Кіріспе
Геометрияда, картезиандық координаттар жүйесі (/UK//k//ɑːr/'/t//iː//zj//ə//n/, /US//k//a:r//'//t//i://ʒ//ə//n/) – әрбір нүктені координаттар деп аталатын нақты сандар жұбы арқылы бірегей түрде анықтайтын координаттар жүйесі. Бұл – екі бекітілген, өзара перпендикуляр бағытталған түзулерден нүктеге дейінгі белгіленген қашықтықтар, олар координаттық түзулер, координаттық осьтер немесе жүйе осі (осьтердің көпше түрі) деп аталады. Олардың қиылысқан нүктесі бастапқы нүкте деп аталады және (0, 0) координаталарына ие. Сол сияқты, үш өлшемді кеңістіктегі кез келген нүктенің орны үш картезиандық координатамен көрсетілуі мүмкін, олар нүктеден үш өзара перпендикуляр жазықтыққа дейінгі белгіленген қашықтықтарды білдіреді. Жалпы алғанда, n картезиандық координата n өлшемді Эвклид кеңістігіндегі нүктені анықтайды. Бұл координаттар нүктенің n өзара перпендикуляр бекітілген гипержазықтыққа дейінгі белгіленген қашықтықтары болып табылады. Картезиандық координаттар Рене Декарттың құрметіне аталған, оның 17 ғасырда оларды ойлап табуы геометрия мәселелерін алгебра мен есептеу терминдерімен өрнектеуге мүмкіндік беріп, математикада революция жасады. Картезиандық координаттар жүйесін пайдаланып, геометриялық пішіндер (мысалы, қисықтар) пішіннің нүктелерінің координаттарын қамтитын теңдеулермен сипаттауға болады. Мысалы, радиусы 2, жазықтықтың бастапқы нүктесінде ортасы орналасқан шеңберді x және y координаттары 1=x^(2) + y^(2) = 4 теңдеуін қанағаттандыратын барлық нүктелер жиынтығы ретінде сипаттауға болады; бұл теңдеуден интегралдар мен туындыларды қолдану арқылы кез келген қисыққа қолданылатын тәсілмен ауданы, периметрі және кез келген нүктедегі жанама сызықты есептеуге болады. Картезиандық координаттар – аналитикалық геометрияның негізі және математиканың көптеген басқа салалары үшін түсінікті геометриялық интерпретацияларды ұсынады, мысалы, сызықтық алгебра, комплекс сандарды зерттеу, дифференциалдық геометрия, көп айнымалы есептеу, топтар теориясы және т.б. Белгілі мысал – функцияның графигі. Картезиандық координаттар геометриямен айналысатын көптеген қолданбалы ғылымдар үшін де маңызды құралдар болып табылады, оның ішінде астрономия, физика, инженерия және тағы да көптеген салалар. Олар компьютерлік графикада, компьютерлік көмегімен геометриялық жобалауда және басқа геометрияға қатысты деректерді өңдеуде қолданылатын ең көп таралған координаттар жүйесі болып табылады.
In geometry, a Cartesian coordinate system (/UK//k//ɑːr/'/t//iː//zj//ə//n/, /US//k//a:r//'//t//i://ʒ//ə//n/) in a plane is a coordinate system that specifies each point uniquely by a pair of real numbers called coordinates, which are the signed distances to the point from two fixed perpendicular oriented lines, called coordinate lines, coordinate axes or just axes (plural of axis) of the system. The point where they meet is called the origin and has (0, 0) as coordinates. Similarly, the position of any point in three dimensional space can be specified by three Cartesian coordinates, which are the signed distances from the point to three mutually perpendicular planes. More generally, n Cartesian coordinates specify the point in an n dimensional Euclidean space for any dimension n. These coordinates are the signed distances from the point to n mutually perpendicular fixed hyperplanes. Cartesian coordinates are named for René Descartes, whose invention of them in the 17th century revolutionized mathematics by allowing the expression of problems of geometry in terms of algebra and calculus. Using the Cartesian coordinate system, geometric shapes (such as curves) can be described by equations involving the coordinates of points of the shape. For example, a circle of radius 2, centered at the origin of the plane, may be described as the set of all points whose coordinates x and y satisfy the equation 1=x^(2) + y^(2) = 4; the area, the perimeter and the tangent line at any point can be computed from this equation by using integrals and derivatives, in a way that can be applied to any curve. Cartesian coordinates are the foundation of analytic geometry, and provide enlightening geometric interpretations for many other branches of mathematics, such as linear algebra, complex analysis, differential geometry, multivariate calculus, group theory and more. A familiar example is the concept of the graph of a function. Cartesian coordinates are also essential tools for most applied disciplines that deal with geometry, including astronomy, physics, engineering and many more. They are the most common coordinate system used in computer graphics, computer aided geometric design and other geometry related data processing.
