение 1 используется для представления знакопеременной цифры 1. 211.01φ не является стандартным числом в системе счисления φ, поскольку содержит "11", а также "2" и "1" = −1, которые не равны "0" или "1". Чтобы привести число к стандартному виду, можно использовать следующие подстановки: , , , Подстановки можно применять в любом порядке, поскольку результат будет одинаковым. Ниже, подстановки, примененные к числу на предыдущей строке, указаны справа, а полученное число – слева. Любое положительное число с нестандартным конечным представлением в системе счисления φ может быть таким образом однозначно стандартизировано. Если мы дойдем до точки, где все цифры – "0" или "1", за исключением первой цифры, которая отрицательна, то число будет отрицательным. (Исключение составляет случай, когда первая цифра равна минус единице, а следующие две цифры равны единице, например 1111.001=1.001.) Это можно преобразовать в отрицательное представление в системе счисления φ, изменив знак каждой цифры, стандартизировав результат и затем обозначив его как отрицательное. Например, используйте знак минус или другое обозначение для отрицательных чисел.

Неоднородность

Как и в любой системе с основанием n, числа с конечное представление имеют альтернативное бесконечное представление. В десятичной системе это основано на наблюдении, что 0,999 = 1. В системе φ число 0,1010101 можно рассматривать как равное 1 несколькими способами:

Преобразование в нестандартную форму: 1 = 0,11φ = 0,1011φ = 0,101011φ = = 0,10101010 φ

Геометрическая прогрессия: 1,0101010 φ равно

Разность между "сдвигами": φ²x − x = 10,101010 φ − 0,101010 φ = 10φ = φ, следовательно, x = 1

Эта неоднозначность является особенностью системы счисления, поскольку и 1,0000, и 0,1010 находятся в стандартной форме. В общем случае, конечная 1 любого числа в системе φ может быть заменена на бесконечную последовательность 01, не изменяя значения этого числа.

Сбор, вычитание и умножение

Можно адаптировать все стандартные алгоритмы десятичной арифметики к арифметике с основанием φ. Существует два подхода к этому:

Избегайте цифр , кроме 0 и 1

Более "естественный" подход заключается в том, чтобы избегать необходимости складывать 1 + 1 или вычитать 0 – 1. Это достигается путем перегруппировки операндов в нестандартную форму, чтобы исключить возникновение таких комбинаций. Например,
2 + 3 = 10,01 + 100,01 = 10,01 + 100,0011 = 110,0111 = 1000,1001
7 − 2 = 10000,0001 − 10,01 = 1100,0001 − 10,01 = 1011,0001 − 10,01 = 1010,1101 − 10,01 = 1000,1001
Вычитание, продемонстрированное здесь, использует модифицированную версию стандартного алгоритма заема при вычитании.

Отделение

Ни одно нецелое рациональное число не может быть представлено в виде конечного числа в основании φ. Иными словами, все числа, представимые в основании φ конечной длиной, являются либо целыми числами, либо (с большей вероятностью) иррациональными числами в квадратичном поле Q[]. Поскольку при длинном делении возможно лишь конечное число различных остатков, деление двух целых чисел (или других чисел, представимых в основании φ конечной длиной) приведет к периодическому разложению, как показано выше.

Связь с кодированием Фибоначчи

Кодирование Фибоначчи — это тесно связанная система счисления, используемая для целых чисел. В этой системе используются только цифры 0 и 1, а разряды цифр соответствуют числам Фибоначчи. Как и в случае с основанием φ, последовательность цифр "11" избегается путем приведения к стандартному виду, используя рекуррентное соотношение Фибоначчи Fk+1 = Fk + Fk−1. Например, 30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.

Практическое применение

Можно смешать арифметику в основании φ с последовательностями Фибоначчи. Сумма чисел в последовательности целых чисел Фибоначчи, соответствующих ненулевым цифрам числа в основании φ, равна произведению этого числа и элемента в нулевой позиции последовательности. Например: произведение 10 (10100.0101 в основании φ) и 25 (нулевая позиция) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250
в основании φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
частичная последовательность: 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165
произведение 10 (10100.0101 в основании φ) и 65 (нулевая позиция) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650
в основании φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1
частичная последовательность: 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165