Кіріспе
Геометриялық фигура. Жазық қисық: конустық қима.
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Математикада эллипс – екі фокус нүктесін қоршап тұрған жазық қисық, мұнда қисықтың кез келген нүктесі үшін фокус нүктелеріне дейінгі екі қашықтықтың қосындысы тұрақты шама болады. Ол шеңберді жалпылайды, яғни екі фокус нүктесі бірдей болатын эллипстің ерекше түрі. Эллипстің созылыңқылығы эксцентриситетімен өлшенеді, ол сан (шеңбердің шекті жағдайы) мен (шексіз созылыңқылықтың шекті жағдайы, енді эллипс емес, парабола) аралығында болады. Эллипстің ауданы үшін қарапайым алгебралық шешім бар, бірақ оның периметріне (шеңбер деп те аталады) тек жуықтамалы мәлімдемелер бар, дәл шешім алу үшін интегралдау қажет. Аналитикалық тұрғыдан алғанда, бастапқы нүктеде орналасқан, ені және биіктігі бар стандартты эллипстің теңдеуі: , ошақтары үшін болғанда. Стандартты параметрлік теңдеу:
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Эллипстер – конустық қиманың жабық түрі: конус пен жазықтықтың қиылысын көрсететін жазық қисық (суретті қараңыз). Эллипстердің параболалар мен гиперболалар сияқты басқа екі конустық қима түрімен көптеген ұқсастықтары бар, олардың екеуі де ашық және шексіз. Тік цилиндрдің көлденең қимасы да эллипс болып табылады. Эллипсті сондай-ақ бір фокус нүктесі және эллипстің сыртындағы түзу сызық – директриса арқылы да анықтауға болады: эллипстің кез келген нүктесі үшін фокусқа дейінгі қашықтық пен директрисаға дейінгі қашықтықтың арақатынасы тұрақты болады. Бұл тұрақты арақатынас жоғарыда аталған эксцентриситет болып табылады:
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Эллипстер физика, астрономия және инженерияда кеңінен қолданылады. Мысалы, Күн жүйесіндегі әрбір планетаның орбитасы шамамен эллипс болып табылады, онда Күн бір фокус нүктесінде орналасқан (дәлірек айтқанда, фокус – Күн-планета жұбының барцентрі). Бұл айлардың планеталардың айналасында айналуына және басқа да екі астрономиялық дененің кез келген жүйесіне де қатысты. Планеталар мен жұлдыздардың пішіндері көбінесе эллипсоидтар арқылы сипатталады. Шеңбер бүйірден қарағанда эллипс сияқты көрінеді: яғни эллипс – параллель немесе перспективалық проекциядағы шеңбердің бейнесі. Эллипс сонымен қатар көлденең және тік қозғалыстардың жиілігі бірдей болатын синусоидалардың нәтижесінде пайда болатын ең қарапайым Лиссажу фигурасы болып табылады: ұқсас эффект оптикада жарықтың эллиптік поляризациясына әкеледі. ἔλλειψις ("кемшілік") деген атауды Пергалық Аполлоний өзінің "Коника" еңбегінде берген.
Plane curve: conic section
In mathematics, an ellipse is a plane curve surrounding two focal points, such that for all points on the curve, the sum of the two distances to the focal points is a constant. It generalizes a circle, which is the special type of ellipse in which the two focal points are the same. The elongation of an ellipse is measured by its eccentricity , a number ranging from (the limiting case of a circle) to (the limiting case of infinite elongation, no longer an ellipse but a parabola). An ellipse has a simple algebraic solution for its area, but only approximations for its perimeter (also known as circumference), for which integration is required to obtain an exact solution. Analytically, the equation of a standard ellipse centered at the origin with width and height is:
Assuming , the foci are for The standard parametric equation is:
Ellipses are the closed type of conic section: a plane curve tracing the intersection of a cone with a plane (see figure). Ellipses have many similarities with the other two forms of conic sections, parabolas and hyperbolas, both of which are open and unbounded. An angled cross section of a right circular cylinder is also an ellipse. An ellipse may also be defined in terms of one focal point and a line outside the ellipse called the directrix: for all points on the ellipse, the ratio between the distance to the focus and the distance to the directrix is a constant. This constant ratio is the above mentioned eccentricity:
Ellipses are common in physics, astronomy and engineering. For example, the orbit of each planet in the Solar System is approximately an ellipse with the Sun at one focus point (more precisely, the focus is the barycenter of the Sunplanet pair). The same is true for moons orbiting planets and all other systems of two astronomical bodies. The shapes of planets and stars are often well described by ellipsoids. A circle viewed from a side angle looks like an ellipse: that is, the ellipse is the image of a circle under parallel or perspective projection. The ellipse is also the simplest Lissajous figure formed when the horizontal and vertical motions are sinusoids with the same frequency: a similar effect leads to elliptical polarization of light in optics. The name, ἔλλειψις (, "omission"), was given by Apollonius of Perga in his Conics.
