Кіріспе

Жазық қисық: конустық қима
геометриялық қисық

Математикада гипербола (/h//aɪ/'/p//ɜr//b//ə//l//ə//audio=En гипербола (айтылатын сөз).ogg/; көпше түрі – гиперболалар немесе гиперболае / //l//iː//audio=En гипербола (айтылатын сөз).ogg/; сын есім – гиперболалық, /h//aɪ//p//ər/'/b//ɒ//l//ɪ//k//audio=En гиперболалық (айтылатын сөз).ogg/) – геометриялық қасиеттерімен немесе оған шешім жиынтығы болатын теңдеулермен анықталатын жазықтықтағы тегіс қисық сызықтың бір түрі. Гипербола екі бөліктен тұрады, олар біріктірілген компоненттер немесе тармақтар деп аталады, және олар бір-біріне қарағанда айна бейнесі болып келеді, екі шексіз қанатқа ұқсайды. Гипербола – жазықтық пен қос конус қиылысынан пайда болатын конустық қималардың үш түрінің бірі. (Басқа конустық қималар – парабола және эллипс. Шеңбер – эллипстің ерекше жағдайы.) Егер жазықтық қос конустың екі жартысын қисаса, бірақ конустың төбесі арқылы өтетін болса, онда конус гипербола болып табылады. Конустық қимадан басқа, гипербола екі белгілі ошаққа дейінгі арақашықтықтарының айырмасы тұрақты болатын нүктелердің орны ретінде, әрбір нүкте үшін екі белгілі ошаққа бағытталған сәулелер сол нүктедегі жанама түзуге қатысты шағылысқан қисық ретінде немесе өзара байланысты екі квадраттық теңдеулердің шешімі ретінде де кездесе алады. Практикалық қолданыстарда гипербола күн сағатының гномонының ұшынан түсетін көлеңкенің жолы, ең жақын гравитациялық дененің құтылу жылдамдығынан асып түсетін аспан денесінің ашық орбитасы немесе субатомдық бөлшектің шашырау траекториясы сияқты түрлерде кездесуі мүмкін. Гиперболаның әр тармағы екі қанатқа ие, олар гиперболаның ортасынан алшақтаған сайын түзуленіп (қисықтығы азаяды). Диагональды қарама-қарсы қанаттар, әр тармақтан біреу, шексіздікке ұмтылып, ортақ түзуге жақындайды, бұл екі қанаттың асимптотасы деп аталады. Сондықтан екі асимптота бар, олардың қиылысу нүктесі гиперболаның симметрия орталығында орналасқан, оны айна нүктесі деп қарастыруға болады, себебі әрбір тармақ екіншісін жасау үшін осы нүктеге қатысты бейнеленеді. Иілгіштің жағдайында асимптоталар екі координаттық ось болып табылады. Гиперболалар эллипстердің эксцентриситет, ошақ және директриса сияқты талдамалық қасиеттерімен ортақ. Көбінесе сәйкестікті жасау үшін тек кейбір мүшелердің таңбасын өзгерту жеткілікті. Гиперболадан көптеген басқа математикалық объектілер пайда болады, мысалы гиперболалық параболоидтар (ернеу беттер), гиперболоидтар («шелектер»), гиперболалық геометрия (Лобачевскийдің белгілі емес Евклидтік геометриясы), гиперболалық функциялар (sinh, cosh, tanh және т.б.), және гировекторлық кеңістіктер (салыстырмалылық теориясында да, кванттық механикада да қолдануға ұсынылған геометрия).

Этимологиясы мен тарихы

"Гипербола" сөзі грек тіліндегі ὑπερβολή сөзінен шыққан, ол "шамадан тыс" немесе "артық" деген мағынаны білдіреді, содан ағылшын тіліндегі "hyperbole" термині де осы сөзден алынған. Гиперболалар Менахмның текшені екі еселеу мәселесін зерттеу барысында ашылған, бірақ ол кезде оларды доғал конустың қималары деп атаған. "Гипербола" терминін б.з.д. 262 – б.з.д. 190 жылдар шамасында Пергалық Аполлоний конустық қималар туралы толық еңбегінде – "Коникалар" шығармасында қолданған деп саналады. Басқа екі жалпы конустық қиманың атаулары – эллипс және парабола – сәйкес грек сөздерінен, яғни "жетіспейтін" және "қолданылған" деген мағыналарынан алынған; осы үш атаудың барлығы да белгілі бір ауданы бар тіктөртбұрыштарды берілген түзу кесіндісімен салыстыруға қатысты ертерек пифагорлық терминологиядан алынған. Тіктөртбұрыш түзу кесіндісіне "қолданылуы" (яғни, бірдей ұзындықта болуы), одан қысқа немесе одан ұзын болуы мүмкін.

