Парабола: жазық қисық сызығы

Кіріспе

Жазық қисық: конустық қима

Математикада парабола – айна симметриялы және шамамен U пішінді жазық қисық. Ол бірнеше сырттай түрленуі әртүрлі математикалық сипаттамаларға сәйкес келеді, олардың барлығы бірдей қисықты анықтайтынын дәлелдеуге болады. Параболаның бір сипаттамасы – нүкте (фокус) және түзу (директриса). Фокус директрисада жатпайды. Парабола – бұл жазықтықтағы директриса мен фокусқа тең қашықтықта орналасқан нүктелердің жиынтығы. Параболаның тағы бір сипаттамасы – тік дөңгелек конус беті мен осы конус бетіне жанасатын жазықтыққа параллель жазықтықтың қиылысынан пайда болатын конустық қима. Квадраттық функцияның графигі (с) – y осіне параллель осьі бар парабола. Керісінше, кез келген мұндай парабола – квадраттық функцияның графигі болып табылады. Директрисаға перпендикуляр және фокус арқылы өтетін түзу (яғни параболаны ортасынан бөлетін түзу) – «симметрия осі» деп аталады. Параболаның симметрия осімен қиылысатын нүктесі – «вершина» деп аталады және бұл параболаның ең тік қисық нүктесі. Вершина мен фокус арасындағы қашықтық, симметрия осі бойымен өлшенгенде, – «фокустық арақашықтық» деп аталады. «Latus rectum» – директрисаға параллель және фокус арқылы өтетін параболаның хордасы. Параболалар жоғары, төмен, солға, оңға немесе кез келген басқа бағытта ашылуы мүмкін. Кез келген параболаны басқа параболаға дәл сәйкес келтіріп, қайта орналастыруға және масштабтауға болады, яғни барлық параболалар геометриялық тұрғыдан ұқсас. Параболалардың бір қасиеті бар: егер олар жарықты шағылыстыратын материалдан жасалса, онда параболаның симметрия осіне параллель қозғалатын және оның ішкі бетіне түсетін жарық, параболаның қай жерінде шағылысқан болса да, фокусына шағылысады. Керісінше, фокустағы нүктелік көзден шыққан жарық параллель («коллимацияланған») сәулеге шағылысады, бұл параболаны симметрия осіне параллель қалдырады. Дәл осындай эффекттер дыбыс және басқа да толқындар үшін де орын алады. Бұл шағылыстыру қасиеті параболаның көптеген практикалық қолданыстарын құрайды. Параболаның көптеген маңызды қолданыстары бар, мысалы, параболалық антенна немесе параболалық микрофоннан бастап, автомобиль фаралары мен баллистикалық зымырандарды жобалауға дейін. Ол физика, инженерия және көптеген басқа да салаларда жиі қолданылады.

In mathematics, a parabola is a plane curve which is mirror symmetrical and is approximately U shaped. It fits several superficially different mathematical descriptions, which can all be proved to define exactly the same curves. One description of a parabola involves a point (the focus) and a line (the directrix). The focus does not lie on the directrix. The parabola is the locus of points in that plane that are equidistant from the directrix and the focus. Another description of a parabola is as a conic section, created from the intersection of a right circular conical surface and a plane parallel to another plane that is tangential to the conical surface. The graph of a quadratic function (with ) is a parabola with its axis parallel to the y axis. Conversely, every such parabola is the graph of a quadratic function. The line perpendicular to the directrix and passing through the focus (that is, the line that splits the parabola through the middle) is called the "axis of symmetry". The point where the parabola intersects its axis of symmetry is called the "vertex" and is the point where the parabola is most sharply curved. The distance between the vertex and the focus, measured along the axis of symmetry, is the "focal length". The "latus rectum" is the chord of the parabola that is parallel to the directrix and passes through the focus. Parabolas can open up, down, left, right, or in some other arbitrary direction. Any parabola can be repositioned and rescaled to fit exactly on any other parabola—that is, all parabolas are geometrically similar. Parabolas have the property that, if they are made of material that reflects light, then light that travels parallel to the axis of symmetry of a parabola and strikes its concave side is reflected to its focus, regardless of where on the parabola the reflection occurs. Conversely, light that originates from a point source at the focus is reflected into a parallel ("collimated") beam, leaving the parabola parallel to the axis of symmetry. The same effects occur with sound and other waves. This reflective property is the basis of many practical uses of parabolas. The parabola has many important applications, from a parabolic antenna or parabolic microphone to automobile headlight reflectors and the design of ballistic missiles. It is frequently used in physics, engineering, and many other areas.