Негізгі осі
Бұл мақалада жарты бас және жарты кіші осьтері сәйкесінше және деп белгіленеді, яғни .
Принцип бойынша, канондық эллипс теңдеуі мына түрде болуы мүмкін (және осылайша эллипс енінен гөрі биік болады). Бұл түрді өзгермелі атауларын және , параметр атауларын және алмастыру арқылы стандартты түрге келтіруге болады.
Сызықтық эксцентрицитет
Бұл - орталықтан фокусқа дейінгі қашықтық: .
Жарым-жартылай тік жоғарғы жағы
Ауыр оське перпендикуляр бір фокус арқылы өтетін хорданың ұзындығы латус ректум деп аталады. Оның жартысы – жартылай латус ректум. Есептеулер көрсеткендей: жартылай латус ректум төбелердегі қисықтық радиусына тең (қисықтық бөлімін қараңыз).
The semi latus rectum is equal to the radius of curvature at the vertices (see section curvature).
Ортогональ тангенстер
Эллипс үшін ортогональды жанамалардың қиылысу нүктелері шеңберде жатады. Бұл шеңбер эллипстің ортоптық немесе директорлық шеңбері деп аталады (жоғарыда анықталған дөңгелек директрисамен шатастырмау керек).
This circle is called orthoptic or director circle of the ellipse (not to be confused with the circular directrix defined above).
Эллипстерді салу
Эллипстер сипаттамалық геометрияда шеңберлердің бейнелері (параллель немесе орталық проекция) ретінде көрінеді. Эллипсті салу үшін түрлі құралдар бар. Эллипстің ең жылдам және ең дәл суретін компьютерлермен жасауға болады. Дегенмен, компьютерсіз эллипсті салуға арналған техникалық құралдар (эллипсографтар) да бар. Эллипсографтардың қағидасы грек математиктері Архимед пен Прокл сияқтыларға бұрыннан белгілі болған. Егер эллипсограф қолжетімді болмаса, эллипсті төрт жанама шеңбер арқылы жуықтап салуға болады. Төменде сипатталған кез келген әдіс үшін осьтер мен жартылай осьтерді білу қажет (немесе баламасы ретінде: фокус нүктелері мен жартылай үлкен ось). Егер бұл шарт орындалмаса, кем дегенде екі түйіндес диаметрді білу керек. Ритц құрылысының көмегімен осьтер мен жартылай осьтерді анықтауға болады.
de La Hire нүктелік құрылымы
Эллипстің жеке нүктелерін салу әдісі де Ла Хирге тиесілі. Ол эллипстің стандартты параметрлік түріне негізделген: эллипстің центрінде радиустары эллипстің өстеріне тең болатын екі шеңбер салыңыз. Ортасынан өтетін және осы екі шеңберді сәйкесінше нүктелерде қиып өтетін түзу сызыңыз. нүктесінен кіші оське параллель, ал нүктесінен үлкен оське параллель түзулер жүргізіңіз. Бұл түзулер эллипстің нүктесінде қиылысады (суретті қараңыз). 2- және 3-қадамдарды центрінен өтетін әртүрлі түзулермен қайталаңыз.
Draw the two circles centered at the center of the ellipse with radii and the axes of the ellipse. Draw a line through the center, which intersects the two circles at point and , respectively. Draw a line through that is parallel to the minor axis and a line through that is parallel to the major axis. These lines meet at an ellipse point (see diagram). Repeat steps (2) and (3) with different lines through the center.