Директрисаның құрылысы

Директерлік матрицаның нүктесі (диаграмманы қараңыз) және фокус, шеңбердің инверсиясы арқылы шеңберге (диаграммада жасыл) қатысты кері шамалар болып табылады. Сондықтан нүкте Талес теоремасы қолданылып құрастырылуы мүмкін (диаграммада көрсетілмеген). Директерлік матрица - нүкте арқылы өтетін түзуге перпендикуляр. : есептеулер көрсеткендей, нүкте асимптотамен оған перпендикуляр түзудің қиылысу нүктесі болып табылады (диаграмманы қараңыз).

Қоңырақтың жазық қимасы ретінде

Тік қос конустың, конустағы сызықтардың еңісінен үлкен еңісті жазықтықпен қиылысы гипербола құрайды (диаграмманы қараңыз: қызыл қисық). Гиперболаның анықтамалық қасиетін дәлелдеу үшін (жоғарыда қараңыз) екі Данделин сферасы қолданылады, бұл сфералар конусқа шеңбер бойымен жанасады, ал қиылысатын (гипербола) жазықтық нүктелерде және жатады. Олар гиперболаның фокустары болып табылады. Кесілген қисық сызықтың кез келген нүктесі болсын. Конустың генераторлары шеңберді нүктеде, ал екінші шеңберді нүктеде қиып өтеді. Сызық сегменттері және сфераға жанасатындықтан, ұзындықтары тең болады. Сызық сегменттері және сфераға жанасатындықтан, ұзындықтары тең. Соның нәтижесінде: нүктенің орнына қарамастан, гипербола нүктесіне тәуелді емес, себебі нүкте қайда болса да, және сызық сегменті конус қапері арқылы өтуі керек. Сондықтан, нүкте қызыл қисық (гипербола) бойымен жылғанда, сызық сегменті ұзындығын өзгертпей, тек қана конус қаперінің айналасында айналады.

Параметрлік бейнелеу

Евклид жазықтығының аффиндік түрленуі , мұнда – детерминанты 0-ге тең емес реттелген матрица, ал – кез келген вектор. Егер матрицаның бағаналық векторлары болса, онда бірлік гипербола гиперболасына өтеді:

– ортасы, – гиперболаның нүктесі және – осы нүктедегі жанама вектор.

Ғарыштағы гипербола

Бұл бөлімдегі гиперболаның анықтамасы, егер кеңістікте векторларға рұқсат етілсе, тіпті кеңістікте де кез келген гиперболаның параметрлік түрін ұсынады.

Дөңгелектің кері айналуы

B шеңберінің C шеңберіне қатысты өзара тепе-теңдігі әрқашан гипербола сияқты конустық қиманы тудырады. "C шеңберіне қатысты өзара тепе-теңдік" процесі геометриялық фигурадағы әрбір түзу мен нүктені тиісінше олардың полюсімен және полярмен алмастырудан тұрады. Түзудің полюсі – оның C шеңберіне ең жақын нүктесінің инверсиясы, ал нүктенің поляры – керісінше, яғни C шеңберіне ең жақын нүктесі сол нүктенің инверсиясы болатын түзу. Конустық қиманың эксцентриситеті – екі шеңбердің орталықтары арасындағы қашықтық пен C шеңберінің радиусы r арасындағы қатынас. Егер B және C сәйкес шеңберлердің орталықтарын білдірсе, онда гиперболаның эксцентриситеті әрқашан бірден артық болғандықтан, B центрі C шеңберінің сыртында жатуы керек.

Бұл анықтама гиперболаның B шеңберіне жүргізілген жанама түзулердің полюстерінің геометриялық орны екенін, сондай-ақ B шеңберінің нүктелерінің поляр түзулерінің қабығы екенін білдіреді. Керісінше, B шеңбері гиперболаның нүктелерінің полярларының қабығы және гиперболаға жүргізілген жанама түзулердің полюстерінің геометриялық орны болып табылады. B шеңберіне жүргізілген екі жанама түзудің (шексіз) полюсі жоқ, өйткені олар өзара тепе-теңдік шеңбері C центрі арқылы өтеді; B шеңберінің сәйкес жанама нүктелерінің полярлары гиперболаның асимптоталары болып табылады. Гиперболаның екі тармағы осы жанама нүктелермен бөлінген B шеңберінің екі бөлігіне сәйкес келеді.