Тарих

Қоңыржай қималар туралы ең ерте белгілі еңбек б.з.б. 4 ғасырда Менахм жасаған. Ол параболаларды пайдаланып, текшені екі еселеу мәселесін шешудің жолын тапты. (Дегенмен, бұл шешім компас пен түзу сызықпен салу талаптарына сай келмейді.) Парабола мен түзу сызық сегментімен қоршалған аумақты, «парабола сегменті» деп атаған Архимед б.з.б. III ғасырдағы «Параболаның квадратурасы» еңбегінде тозу әдісімен есептеген. «Парабола» атауын конус қималарының көптеген қасиеттерін ашқан Аполлонийге байланысты. Бұл «қолдану» дегенді білдіреді, ол «аумақтарды қолдану» түсінігіне сілтеме жасайды, Аполлоний дәлелдегендей, бұл қисықпен байланысты. Параболаның және басқа конус қималарының фокус-директриса қасиеттері Паппусқа тиесілі. Галилей снарядтың траекториясы гравитацияның тұрақты үдеуі салдарынан парабола бойынша жүретінін көрсетті. Параболалық рефлектордың бейне тудыра алатыны туралы идея, рефлекторлық телескоп ойлап табылғанға дейін жақсы белгілі болған. 17 ғасырдың басы мен ортасында Рене Декарт, Марин Мерсен және Джеймс Грегори сияқты көптеген математиктер ұсыныстар жасады. Исаак Ньютон 1668 жылы алғашқы рефлекторлық телескопты жасағанда, жасау қиын болғандықтан параболалық айнаны пайдаланбады, шар тәрізді айнаны таңдады. Параболалық айналар қазіргі заманғы рефлекторлық телескоптарда, спутниктік антенналарда және радар қабылдағыштарында қолданылады.

Бірлік параболасына ұқсастығы

Евклид жазықтығындағы екі нысан бір-біріне ұқсас болады, егер біреуін екіншісіне ұқсастық арқылы түрлендіруге болады, яғни қатаң қозғалыстардың (аудармалар мен айналулар) және біркелкі масштабталулардың кез келген комбинациясы арқылы. Вертексі бар парабола, аударма арқылы, вертексі координаталардың басында болатын параболаға түрлендіріледі. Содан кейін координаталардың басынан айналу, параболаны y осін симметрия осі ретінде қамтитын параболаға түрлендіруге мүмкіндік береді. Сондықтан, парабола қатаң қозғалыс арқылы теңдеуі бар параболаға түрлендіріледі. Мұндай парабола, біркелкі масштабтау арқылы, теңдеуі бар бірлік параболаға түрлендіріледі. Осылайша, кез келген парабола ұқсастық арқылы бірлік параболаға бейнеленеді. Осы нәтижені дәлелдеу үшін ұқсас үшбұрыштарды қолданатын синтетикалық тәсіл де қолданылуы мүмкін. Жалпы нәтиже - екі коникалық қима (қажетті түрде бірдей типте) ұқсас болады, егер және тек қана олардың эксцентриситеті бірдей болса. және педаль қисығы.

Көлбеу жағына түскен жарықтың шағылысуы

Егер жарық сызық бойымен жүрсе, ол симметрия осіне параллель қозғалады және параболаның дөңес жағына E нүктесінде шағылысады. Жоғарыдағы суреттен бұл жарық фокусқа қарама-қарсы, сегменттің созылмасына бойымен тікелей бағытталатыны көрінеді.

