Кіріспе

Геометриялық пішін

Конус – үш өлшемді геометриялық пішін, жазық негізден (көбінесе, бірақ міндетті түрде дөңгелек емес) шыңы немесе төбесі деп аталатын нүктеге дейін тегіс тартылады. Конус – ортақ нүкте, яғни төбесінен, төбесі жоқ жазықтықтағы барлық нүктелерге жалғастыратын сызық сегменттерінің, жарты сызықтардың немесе сызықтардың жиынтығы. Авторға байланысты негіз шеңбер, жазықтықтағы кез келген бір өлшемді квадратық нысан, кез келген жабық бір өлшемді фигура немесе жоғарыда аталғандардың кез келгені және барлық жабық нүктелер болуы мүмкін. Егер жабық нүктелер негізге енгізілсе, конус қатты дене; әйтпесе ол үш өлшемді кеңістікте екі өлшемді нысан болып табылады. Қатты дене жағдайында осы сызықтар немесе жартылай сызықтармен қалыптасқан шекара бүйірлік бет деп аталады; егер бүйірлік бет шектелмесе, ол конустық бет болып табылады. Сызық сегменттері жағдайында конус негізден тысқары созылмайды, ал жарты сызықтар жағдайында ол шексізке созылады. Сызықтар жағдайында конус екі бағытта да шексізке созылады, мұндай жағдайда ол кейде қос конус деп аталады. Қос конустың төбесінің бір жағындағы кез келген жартысы наппе деп аталады. Конустың осі – төбесінен өтетін тік сызық (бар болса), оның төңірегінде негіз (және бүкіл конус) дөңгелек симметрияға ие. Элементар геометрияда конустар көбінесе тік дөңгелек деп есептеледі, мұнда дөңгелек негізі шеңбер екенін, ал тік осі негіздің ортасынан оның жазықтығына перпендикуляр өтетінін білдіреді. Егер конус тік дөңгелек болса, онда жазықтық пен бүйірлік бет арасындағы қиылыс конус қимасы болып табылады. Алайда, негіз кез келген пішінде болуы мүмкін, ал төбесі кез келген жерде орналасуы мүмкін (әдетте негіз шектеледі және сондықтан шекті ауданы бар, ал төбесі негіз жазықтығынан тысқары орналасқан деп есептеледі). Тік конустарға қарама-қарсы көлбеу конустар, олардың осі негіздің ортасынан перпендикуляр емес өтеді. Көпбұрышты негізді конус пирамида деп аталады. Контекстке байланысты "конус" сөзі дөңгелек конус немесе проекциялық конус дегенді білдіруі мүмкін. Конустарды жоғары өлшемдерге де кеңейтуге болады.

Қосымша терминология

Конустың негізінің периметрі "директриса" деп аталады, ал директриса мен төбесі арасындағы әр сызық сегменті – бүйір беттің "генераторлық" немесе "жасаушы сызығы". (Бұл терминдегі "директриса" мен конустық қиманың директрисасы арасындағы байланыс үшін Данделин сфераларын қараңыз.) Дөңгелек конустың "негізгі радиусы" – оның негізінің радиусы; көбінесе бұл конустың радиусы деп аталады. Тік дөңгелек конустың апертурасы – екі жасаушы сызық арасындағы ең үлкен бұрыш; егер жасаушы осьпен θ бұрыш жасаса, апертура 2θ-ға тең болады. Оптикада θ бұрышы апертурадан ажырату үшін конустың жарты бұрышы деп аталады. Жазықтықпен кесілген және төбесін қамтитын аймақ кесілген конус деп аталады; егер кесу жазықтығы конустың негізіне параллель болса, ол фрустум деп аталады. Қазіргі заманғы математикада бұл формуланы есептеуді пайдалана отырып оңай есептеуге болады – ол масштабтауға дейін интеграл болып табылады. Калькульсіз формуланы конусты пирамидамен салыстыру арқылы және Кавальери принципін қолдану арқылы дәлелдеуге болады. Бұл формула мұндай шексіз аргументтерді пайдаланбастан дәлелденуі мүмкін емес – полиэдрлік ауданға арналған екі өлшемді формулаларға қарағанда, бірақ шеңбердің ауданына ұқсас, сондықтан бұрынғы қатаң емес дәлелдер қабылданды, ал ежелгі гректер шексіздік әдісін қолданды. Бұл негізінен Хилберттің үшінші мәселесінің мазмұны – дәлірек айтқанда, барлық полиэдрлі пирамидалар қиылыс конгруэнтті емес (оларды шекті бөліктерге бөліп, біріншісіне қайта жинауға болады), сондықтан көлемді тек бөлшектеу аргументін пайдалану арқылы есептеу мүмкін емес.