Тікбұрышты гипербола

Бұл жағдайда гипербола тіктөртбұрышты (немесе теңқабырлы) деп аталады, себебі оның асимптоттары тік бұрышпен қиылысады. Осы жағдайда сызықтық эксцентриситет , эксцентриситет және жартылай латус ректум теңдеуінің графигі тіктөртбұрышты гипербола болып табылады.

Ортогондық тангенстер ортоптика

Гипербола үшін, перпендикуляр түйіскен жанамалардың қиылысу нүктелері шеңберде жатады. Бұл шеңбер берілген гиперболаның ортоптикасы деп аталады. Жанамалар гиперболаның әртүрлі тармақтарындағы нүктелерге тиесілі болуы мүмкін. Егер перпендикуляр түйіскен жанамалар жұбы болмаса.

Басқа қасиеттері

Келесілер бір нүктеде түйіседі: 1) гиперболаның фокустары арқылы өтетін және гиперболаның центрінде орналасқан шеңбер; 2) гиперболаның төбелеріне жанама түсетін екі түзудің кез келгені; 3) гиперболаның кез келген асимптотасы. Сондай-ақ, келесілер бір нүктеде түйіседі: 1) гиперболаның центрінде орналасқан және гиперболаның төбелері арқылы өтетін шеңбер; 2) кез келген директриса; 3) асимптоталардың бірі. мұндағы – параметрлі бірінші тектегі толық емес эллипстік интеграл және Гудерманн функциясы.

Алынған қисықтар

Гиперболадан инверсия арқылы басқа да бірнеше қисықтар туындайды, олар гиперболаның кері қисықтары деп аталады. Егер инверсия орталығы гиперболаның өзінің орталығы ретінде таңдалса, кері қисық Бернулли лемнискаты болады; лемнискат сонымен қатар тікбұрышты гиперболаға ортақталған және координата басынан өтетін шеңберлердің жапсырмасы (конверті) болып табылады. Егер инверсия орталығы гиперболаның фокусы немесе тоғысқан нүктесі ретінде таңдалса, нәтижесіндегі кері қисықтар тиісінше лимакон немесе строфоид болады.

Эллипстік координаттар

Конфокалды гиперболалар отбасы екі өлшемдегі эллипстік координаттар жүйесінің негізі болып табылады. Бұл гиперболалар мына теңдеумен сипатталады, мұнда ошақтар x осьтегі бастау нүктесінен c қашықтықта орналасқан, ал θ – x осьпен асимптоталардың бұрышы. Осы отбасыдағы әрбір гипербола, ортақ ошақтары бар кез келген эллипсқа перпендикуляр болады. Бұл перпендикулярлық w = z + 1/z конформальды түрлендірілімі арқылы көрсетілуі мүмкін, мұнда z = x + iy – бастапқы Картезиандық координаттар, ал w = u + iv – түрлендірілгеннен кейінгі координаттар. Гиперболаларды қамтитын басқа перпендикуляр екі өлшемді координаттар жүйелерін алу үшін басқа конформальды түрлендірілімдер қолданылуы мүмкін. Мысалы, w = z2 түрлендірілімі Картезиандық координаттар жүйесін перпендикуляр гиперболалардың екі отбасына айналдырады.

Күн шашы

Гиперболалар көптеген күн сағаттарында кездеседі. Күннің сәулесі аспан сферасында айналып, күн сағатының нүктесіне түсіп, жарық конусын құрайды. Бұл конус пен жердің көлденең жазықтығының қиылысы конустық қиманы (коникалық кескіш) құрайды. Көптеген елді мекендерде және жылдың көп бөлігінде бұл конустық қима гипербола болып табылады. Іс жүзінде, полюстің ұшының көлеңкесі күні бойы жерде гиперболаның жолын (траекториясын) қалдырады, бұл жол деклинация сызығы деп аталады. Бұл гиперболаның пішіні географиялық ендікке және жыл мезгіліне байланысты өзгереді, себебі бұл факторлар күн сәулесінің горизонтқа қатысты бұрышына әсер етеді. Гректер мұндай гиперболалар жиынтығын, белгілі бір жерде бір жыл бойына, екі қырлы балтаға ұқсас болғандықтан пелекинон деп атаған.

