Введение

В математике, особенно в теории операторов и теории C*-алгебр, непрерывное функциональное исчисление — это функциональное исчисление, позволяющее применять непрерывную функцию к нормальным элементам C*-алгебры. В продвинутой теории применение этого функционального исчисления настолько естественно, что его часто даже не упоминают. Не будет преувеличением сказать, что непрерывное функциональное исчисление принципиально отличает C*-алгебры от общих банаховых алгебр, в которых существует только голоморфное функциональное исчисление.

Мотивация

Если кто-то хочет расширить естественное функциональное исчисление для полиномов на спектре элемента банаховой алгебры на функциональное исчисление для непрерывных функций на спектре, представляется очевидным приближать непрерывную функцию полиномами согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, подставлять элемент в эти полиномы и доказать, что эта последовательность элементов сходится. Непрерывные функции на спектре приближаются полиномами в , то есть полиномами вида , где обозначает комплексное сопряжение, являющееся инволюцией на .

Чтобы иметь возможность подставлять элемент вместо в такого рода полиноме, рассматриваются банаховы *алгебры, то есть банаховы алгебры, обладающие также инволюцией *, и подставляется вместо . Для получения гомоморфизма необходимо ограничиться нормальными элементами, то есть элементами, удовлетворяющими условию , поскольку полиномиальное кольцо коммутативно. Если является последовательностью полиномов, равномерно сходящейся на спектре к непрерывной функции , необходимо обеспечить сходимость последовательности в банаховой алгебре к элементу. Детальный анализ этой проблемы сходимости показывает, что необходимо обратиться к C*-алгебрам. Эти соображения приводят к так называемому непрерывному функциональному исчислению.

Единые элементы

Если является самосопряжённым элементом C*-алгебры с единичным элементом , то является унитарным, где обозначает мнимую единицу. Обратно, если является унитарным элементом, при условии, что спектр является собственным подмножеством единичной окружности, то есть, существует самосопряжённый элемент такой, что .

Доказательство. Имеем с , поскольку является самосопряжённым, следует, что , то есть является функцией на спектре . Так как , используя функциональный исчисление, получаем , то есть является унитарным. Для обратного утверждения существует такой, что функция является вещественнозначной непрерывной функцией на спектре для , такой что является самосопряжённым элементом, удовлетворяющим .

Теорема спектрального разложения

Пусть $\mathcal{A}$ — унитальная C*-алгебра и $a$ — нормальный элемент. Пусть спектр состоит из попарно непересекающихся замкнутых подмножеств $\sigma_i$ для всех $i$, т.е. $\sigma_i \cap \sigma_j = \emptyset$ при $i \neq j$. Тогда существуют проекции $P_i$, обладающие следующими свойствами для всех $i$:

Для спектра выполняется $\bigcup_i \sigma_i = \sigma(a)$. Проекции коммутируют с $a$, т.е. $P_i a = a P_i$. Проекции ортогональны, т.е. $P_i P_j = 0$ при $i \neq j$. Сумма проекций является единичным элементом, т.е. $\sum_i P_i = 1$.

В частности, существует разложение $a = \sum_i a_i$, для которого $a_i \in P_i \mathcal{A}$ для всех $i$.

Доказательство. Поскольку все $\sigma_i$ замкнуты, характеристические функции $\chi_{\sigma_i}$ непрерывны на $\sigma(a)$. Теперь определим $P_i$ с помощью непрерывного функционала. Поскольку $\sigma_i$ попарно непересекаются, то $\chi_{\sigma_i} \chi_{\sigma_j} = 0$ при $i \neq j$ и, следовательно, $P_i$ удовлетворяют заявленным свойствам, что следует из свойств непрерывного функционального исчисления. Для последнего утверждения, пусть $a_i = P_i a$.