Баламалы дәлелдемелер

Жоғарыда келтірілген шағылыстыру және жанаманың екіге бөлу қасиеттерінің дәлелдері есептеулердің әдісін қолданады. Бұл жерде геометриялық дәлел ұсынылған. Осы суретте F – параболаның фокусы, ал T және U – оның директрисасында жатыр. P – параболадағы кез келген нүкте. директрисаға перпендикуляр, ал түзу ∠FPT бұрышын екіге бөледі. Q – параболадағы тағы бір нүкте, директрисаға перпендикуляр. Біз = және = екенін білеміз. Әрине, > , сондықтан > Екіге бөлуші түзудегі барлық нүктелер F және T-ден бірдей қашықтықта, бірақ Q, T-ге қарағанда F-ке жақын. Бұл Q-ның сол жағында екенін білдіреді, яғни фокус сияқты оның дәл сол жағында. Егер Q параболаның басқа жерінде (P нүктесінен басқа) орналасса, онда да солай болады, сондықтан P нүктесінен басқа бүкіл парабола фокус жағында орналасқан. Демек, P нүктесіндегі параболаға жанама түзу болып табылады. Ол ∠FPT бұрышын екіге бөлетіндіктен, бұл жанаманың екіге бөлу қасиетін дәлелдейді. Соңғы абзацтағы логиканы жоғарыдағы шағылыстыру қасиетінің дәлелдерін өзгерту үшін қолдануға болады. Бұл түзудің параболаның E нүктесіндегі жанама екенін дәлелдейді, егер α бұрыштары тең болса. Шағылыстыру қасиеті бұрын көрсетілгендей шығады.

Паскаль теоремасымен байланысты қасиеттер

Парабола шексіздіктегі түзудегі нүктесі бар бұрылмаған проективті кониканың аффиналық бөлігі ретінде қарастырылуы мүмкін, бұл Паскаль теоремасының 5, 4 және 3 нүктелік дегенерацияларының кемінде бір жанасу түзуімен байланысты кониканың қасиеттері болып табылады. Егер осы жанасу түзуін шексіздіктегі түзу ретінде және оның жанасу нүктесін y осінің шексіздіктегі нүктесі ретінде қарастырсақ, парабола үшін үш тұжырым алынады. Параболаның келесі қасиеттері тек ұқсастықтардың инварианттары болып табылатын қосылу, қиылысу, параллель терминдерімен ғана байланысты. Сондықтан, бірлік параболаның кез келген қасиетін теңдеуімен дәлелдеу жеткілікті.

4 нүктелік меншік

Кез келген парабола тиісті координаттар жүйесінде em = 1.5 теңдеуімен сипатталуы мүмкін. text = Параболаның төрт нүктесі болсын және түзуінің түзумен қиылысы, ал түзуінің түзумен қиылысы (суретте көрсетілген). Онда түзуі түзуге параллель. ( және түзулері парабола осіне параллель.) Дәлелдеме: бірлік парабола үшін тікелей есептеу. Қолданылуы: Параболаның 4 нүктелік қасиетін нүктенің құрылысына қолдануға болады, егер және берілген болса. Ескерту: Параболаның 4 нүктелік қасиеті – Паскаль теоремасының 5 нүктелік дегенерациясының аффиндік түрі.

3-нүктелер1-тангенс қасиет

Параболаның үш нүктесі теңдеумен және қисайған түзумен қиылысу нүктесімен, ал қисайған түзумен қиылысу нүктесімен (суретті қараңыз) болсын. Онда нүктедегі жанама сызық түзуге параллель болады ( және түзулері парабола осіне параллель). Дәлелдеме: Бұл бірлік параболасы үшін орындалуы мүмкін. Қысқа есептеу көрсетіп тұр, түзудің еңісі , ол нүктедегі жанама сызықтың еңісіне тең. Қолданылуы: Параболаның 3 нүктелік жанама қасиеті, берілген нүктелерде жанама сызықты салу үшін қолданылуы мүмкін. Ескерту: Параболаның 3 нүктелік 1 жанама қасиеті – Паскаль теоремасының 4 нүктелік дегенерациясының аффиндік түрі.

2-нүктелер2-тангенстер қасиеттері

Параболаның екі нүктесі теңдеумен берілсін, ал нүктесіндегі жанаманың түзумен қиылысы болсын, ал нүктесіндегі жанаманың түзумен қиылысы болсын (суретті қараңыз). Онда секант түзуіне параллель болады ( және түзулері парабола осіне параллель). Дәлел: бірлік парабола үшін тікелей есептеу. Қолдану: Егер және жанамасы берілген болса, 2 нүкте – 2 жанама қасиетін параболаның нүктесіндегі жанамасын салу үшін пайдалануға болады. 1-ескерту: Параболаның 2 нүкте – 2 жанама қасиеті – Паскаль теоремасының 3 нүктелік дегенерациясының аффиндік түрі. 2-ескерту: Параболаның 2 нүкте – 2 жанама қасиетін, 2 нүкте мен 2 жанамаға қатысы бар, бірақ Паскаль теоремасымен байланысы жоқ, басқа қасиеттерімен шатастырмау керек.