Көп жақтылық

Гипербола – көпжақты өлшеу проблемаларын шешудің негізі болып табылады, яғни берілген нүктелерге дейінгі арақашықтықтардың айырмасы бойынша нүктені анықтау, немесе, балама ретінде, нүкте мен берілген нүктелер арасындағы синхронды сигналдардың келу уақытының айырмасы. Мұндай проблемалар навигацияда, әсіресе суда маңызды; кеме LORAN немесе GPS хабарлау станцияларынан келетін сигналдардың келу уақытының айырмасы арқылы өз орнын анықтай алады. Керісінше, бағытталғыш маяк немесе кез келген хабар таратушының орны екі жеке қабылдау станциясындағы сигналдарының келу уақытын салыстыру арқылы анықталуы мүмкін; мұндай техникалар объектілерді және адамдарды іздеу үшін қолданылуы мүмкін. Атап айтқанда, екі берілген нүктеден арақашықтығы 2a-ға тең болатын нүктенің барлық мүмкін орналасқан жерлерінің жиынтығы – 2a қашықтыққа ие гипербола, оның фокустары берілген екі нүкте болып табылады.

Бөлшектің жүріп өткен жолы

Классикалық Кеплер проблемасындағы кез келген бөлшектің қозғалыс жолы конус қимасы болып табылады. Атап айтқанда, егер бөлшектің жалпы энергиясы E нөлден жоғары болса (яғни, бөлшек байланыспаған болса), онда мұндай бөлшектің жолы гипербола болады. Бұл қасиет жоғары энергиялы бөлшектерді шашырату арқылы атомдық және атомдық емес күштерді зерттеуде пайдалы; мысалы, Резерфорд эксперименті алтын атомдарынан альфа бөлшектерін шашыратуды зерттеу арқылы атом ядросының бар екенін көрсетті. Егер қысқа қашықтықтағы ядролық әрекеттесулер ескерілмесе, атом ядросы мен альфа бөлшегі тек кері квадрат заңына сәйкес келетін Кулоннің итергіш күшімен әрекеттеседі.

Кортевегде Врис теңдеуі

Гиперболалық тригонометриялық функция Кортевег-де Врис теңдеуіне бір шешім ретінде келеді, бұл теңдеу каналдағы солитон толқынының қозғалысын сипаттайды.

Бұрыштық үшбұрышты кесу

Пергалық Аполлоний алғаш көрсеткендей, гипербола кез келген бұрышты үш бөлікке бөлуге қолданылуы мүмкін, бұл геометрияның жақсы зерттелген мәселесі. Бұрыш берілген болса, ең алдымен оның қабырғаларын A және B нүктелерінде қиып өтетін, O нүктесін орталық етіп шеңбер салыңыз. Содан кейін A және B нүктелері арқылы өтетін сызық сегментін және оның орта перпендикулярын салыңыз. Директрисасы және фокусы B нүктесінде болатын, эксцентриктігі e=2 гипербола құрастырыңыз. P нүктесі гиперболаның шеңбермен жоғарғы қиылыс нүктесі болсын. POB бұрышы AOB бұрышын үш бөлікке бөледі. Мұны дәлелдеу үшін OP сызық сегментін түзу бойында керітіп, P нүктесінің P' бейнесін алыңыз. Керітілгеннен кейін AP' сегменті BP сегментімен тең ұзындықта болады, ал гиперболаның эксцентриктігіне байланысты PP' сегменті BP сегментімен тең ұзындықта болады. OA, OP', OP және OB – бір шеңбердің радиустары болғандықтан (демек, ұзындықтары бірдей), OAP', OPP' және OPB үшбұрыштары өзара сәйкес келеді. Сондықтан бұрыш үш бөлікке бөлінеді, өйткені 3×POB = AOB.

Портфельдің тиімді шегі

Портфель теориясында орташа дисперсиялық тиімді портфельдердің траекториясы (тиімді шекара деп аталады) – портфельдің стандартты ауытқуы көлденең, ал күтілетін кірісі тігінен белгіленген гиперболаның шығысқа қарай ашылатын тармағының жоғарғы жартысы болып табылады. Осы теорияға сәйкес, барлық рационалды инвесторлар осы траекториядағы бір нүктемен сипатталатын портфельді таңдайды.

Биохимия

Биохимия және фармакологияда Хилл теңдеуі мен Хилл-Лангмюр теңдеуі сәйкесінше биологиялық жауаптарды және протеин-лиганд кешендерінің қалыптасуын лиганд концентрациясының функциясы ретінде сипаттайды. Екеуі де тіктөртбұрышты гиперболалар болып табылады.