Тарих
Картезиандық деген сөз француз математигі және философы Рене Декартқа сілтеме жасайды, ол бұл идеяны 1637 жылы Нидерландыда тұрғанда жариялаған. Бұл идея Пьер де Ферма тарапынан тәуелсіз түрде ашылды, ол да үш өлшемде жұмыс істеген, бірақ Ферма бұл ашылуын жарияламаған. Француз дін қызметкері Николь Оресме Декарт және Ферманың заманынан бұрын картезиандық координаттарға ұқсас құрылымдарды қолданған. Декарт және Ферма екеуі де өз жұмыстарында бір осьті пайдаланды, ол осы оське қатысты өлшенетін өзгермелі ұзындығы бар. Осьтер жұбын пайдалану тұжырымы кейінірек, 1649 жылы Декарттың «Геометриясы» Франс ван Шутен және оның шәкірттерімен латын тіліне аударылғаннан кейін енгізілді. Бұл түсіндірушілер Декарттың еңбегіндегі идеяларды түсіндіруге тырысқанда бірнеше тұжырымдарды енгізді. Картезиандық координаттар жүйесінің дамуы Исаак Ньютон мен Готфрид Вильгельм Лейбництің есептеулерді (калькулусті) дамытуында маңызды рөл атқарды. Жазықтықтың екі координаттық сипаттамасы кейінірек векторлық кеңістіктер тұжырымына жалпыландырылды. Декарттан бері көптеген басқа координаттар жүйелері жасалды, мысалы, жазықтық үшін полярлық координаттар және үш өлшемді кеңістік үшін сфералық және цилиндрлік координаттар.
Бір өлшем
Картезиандық координаттар жүйесі таңдалған аффинді түзу сан түзуі деп аталады. Түзудегі әрбір нүктенің нақты сан координатасы болады, ал әрбір нақты сан түзудегі бір нүктені көрсетеді. Түзу үшін Картезиандық координаттар жүйесін таңдауда екі еркіндік дәрежесі бар, оны түзу бойындағы екі түрлі нүктені таңдап, оларды екі түрлі нақты санға (көбінесе нөл және бір) сәйкестендіру арқылы анықтауға болады. Басқа нүктелерді сандарға сызықтық интерполяция арқылы бірегей түрде тағайындауға болады. Балама ретінде, бір нүктені нақты санға, мысалы, нөлге сәйкес келетін бастапқы нүктеге тағайындауға болады, ал түзу бойындағы бағдарланған ұзындықты бірлік ретінде таңдауға болады, мұнда бағдар түзу бойындағы бағыттар мен оң немесе теріс сандар арасындағы сәйкестікті көрсетеді. Әрбір нүкте бастапқы нүктеден өлшенген шартты қашықтығына сәйкес келеді (абсолютті мәні қашықтыққа тең сан және бағытына байланысты таңдалған + немесе - таңбасы). Түзудің геометриялық түрлендірілуін нақты айнымалының функциясы арқылы бейнелеуге болады, мысалы, түзуді жылжыту қосуға, ал түзуді масштабтау көбейтуге сәйкес келеді. Кез келген екі Картезиандық координаттар жүйесі түзуде бір-бірімен сызықтық функция (мысалы, түрдегі функция) арқылы байланысты болуы мүмкін, ол бір жүйедегі белгілі бір нүктенің координатын екінші жүйедегі координатына ауыстырады. Екі түрлі түзудің әрқайсысы үшін координаттар жүйесін таңдау, бір түзудегі әрбір нүктені екінші түзудегі бірдей координатасы бар нүктеге жіберу арқылы бір түзуден екіншісіне аффиналық бейнелеуді құрады.
Евклидтік түрлендірулер
Евклидтік түрлендірулер немесе Евклидтік қозғалыстар — Евклидтік жазықтықтағы нүктелерді өздеріне сәйкес келтіретін (биективті) бейнелеулер, олар нүктелер арасындағы қашықтықты сақтайды. Осындай бейнелеулердің төрт түрі бар (олар изометриялар деп те аталады): жылжулар, бұрылулар, кері бұрылулар және жылжумен кері бұрылулар.
Аударма
Ұшақтағы нүктелер жиынтығын аудару, олардың арасындағы қашықтықтар мен бағыттарды сақтай отырып, жиынтықтағы әрбір нүкенің Картезиандық координаттарына тұрақты сандар жұбын (a, b) қосуға тең. Яғни, егер нүктенің бастапқы координаттары (x, y) болса, аударғаннан кейін олар болады.
Жылжымалы шағылысу
Жылжымалы шағылысу – бұл бір түзу бойында шағылысудан кейін сол түзу бағытындағы жылжудың қосылуы. Осы операциялардың реті маңызды емес екенін байқауға болады (алдымен жылжу, содан кейін шағылысу да болуы мүмкін).
Аффиндік түрлендіру
Эвклид жазықтығының аффиндік түрлендірулері – түзулерді түзулерге бейнелейтін, бірақ қашықтықтар мен бұрыштарды өзгерте алатын түрлендірулер. Жоғарыда айтылғандай, оларды толықтырылған матрицалармен көрсетуге болады:
Евклидтік түрлендірулер – 2×2 матрицасы ортогональ болатын аффиндік түрлендірулер. Екі аффиндік түрлендірудің қосындысын көрсететін толықтырылған матрица олардың толықтырылған матрицаларын көбейту арқылы алынады. Евклидтік түрлендірулер емес кейбір аффиндік түрлендірулерге арнайы атаулар берілген.