Latus rectum-ға қатысты екі тангенстік қасиет

Симметрия осі параболаны Q нүктесінде қиып өтсін, ал фокусты F нүктесі деп, оның Q нүктесінен қашықтығын f арқылы белгілейік. Фокус арқылы симметрия осіне перпендикуляр түзу параболаны T нүктесінде қиып өтсін. Онда (1) F нүктесінен T нүктесіне дейінгі қашықтық 2f-ке тең, және (2) T нүктесіндегі параболаға жүргізілген жанама симметрия осін 45° бұрышпен қиып өтеді.

Ортоптиялық қасиет

Егер параболаға жүргізілген екі жанасушы бір-біріне перпендикуляр болса, онда олар директрисада қиылысады. Керісінше, директрисада қиылысатын екі жанасушы перпендикуляр болады. Яғни, директрисаның кез келген нүктесінен қарағанда, бүкіл парабола тік бұрыш құрайды.

Ламберт теоремасы

Параболаға жүргізілген үш жанама үшбұрыш құрайды. Ламберт теоремасы бойынша, параболаның фокусы осы үшбұрыштың сырттай шеңберінде жатады.

Аккордтың параметрлері бойынша есептелген фокустық ұзындығы

Егер бір хорда параболаны симметрия осіне перпендикуляр қиып өтсе, онда хорданың параболамен қиылысқан нүктелері арасындағы ұзындығы c, ал параболаның төбесінен хордаға дейінгі арақашықтық (симметрия осі бойымен өлшенген) d болсын. Параболаның фокустық қашықтығы f формуласымен беріледі.

Парабола мен хордтың арасындағы аумақ

Парабола мен хорданың арасындағы аумақ (суретті қараңыз) оны қоршап тұрған параллелограмның аумағының үштен екісіне тең. Паралелограмның бір жағы – хорда, ал қарсы жағы – параболаға жүргізілген жанама. Басқа параллель жақтарының еңісі аумаққа әсер етпейді. Көбінесе, мысалы, олар параболаның симметрия осіне параллель жүргізіледі, бірақ бұл ретсіз. Осы теоремаға эквивалентті, бірақ егжей-тегжейлі ақпараты өзгеше теорема Архимед б.з.д. III ғасырында дәлелдеген. Ол параллелограмның орнына үшбұрыштардың ауданын қолданған. «Параболаның квадратурасы» еңбегін қараңыз. Егер хорданың ұзындығы b болса және параболаның симметрия осіне перпендикуляр болса, ал параболаның төбесінен хордаға дейінгі перпендикуляр қашықтық h болса, онда параллелограм – b және h қабырғалары бар тіктөртбұрыш. Сондықтан, парабола мен хордамен шектелген парабола сегментінің А ауданы:

Бұл формуланы үшбұрыштың ауданымен салыстыруға болады:
Жалпы жағдайда, қоршалған аумақты келесідей есептеуге болады. Біріншіден, параболаның еңісі хорданың еңісіне тең болатын нүктені табыңыз. Бұл интегралдық есептеу арқылы немесе параболаның симметрия осіне параллель және хорданың ортасынан өтетін түзуді пайдаланып жасалуы мүмкін. Қажетті нүкте – осы түзудің параболамен қиылысқан жері. Содан кейін, «Нүктеден түзуға дейінгі арақашықтық» формуласын қолданып, осы нүктеден хордаға дейінгі перпендикуляр қашықтықты есептеңіз. Бұл шаманы хорданың ұзындығына көбейтіп, параллелограмның ауданын, содан кейін 2/3-ке көбейтіп, қажетті қоршалған аумақты табыңыз.

Ақылдылардың ортасы мен соңы туралы түсінік

Жоғарыда айтылғандардың салдары ретінде, егер параболада бірнеше параллель хорда болса, олардың орта нүктелерінің бәрі симметрия осіне параллель түзуде жатады. Егер параболаға осы хордалардың кез келгенінің ұштарынан жанамалар жүргізілсе, екі жанама осы симметрия осіне параллель түзуде қиылысады (парабола осінің бағытын қараңыз).