Шыналы және сымдық әдіс
Эллипсті ошақтарға дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны ретінде сипаттау, оны салу үшін екі түйреуіш, жіп және қарындаш қолдану әдісіне алып келеді. Бұл әдісте түйреуіштер қағазға екі нүктеге қадалады, олар эллипстің ошақтары болады. Жіптің екі ұшы да түйреуіштерге байланады, байлаудан кейін жіптің ұзындығы белгілі бір шамаға тең болады. Содан кейін қарындаш ұшы жіп тартылып тұрғанда қозғалса, эллипс сызылады. Бағбандар екі қазық пен арқанды пайдаланып осы процедураны эллипстік гүлзарды белгілеу үшін қолданады, сондықтан бұл эллипс бағбан эллипсі деп аталады. Жабық жіппен конфокалды эллипстерді салуға арналған ұқсас әдіс ирланд епискобы Чарльз Грейвске тиесілі.
Гипотрохоидты ретінде
Эллипс – бұл көрсетілген суреттегідей, егер болғандағы гипотрохоиданың ерекше жағдайы. Радиусы бар шеңбердің ішінде радиусы бар шеңбердің қозғалуының ерекше жағдайы Туси жұбы деп аталады.
Эллипстік шағылыстырғыштар мен акустика
Егер судың беті эллипстік су резервуарының бір фокусінде бұзылса, бұл бұзылыстың дөңгелек толқындары қабырғалардан шағылысқаннан кейін бір мезгілде бір нүктеге: екінші фокусқа жиналады. Бұл екі фокус арасындағы кез келген қабырғаға соққылық жолдың жалпы ұзындығы бірдей болуының салдары. Сол сияқты, егер жарық көзі эллипстік айнаның бір фокусіне орналастырылса, эллипстің жазықтығындағы барлық жарық сәулелері екінші фокусқа шағылысады. Басқа ешқандай тегіс қисық мұндай қасиетке ие болмағандықтан, оны эллипстің балама анықтамасы ретінде пайдалануға болады. (Егер шеңбердің ортасында жарық көзі болса, барлық жарық орталыққа қайтарылады.) Эллипстің үлкен осі бойымен айналдырса, эллипсоидты айна (яғни, сопақтау сфера) пайда болады, онда бұл қасиет жарық көзінен шыққан барлық сәулелерге қатысты сақталады. Сондай-ақ, эллипстік қималы цилиндрлі айнаны қағаз сызығы бойымен сызықтық люминесцентті шамнан жарықты шоғырландыру үшін қолдануға болады; мұндай айналар кейбір құжат сканерлерінде қолданылады. Дыбыс толқындары да осылай шағылысады, сондықтан үлкен эллипстік бөлмеде бір фокусте тұрған адам екінші фокусте тұрған адамды өте жақсы ести алады. Бұл әсер сопақтау сфераның бөлігінен жасалған күмбезді шатыр астында одан да айқын көрінеді. Мұндай бөлме «Шыбырлау бөлмесі» деп аталады. Осы әсерді екі сопақтау сфераның ұштарындай пішінделген, бір-біріне қарама-қарсы орналасқан және дұрыс арақашықтықта қойылған екі рефлектормен де көрсетуге болады. Мысалдар: АҚШ Капитолийіндегі Ұлттық мүсін залы (онда Джон Куинси Адамс осы қасиетті саяси мәселелерді тыңдау үшін пайдаланған деген әңгіме бар); Юта штатының Солт-Лейк-Ситидегі Храм алаңындағы Мормондық табернакль; Чикагодағы Ғылым және өнеркәсіп мұражайындағы дыбысқа арналған көрмеде; Иллинойс университетінің Урбана-Шампайн қаласындағы Фоллингер аудиториясының алдында; және Альгамбрадағы Карл V сарайының бүйір бөлмесінде.
