Кіріспе
Математикада, әсіресе операторлар теориясында және C* алгебра теориясында, үздіксіз функционалдық есептеу – үздіксіз функцияны C* алгебраның нормальды элементтеріне қолдануға мүмкіндік беретін функционалдық есептеу. Күрделі теорияда осы функционалдық есептеудің қолданылуы соншалықты табиғи, олар көбінесе тіпті еске алынбайды. C* алгебрасы мен жалпы Банах алгебрасын ажырататын нәрсе – үздіксіз функционалдық есептеу деп айтуға болады, себебі Банах алгебрасында тек голоморфты функционалдық есептеу ғана бар.
Мотивация
Егер біреу Банах алгебрасының элементі спектріндегі көпмүшелер үшін жаратылыс функционалдық есептеуді спектрдегі үздіксіз функциялар үшін функционалдық есептеуге кеңейткісі келсе, Стоун-Вейерштрасс теоремасына сәйкес үздіксіз функцияны көпмүшелермен жуықтау, элементті осы көпмүшелерге қою және осы элементтер тізбегінің жинақтылығын көрсету түсінікті болып көрінеді. Үздіксіз функциялар және арқылы жуықталады, яғни түріндегі көпмүшелермен. Мұнда – кешендік конъюгацияны білдіреді, ол – инволюция. Егер – үздіксіз функцияға біркелкі жинақталатын көпмүшелер тізбегі болса, онда тізбектің элементке жинақтылығы қамтамасыз етілуі керек. Осы жинақтылық мәселесін егжей-тегжейлі талдау C* алгебраларына жүгіну қажеттігін көрсетеді. Бұл ойлар үздіксіз функционалдық есептеу деп аталатын нәрсеге алып келеді.
To be able to insert in place of in this kind of polynomial, Banach * algebras are considered, i. e. Banach algebras that also have an involution *, and is inserted in place of In order to obtain a homomorphism , a restriction to normal elements, i. e. elements with , is necessary, as the polynomial ring is commutative. If is a sequence of polynomials that converges uniformly on to a continuous function , the convergence of the sequence in to an element must be ensured. A detailed analysis of this convergence problem shows that it is necessary to resort to C* algebras. These considerations lead to the so called continuous functional calculus.
Біртұтас элементтер
Егер C* алгебрасының бірлік элементі бар өзіндік-қосалқы элементі болса, онда ол унитар болады, мұнда қиял бірлігін білдіреді. Керісінше, егер унитар элемент болса, және спектр бірлік шеңберінің нақты қосалқы жиыны болса, яғни, онда өзіндік-қосалқы элемент бар екендігін білдіреді. Дәлелдеме: ол , себебі өзіндік-қосалқы болғандықтан, онда , яғни функциясы спектрдегі функция болып табылады. Спектрде функционалдық есептеуді қолдансақ, онда , яғни унитар болады. Екінші тұжырым үшін, мұндай бар, сонда функциясы спектрдегі нақты мәнді үздіксіз функция болып табылады, сондықтан ол өзіндік-қосалқы элементті қанағаттандырады.
Proof. It is with , since is self adjoint, it follows that , i. e. is a function on the spectrum of Since , using the functional calculus follows, i. e. is unitary. Since for the other statement there is a , such that the function is a real valued continuous function on the spectrum for , such that is a self adjoint element that satisfies .
Спектрлік ыдырау теоремасы
Болсын, – бірлік C* алгебрасы және – қалыпты элемент. Егер спектр барлық үшін жұптық қиылыспайтын жабық ішкі жиындардан тұрса, яғни, онда барлық үшін келесі қасиеттері бар проекциялар бар:
For the spectrum, holds. The projections commutate with , i. e. The projections are orthogonal, i. e. The sum of the projections is the unit element, i. e.
In particular, there is a decomposition for which holds for all
Proof. Since all are closed, the characteristic functions are continuous on Now let be defined using the continuous functional. As the are pairwise disjoint, and holds and thus the satisfy the claimed properties, as can be seen from the properties of the continuous functional equation. For the last statement, let .
Спектр үшін, . Проекциялар коммутациялайды, яғни, . Проекциялар ортогоналды, яғни, . Проекциялардың қосындысы бірлік элементіне тең, яғни, .
For the spectrum, holds. The projections commutate with , i. e. The projections are orthogonal, i. e. The sum of the projections is the unit element, i. e.
In particular, there is a decomposition for which holds for all
Proof. Since all are closed, the characteristic functions are continuous on Now let be defined using the continuous functional. As the are pairwise disjoint, and holds and thus the satisfy the claimed properties, as can be seen from the properties of the continuous functional equation. For the last statement, let .
Атап айтқанда, барлық үшін орындалатын келесі жіктеме бар: .
For the spectrum, holds. The projections commutate with , i. e. The projections are orthogonal, i. e. The sum of the projections is the unit element, i. e.
In particular, there is a decomposition for which holds for all
Proof. Since all are closed, the characteristic functions are continuous on Now let be defined using the continuous functional. As the are pairwise disjoint, and holds and thus the satisfy the claimed properties, as can be seen from the properties of the continuous functional equation. For the last statement, let .
Дәлелдеме. Барлық жиын жабық болғандықтан, сипаттамалық функциялар үздісіз болады. Енді үздісіз функционал арқылы анықтайық. Жиындар жұптық қиылыспайтындықтан, және орындалады, сондықтан проекциялар талап етілген қасиеттерге ие, бұл үздісіз функционалдық теңдеудің қасиеттерінен көрінеді. Соңғы тұжырым үшін, .
For the spectrum, holds. The projections commutate with , i. e. The projections are orthogonal, i. e. The sum of the projections is the unit element, i. e.
In particular, there is a decomposition for which holds for all
Proof. Since all are closed, the characteristic functions are continuous on Now let be defined using the continuous functional. As the are pairwise disjoint, and holds and thus the satisfy the claimed properties, as can be seen from the properties of the continuous functional equation. For the last statement, let .