Қиғаштың ұзындығы

Егер X нүктесі ошақ қашықтығы f болатын параболада орналасқан болса, ал p – X нүктесінен параболаның симметрия осіне перпендикуляр қашықтық болса, онда X нүктесінде аяқталатын парабола доғаларының ұзындығы f және p арқылы төмендегідей есептелуі мүмкін, егер олардың барлығы бірдей өлшем бірліктерінде берілген болса. Бұл s шамасы – X нүктесі мен парабола тобы арасындағы доғаның ұзындығы. X нүктесі мен параболаның екінші жағындағы симметриялы қарама-қарсы нүкте арасындағы доғаның ұзындығы 2s-қа тең. P перпендикуляр қашықтығына оң немесе теріс таңба беру арқылы X нүктесі симметрия осінің қай жағында орналасқанын көрсетуге болады. P таңбасын өзгерту h және s таңбаларын өзгертеді, бірақ олардың абсолюттік мәндерін өзгертпейді. Егер бұл шамалар таңбаланған болса, параболадағы кез келген екі нүкте арасындағы доғаның ұзындығы әрқашан олардың s мәндерінің айырмасымен көрсетіледі. Есептеуді логарифмдердің қасиеттерін пайдалану арқылы жеңілдетуге болады: мысалы, параболалық рефлектор немесе параболалық ойыс жасау үшін қажетті материалдың көлемін есептеуде бұл пайдалы болуы мүмкін. Бұл есептеу кез келген ориентациядағы парабола үшін қолданылуы мүмкін. Бұл симметрия осінің y осіне параллель болу жағдайымен ғана шектелмейді.

Ғарыштағы парабола

Бұл бөлімдегі параболаның анықтамасы, егер кеңістікте векторларға рұқсат етілсе, тіпті кеңістікте де кез келген параболаның параметрлік түрде берілуін қамтамасыз етеді.

Сандық интеграция

Сандық интеграцияның бір әдісінде функцияның графигі парабола доғаларымен алмастырылады және парабола доғалары интегралданады. Парабола үш нүкте арқылы анықталады. Бір доғаның формуласы:

Бұл әдіс Симпсон ережесі деп аталады.

Трисектрикс ретінде

Парабола трисектрикс ретінде қолданылуы мүмкін, яғни ол кез келген бұрышты тура сызық пен циркуль көмегімен дәл үш бөлікке бөлуге мүмкіндік береді. Бұл, тек циркуль мен тура сызықпен бұрышты үш бөлікке бөлудің мүмкін еместігіне қайшы келмейді, себебі циркуль мен тура сызықпен салудың классикалық ережелерінде параболаларды қолдануға рұқсат етілмейді. Бұрышты үш бөлікке бөлу үшін оның бір қабырғасын x осіне орналастырыңыз, осылайша төбесі координаттар жүйесінің нүктесінде болады. Координаттар жүйесінде сондай-ақ парабола да бар. Радиусы 1-ге тең бірлік шеңбер, координаттар нүктесінен өтеді және бұрыштың екінші қабырғасын қиып өтеді, ал осы қиылысу нүктесінен y осіне перпендикуляр түсіріңіз. Осы перпендикулярдың ортасынан y осіне параллель түзу және бірлік шеңбердегі жанама сызық параболамен қиылысады. Координаттар нүктесінен өтетін радиусы бар шеңбер параболамен қиылысады. Координаттар нүктесінен x осіне түсірілген перпендикуляр бірлік шеңберді қиып өтеді, және бұл нүкте бұрыштың үштен бір бөлігін құрайды. Бұл салудың дұрыстығын көрсету үшін, координаттар нүктесінен өтетін шеңбер мен парабола берген теңдеулер жүйесін шешу жеткілікті. Осы теңдеулер жүйесін шешу кубтық теңдеуге әкеледі. Үштік бұрыш формуласы осы кубтық теңдеудің шешімі екенін көрсетеді. Бұл трисекция Рене Декартқа қатысты, ол оны 1637 жылы жарық көрген «La Géométrie» кітабында сипаттаған.