Массалық орталығы

Біркелкі тығыздықтағы конус тәрізді дененің масса орталығы негізінің ортасынан жоғары қарай, төбесіне дейінгі түзудің төрттен бір бөлігінде орналасқан.

Қиғаштың биіктігі

Дөңгелек пішіннің көлбеу биіктігі – оның табаны шеңберінің кез келген нүктесінен конус бетімен өтетін сызық сегменті арқылы жоғары нүктеге дейінгі арақашықтық. Ол формуласымен беріледі, мұндағы – табанының радиусы, ал – биіктігі. Бұл Пифагор теоремасымен дәлелдеуге болады.

Жер бетінің ауданы

Оң дөңгелек конустың бүйір бетінің ауданы — конустың табанындағы шеңбердің радиусы және конустың көлбеу биіктігі. Бұл оң дөңгелек бірлік конустың аффиндік бейнесі. Конулық қиманың аффиндік бейнесі сол түптегі конулық қима (эллипс, парабола, гипербола) екендігінен: Кез келген эллипстік конустың жазық қимасы конулық қима болады. Әрине, кез келген дөңгелек конус шеңберлерді қамтиды. Бұл жалпы жағдайда да дұрыс, бірақ көрінеуі аз (шеңберлік қиманы қараңыз). Эллипстік конустың концентрлік сферамен қиылысуы сфералық конус құрайды.

Жобалау геометриясы

Жобалау геометриясында цилиндр — шыңы шексіздікте жатқан конус. Интуитивті түрде, егер негізін өзгеріссіз ұстап, шығын шексіздікке қарай жылжыса, цилиндр пайда болады, онда қабырғасының бұрышы арктангенс ретінде өседі, соңында тік бұрышқа жақындайды. Бұл цилиндрлік конустарды қарастыруды қажет ететін дегенеративті коникаларды анықтау үшін пайдалы. Г. Б. Халстедтің сөзіне сәйкес, конус Штайнер коникасы сияқты, бірақ Штайнер коникасы үшін қолданылатын проективті қатарлардың орнына проективті және осьтік қаламдармен (перспективада емес) құрастырылады: "Егер екі копунктуалды емес, түзу емес осьтік қаламдар проективті болса, бірақ перспективада болмаса, байланысты жазықтықтар «екінші дәрежелі коникалық бет» немесе «конус» құрайды".

Жалпылау

Конустың анықтамасы жоғары өлшемдерге дейін кеңейтілуі мүмкін; қараңыз: дөңгелек конус. Бұл жағдайда, нақты векторлық кеңістіктегі C дөңгелек жиынтығы конус (түбі нөлде орналасқан) деп аталады, егер C-дегі кез келген x векторы және кез келген теріс емес нақты сан a үшін ax векторы C-де болса. Бұл жағдайда дөңгелек конустардың аналогтары көбінесе ерекшеленбейді; шындығында, көбінесе көпжақты конустарға қызығушылық танытылады. Одан да жалпы ұғым – кез келген топологиялық кеңістікте анықталатын топологиялық конус.