Введение

Конус — это трехмерная геометрическая фигура, плавно сужающаяся от плоского основания (часто, хотя и не обязательно круглого) до точки, называемой вершиной. Конус образуется набором отрезков прямой, полупрямых или прямых, соединяющих общую точку — вершину — со всеми точками основания, лежащего в плоскости, не содержащей вершину. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом, любой одномерной квадратичной формой в плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любой из вышеперечисленных, включая все точки, заключенные внутри фигуры. Если заключенные точки включаются в основание, конус является объемным телом; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае объемного тела граница, образованная этими линиями или их частями, называется боковой поверхностью; если боковая поверхность неограничена, это коническая поверхность. В случае отрезков прямой конус не выходит за пределы основания, в то время как в случае полупрямых он простирается бесконечно далеко. В случае прямых конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом. Каждая половина двойного конуса, расположенная по одну сторону от вершины, называется наппой. Ось конуса — это прямая линия (если она существует), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) обладает круговой симметрией. В элементарной геометрии обычно предполагается, что конусы являются прямыми круговыми, где «круговой» означает, что основание — это круг, а «прямой» — что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. Если конус прямой круговой, то пересечение плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением. Однако в общем случае основание может иметь любую форму, а вершина может располагаться в любом месте (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь, и что вершина лежит вне плоскости основания). В отличие от прямых конусов, существуют наклонные конусы, у которых ось проходит через центр основания не перпендикулярно. Конус с многоугольным основанием называется пирамидой. В зависимости от контекста, термин «конус» может также обозначать конкретно выпуклый конус или проективный конус. Конусы также могут быть обобщены на более высокие размерности.

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется "директрисой", а каждый из отрезков линии между директрисой и вершиной является "генератрисой" или "образующей" боковой поверхности. (Для связи между этим значением термина "директриса" и директрисой конического сечения см. сферы Данделина.) "Радиус основания" круглого конуса – это радиус его основания; часто это просто называют радиусом конуса. Апертура прямого кругового конуса – это максимальный угол между двумя образующими; если образующая образует угол θ с осью, то апертура равна 2θ. В оптике угол θ называется полууглом конуса, чтобы отличать его от апертуры. Конус, у которого область, включающая его вершину, отсечена плоскостью, называется усечённым конусом; если плоскость сечения параллельна основанию конуса, он называется усечённой пирамидой (фрустумом). В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью математического анализа – она, вплоть до масштабирования, является интегралом. Без использования математического анализа формула может быть доказана путём сравнения конуса с пирамидой и применения принципа Кавальери – в частности, сравнивая конус с (вертикально масштабированной) правильной квадратной пирамидой, которая составляет одну треть куба. Эту формулу нельзя доказать без использования таких бесконечно малых аргументов – в отличие от двухмерных формул для площади многогранников, хотя и схожей с площадью круга – и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления математического анализа, когда древние греки использовали метод исчерпания. Это, по сути, содержание третьей проблемы Гильберта – точнее, не все полиэдрические пирамиды конгруэнтны по ножницам (их можно разрезать на конечное число частей и перестроить в другую), и, следовательно, объём нельзя вычислить исключительно с помощью аргумента разложения.

Центр массы

Центр масс конуса с однородной плотностью расположен на четверти расстояния от центра основания до вершины, на прямой, соединяющей эти точки.

Высота наклона

Высота конуса (или образующая) прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки на окружности его основания до вершины по поверхности конуса. Она вычисляется по формуле , где — радиус основания, а — высота конуса. Это можно доказать, используя теорему Пифагора.

Площадь поверхности

Боковая поверхность прямого кругового конуса равна πrl, где r — радиус основания конуса, а l — образующая конуса. Это аффинное преобразование прямого кругового единичного конуса с уравнением x² + y² = z². Из того факта, что аффинное преобразование конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипса, параболы и т.д.), следует: любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением. Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно, в общем случае (см. круговое сечение). Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой является сферическим коническим сечением.

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится в бесконечности. Интуитивно, если фиксировать основание и брать предел при стремлении вершины к бесконечности, получается цилиндр, при этом угол образующей увеличивается как арктангенс, в пределе формируя прямой угол. Это полезно при определении вырожденных конических сечений, для которых необходимо рассматривать цилиндрические конические сечения. Согласно Г. Б. Халстеду, конус генерируется аналогично коническому сечению Штайнера, но с использованием проективности и осевых пучков (не находящихся в перспективе), а не проективных рядов, применяемых для конического сечения Штайнера: «Если два копунктуальных не коллинеарных осевых пучка проективны, но не перспективны, то точки пересечения соответствующих плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка» или «конус»».

Обобщения

Определение конуса может быть расширено на более высокие измерения; см. выпуклый конус. В этом случае говорят, что выпуклое множество C в реальном векторном пространстве является конусом (с вершиной в начале координат), если для любого вектора x из C и любого неотрицательного действительного числа a, вектор ax также принадлежит C. В этом контексте аналоги круговых конусов обычно не обладают какими-либо особыми свойствами; на самом деле часто представляют интерес полиэдрические конусы. Еще более общим понятием является топологический конус, который определяется в произвольных топологических пространствах.