Физикалық әлемде

Табиғатта параболалар мен параболоидтардың жуықтамалары көптеген әртүрлі жағдайларда кездеседі. Физика тарихында параболаның ең белгілі мысалы — ауа кедергісі жоқ біркелкі гравитациялық өрістің әсерімен қозғалатын бөлшектің немесе дененің траекториясы (мысалы, ауадағы шардың ұшуы, ауаның үйкелісін ескермейтін). Параболалық траекторияны 17 ғасырдың басында Галилей тәжірибелер арқылы анықтаған, ал кейіннен «Екі жаңа ғылым туралы диалог» атты кітабында математикалық тұрғыдан дәлелдеген. Кеңістікте созылған нысандар үшін, мысалы, трамплиннен секіріп түсетін адам, нысан айналғанда күрделі қозғалыс жасайды, бірақ нысанның массалық орталығы бәрібір парабола бойымен қозғалады. Физикалық әлемдегі барлық жағдайлардағыдай, траектория әрқашан параболаның жуықтамасы болып табылады. Мысалы, ауа кедергісі пішіннің бұзылуына әкеледі, бірақ төмен жылдамдықтарда пішін параболаға жақын болады. Жоғары жылдамдықтарда, мысалы, баллистикада пішін күрт өзгереді және параболаға ұқсамайды. Сэр Исаак Ньютонның 17-18 ғасырларда сипаттаған физика теорияларына сәйкес, параболалар пайда болатын тағы бір гипотетикалық жағдай — екі дененің орбитасы, мысалы, кішкентай планетоидтың немесе басқа нысанның Күннің гравитациялық әсерімен қозғалуы. Параболалық орбиталар табиғатта кездеспейді; қарапайым орбиталар көбінесе гиперболалар немесе эллипстер болып келеді. Параболалық орбита — бұл екі идеалды орбита түрінің аралық, шекті жағдайы. Параболалық орбитамен қозғалатын нысан айналатын нысанның қашу жылдамдығымен қозғалады; эллипстік немесе гиперболалық орбитадағы нысандар қашу жылдамдығынан кем немесе артық жылдамдықпен қозғалады. Ұзақ мерзімді кометалар Күнге жақын қозғалғанда, Күннің қашу жылдамдығына жақын жылдамдықпен қозғалады, сондықтан олардың жолдары шамамен параболалық болады. Параболаның жуықтамасы қарапайым аспалы көпірдегі негізгі кабельдердің пішінінде де кездеседі. Аспалы көпірдің тізбектерінің қисығы әрқашан парабола мен катенария арасындағы аралық қисық болып табылады, бірақ практикада қисық жүктеме салмағының (яғни жолдың) кабельдерден әлдеқайда үлкен болғандықтан, көбінесе параболаға жақын болады, ал есептеулерде параболаның екінші дәрежелі полиномиялық формуласы қолданылады. Біркелкі жүктеме әсерінен (мысалы, көлденең ілініскен платформа) кабельдің пішіні катенариядан параболаға қарай деформацияланады (қараңыз). Эластикалық емес тізбекке қарағанда, нөлдік еріксіз ұзындығы бар еркін серіппе парабола пішінін алады. Аспалы көпір кабельдері, идеалды жағдайда, тек кернеуде болады, бүгілу сияқты басқа күштерді қабылдамайды. Сол сияқты, параболалық аркалардың құрылымы таза қысылу күшіне төтеп береді. Параболоидтар да бірнеше физикалық жағдайларда кездеседі. Ең танымал мысалы — параболалық рефлектор, ол жарықты немесе басқа электромагниттік сәулеленуді ортақ фокус нүктесіне шоғырландыратын немесе керісінше, фокустағы нүктелік көзден жарықты параллель сәулеге біріктіретін айна немесе ұқсас рефлекторлық құрылғы. Параболалық рефлектор принципі б.з.д. 3 ғасырда геометр Архимед ашқан болуы мүмкін, ол, күмәнді аңызға сәйкес, Сиракузаны римдік флоттан қорғау үшін күн сәулелерін шоғырландырып, римдік кемелердің палубаларын өртеуге арналған параболалық айналарды жасаған. Бұл принцип 17 ғасырда телескоптарға қолданылды. Бүгінде параболоидты рефлекторларды микротолқынды және спутниктік антенналарды қабылдау және тарату үшін әлемнің көп бөлігінде кездестіруге болады. Параболалық микрофондарда дыбысты микрофонға шоғырландыру үшін параболалық рефлектор қолданылады, бұл оған жоғары бағыттылық сипаттама береді. Параболоидтар сондай-ақ контейнерге салынған және орталық осінің айналасында айналдырылған сұйықтықтың бетінде де байқалады. Бұл жағдайда центробегтік күш сұйықтықты контейнердің қабырғаларына көтеріп, параболалық бетті қалыптастырады. Бұл сұйық айна телескопының принципі. Эксперименттер үшін салмақсыздық жағдайын жасау үшін қолданылатын ұшақтар, мысалы, НАСА-ның «Құсу кометасы», еркін құлаудағы нысанның траекториясын анықтау үшін қысқа мерзімге тік параболалық траекторияны ұстанады, бұл көптеген мақсаттар үшін нөлдік гравитацияның әсерін тудырады.