Гармоникалық тербелістер
Екі немесе одан көп өлшемдегі гармоникалық осциллятордың жалпы шешімі де эллипс болып табылады. Мысалы, екі өлшемде еркін қозғалатын ұзын маятник, толығымен серіпті пружинамен бекітілген масса, немесе тартымдылық күші тұрақты тартымдылық нүктесінен қашықтығына тура пропорционал болатын кез келген дененің қозғалысы осыған жатады. Дегенмен, Кеплер орбиталарынан өзгеше, бұл "гармоникалық орбиталардың" тартылыс орталығы эллипстің геометриялық орталығында орналасқан және олардың қозғалыс теңдеулері салыстырмалы түрде қарапайым.
Фазалық көрініс
Электрондық құрылғыларда екі синусоидты сигналдың өзара фазалық қатынасын оларды осциллографтың тік және көлденең кірістеріне қосу арқылы салыстыруға болады. Егер Лиссажу фигурасы түзу сызық емес, эллипс түрінде болса, екі сигнал фаза бойынша үйлесімсіз болады.
Эллипстік дөңгелектер
Екі дөңгелек пішіндес емес, бірақ бірдей эллипстік контурлы дөңгелектер, әрқайсысы бір фокус нүктесінің айналасында бұрылып, тиісті бұрышта орналасқанда, әрқашан жанасып тұрып, тегіс айналады. Балама ретінде, олар тізбек немесе уақыт белбеуімен байланыстырылуы мүмкін, ал велосипедте негізгі тісті дөңгелек эллипстік немесе эллипс пішініне ұқсас овалды болуы мүмкін. Мұндай эллипстік дөңгелектер механикалық жабдықтарда тұрақты айналатын жетек осінен өзгермелі бұрыштық жылдамдық немесе күш моментін алу үшін, немесе велосипедте педаль айналу жылдамдығын өзгерту арқылы кері пропорционалды механикалық күшті қамтамасыз ету үшін қолданылуы мүмкін. Эллипстік велосипед дөңгелектері тізбектің ауысқан кезде дөңгелектен сығуын жеңілдетеді. Мысал ретінде, иіру машинасының конустық макарасына жіп орағыш құрылғыны келтіруге болады. Макара жіптің ұшына жақын болғанда, негізіне жақын болғаннан гөрі жылдамырақ оралуы керек.
Оптика
Оптикалық анизотроптық (бирефрингті) материалда сыну көрсеткіші жарықтың бағытына байланысты. Бұл тәуелділікті индекстік эллипсоид арқылы сипаттауға болады. (Егер материал оптикалық жағынан изотроп болса, онда бұл эллипсоид шар болып табылады.) Лампамен қоздырылатын қатты күйдегі лазерлерде эллипстік цилиндр пішіндес рефлекторлар шамнан (бір эллипс фокустық осімен коаксиалды) жарықты белсенді орта таяқшасына (екінші фокустық осімен коаксиалды) бағыттау үшін қолданылады. Микрочип литографиясында қолданылатын лазерлік плазмадан туындайтын EUV сәулесінің көздерінде EUV сәулесі эллипсоидты айнаның бірінші фокусына орналастырылған плазма арқылы жасалады және литография машинасының кірісіндегі екінші фокуста жиналады.
Статистика және қаржы
Статистикада екіөлшемді кездейсоқ вектор, егер оның тығыздық функциясының тең мәнді контурлары – тығыздық функциясының бірдей мәндерін көрсететін локустар – эллипс болса, эллипстік таралымды деп аталады. Бұл ұғым кездейсоқ вектордың кез келген санындағы элементтеріне дейін жалғастырылады, онда тығыздық функциясының тең мәнді контурлары әдетте эллипсоидтар болады. Көпөлшемді қалыпты таралым – ерекше жағдай. Эллипстік таралымдар қаржы саласында маңызды, себебі активтердің табыс деңгейлері эллипстік таралымды болса, барлық портфельдерді олардың күтілетін мәні мен дисперсиясы толық сипаттайды – яғни, портфель табысының күтілетін мәні мен дисперсиясы бірдей болған кез келген екі портфельде портфель табысының таралуы да бірдей болады.
Оптимизациялау теориясы
Кейде нүктелер жиынтығы үшін ең кішкентай шектейтін эллипс табу пайдалы болады. Эллипсоид әдісі осы мәселені шешуге өте көмектеседі.