Өлшемін өзгерту
Евклидтік емес аффиндік түрлендірудің мысалы – масштабтау. Фигураны үлкеніту немесе кішіту әрбір нүктенің декарттық координаталарын бірдей оң санға, m-ге көбейтумен тең. Егер (x, y) бастапқы фигурадағы нүктенің координаталары болса, масштабталған фигурадағы сәйкес нүктенің координаталары болады.
Егер m 1-ден үлкен болса, фигура үлкенейеді; егер m 0 мен 1 аралығында болса, фигура кішірейеді.
Екі өлшемде
X осін орнату немесе таңдау y осін бағытына дейін анықтайды. Яғни, y осі міндетті түрде x осіне перпендикуляр болып, x осіне 0 белгісі қойылған нүкте арқылы өтеді. Бірақ перпендикулярдағы екі жарты сызықтың қайсысын оң, қайсысын теріс деп белгілеуге мүмкіндік бар. Осы екі таңдаудың әрқайсысы декарт жазықтығының әртүрлі бағытын (немесе қолдануын) анықтайды. Жазықтықты бағдарлаудың қалыпты тәсілі – оң x осін оңға, ал оң y осін жоғары бағыттау (және x осі «бірінші», ал y осі «екінші» ось болып табылады), бұл оң немесе стандартты бағыт деп саналады, сондай-ақ оң қол бағыты деп те аталады. Оң бағытты анықтау үшін жиі қолданылатын есте сақтау құралы – оң қол ережесі. Оң қолыңызды жартылай жұмып, бас бармағыңызды жоғары бағыттап, жазықтыққа қойыңыз, ал саусақтарыңыз x осінен y осіне қарай бағытталады, бұл оң бағытталған координаттар жүйесіндегі бағытты көрсетеді. Жазықтықты бағдарлаудың тағы бір жолы – сол қол ережесін қолдану, сол қолыңызды жазықтыққа қойып, бас бармағыңызды жоғары бағыттаңыз. Егер сіз бас бармағыңызды бастапқы нүкеден оң ось бойымен бағыттасаңыз, саусақтарыңыздың қисықтығы сол ось бойымен оң айналысты көрсетеді. Жазықтықты бағдарлау үшін қандай ереже қолданылса да, координаттар жүйесін айналдыру бағытты сақтайды. Кез келген осьті ауыстыру бағытты өзгертеді, бірақ екі осін де ауыстыру бағытты өзгертусіз қалдырады.
Үш өлшемді
X және y осьтері белгіленгеннен кейін, олар z осьінің қай бағытта жататынын анықтайды, бірақ осы бағыттың екі мүмкіндігі бар. Нәтижесінде пайда болатын екі мүмкін координаттар жүйесі «оң жақты» және «сол жақты» деп аталады. xy жазықтығы көлденең және z осьі жоғары қарай бағытталған (және xy жазықтығынан қарағанда x және y осьтері xy жазықтығында оң бағытталған екі өлшемді координаттар жүйесін құрайтын) стандартты бағдар оң жақты немесе оң деп аталады. Бұл атау оң қол ережесінен шыққан. Егер оң қолдың көрсеткіш саусағы алға қарай бағытталса, ортаңғы саусағы оған перпендикуляр, ішке қарай иілсе және бас бармағы екеуіне де перпендикуляр орналасса, онда үш саусақ оң жақты жүйеде x, y және z осьтерінің салыстырмалы бағытын көрсетеді. Бас бармақ x осьін, көрсеткіш саусақ y осьін, ал ортаңғы саусақ z осьін көрсетеді. Сол қолмен де осылай істесеңіз, сол жақты жүйе пайда болады. 7-сурет сол және оң жақты координаттар жүйесін бейнелейді. Үш өлшемді нысан екі өлшемді экранда бейнеленгендіктен, бұрмалану мен түсініксіздіктер туындайды. Төмен қарай (және оңға) бағытталған осьті бақылаушыға қарай бағытталған деп түсіну керек, ал «орталық» осьті бақылаушыдан алыс бағыттау керек. Қызыл шеңбер көлденең xy жазықтығына параллель және x осьінен y осьіне айналуды көрсетеді (екеуі де). Сондықтан қызыл жебе z осьінің алдынан өтеді. 8-сурет оң жақты координаттар жүйесін бейнелеуге жасалған тағы бір әрекет. Тағы да үш өлшемді координаттар жүйесін жазықтыққа түсіруден туындаған түсініксіздік бар. Көптеген бақылаушылар 8-суретті «ішке және сыртқа қарай қозғалып тұрғандай» көреді. Бұл кеңістіктің екі мүмкін бағытына сәйкес келеді. Суретті дөңгелек түрінде қарасаңыз, сол жақты координаттар жүйесі пайда болады. Сондықтан 8-суретті дұрыс көру үшін x осьі бақылаушыға қарай бағытталған және осылайша ойыс бұрышты көру керек.