In nature, approximations of parabolas and paraboloids are found in many diverse situations. The best known instance of the parabola in the history of physics is the trajectory of a particle or body in motion under the influence of a uniform gravitational field without air resistance (for instance, a ball flying through the air, neglecting air friction). The parabolic trajectory of projectiles was discovered experimentally in the early 17th century by Galileo, who performed experiments with balls rolling on inclined planes. He also later proved this mathematically in his book Dialogue Concerning Two New Sciences. For objects extended in space, such as a diver jumping from a diving board, the object itself follows a complex motion as it rotates, but the center of mass of the object nevertheless moves along a parabola. As in all cases in the physical world, the trajectory is always an approximation of a parabola. The presence of air resistance, for example, always distorts the shape, although at low speeds, the shape is a good approximation of a parabola. At higher speeds, such as in ballistics, the shape is highly distorted and does not resemble a parabola. Another hypothetical situation in which parabolas might arise, according to the theories of physics described in the 17th and 18th centuries by Sir Isaac Newton, is in two body orbits, for example, the path of a small planetoid or other object under the influence of the gravitation of the Sun. Parabolic orbits do not occur in nature; simple orbits most commonly resemble hyperbolas or ellipses. The parabolic orbit is the degenerate intermediate case between those two types of ideal orbit. An object following a parabolic orbit would travel at the exact escape velocity of the object it orbits; objects in elliptical or hyperbolic orbits travel at less or greater than escape velocity, respectively. Long period comets travel close to the Sun's escape velocity while they are moving through the inner Solar system, so their paths are nearly parabolic. Approximations of parabolas are also found in the shape of the main cables on a simple suspension bridge. The curve of the chains of a suspension bridge is always an intermediate curve between a parabola and a catenary, but in practice the curve is generally nearer to a parabola due to the weight of the load (i. e. the road) being much larger than the cables themselves, and in calculations the second degree polynomial formula of a parabola is used. Under the influence of a uniform load (such as a horizontal suspended deck), the otherwise catenary shaped cable is deformed toward a parabola (see ). Unlike an inelastic chain, a freely hanging spring of zero unstressed length takes the shape of a parabola. Suspension bridge cables are, ideally, purely in tension, without having to carry other forces, for example, bending. Similarly, the structures of parabolic arches are purely in compression. Paraboloids arise in several physical situations as well. The best known instance is the parabolic reflector, which is a mirror or similar reflective device that concentrates light or other forms of electromagnetic radiation to a common focal point, or conversely, collimates light from a point source at the focus into a parallel beam. The principle of the parabolic reflector may have been discovered in the 3rd century BC by the geometer Archimedes, who, according to a dubious legend, constructed parabolic mirrors to defend Syracuse against the Roman fleet, by concentrating the sun's rays to set fire to the decks of the Roman ships. The principle was applied to telescopes in the 17th century. Today, paraboloid reflectors can be commonly observed throughout much of the world in microwave and satellite dish receiving and transmitting antennas. In parabolic microphones, a parabolic reflector is used to focus sound onto a microphone, giving it highly directional performance. Paraboloids are also observed in the surface of a liquid confined to a container and rotated around the central axis. In this case, the centrifugal force causes the liquid to climb the walls of the container, forming a parabolic surface. This is the principle behind the liquid mirror telescope. Aircraft used to create a weightless state for purposes of experimentation, such as NASA's "Vomit Comet", follow a vertically parabolic trajectory for brief periods in order to trace the course of an object in free fall, which produces the same effect as zero gravity for most purposes.