Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
x^a y^b=1 теңдеуіне жалғыз тривиалды оң бүтін сандық шешім 3^2 2^3 болып табылады.
The only nontrivial positive integer solution to x^a y^b equals 1 is 3^2 2^3
Каталанның аликвот тізбегі болжамы
Каталанның Мерсен сандары болжамы
Catalan's aliquot sequence conjecture
Catalan's Mersenne number conjecture
Каталанның болжамы (немесе Михайлеску теоремасы) – математик Эжен Шарль Каталан 1844 жылы ұсынған және 2002 жылы Пред Михайлеску Падерборн университетінде дәлелдеген сандар теориясы бойынша теорема. 23 және 32 сандары – екі толық дәреже (яғни, бірден жоғары көрсеткіштің дәрежесі) болатын натурал сандардың мәндері (8 және 9, сәйкесінше) қатарынан келеді. Теорема бойынша, бұл қатарынан келетін толық дәрежелердің жалғыз жағдайы. Яғни, бұл…
Catalan's conjecture (or Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu at Paderborn University. The integers 23 and 32 are two perfect powers (that is, powers of exponent higher than one) of natural numbers whose values (8 and 9, respectively) are consecutive. The theorem states that this is the only case of two consecutive perfect powers. That is to say, that
Тарих
Мәселенің тарихы кем дегенде Герсонидке дейін жетеді, ол 1343 жылы (x, y) жұбы (2, 3) немесе (3, 2) деп шектелген болжамның ерекше жағдайын дәлелдеді. Каталан болжамын жасағаннан кейін алғашқы маңызды прогресс 1850 жылы Виктор Амеде Лебег b = 2 жағдайын қарастырғанда болды. 1976 жылы Роберт Тийдман Бейкердің трансценденттік теориядағы әдісін қолданып, a және b үшін шек белгіледі, сондай-ақ x және y-ді a және b арқылы шектеуге қатысты бар нәтижелерді пайдаланып, x, y, a, b үшін тиімді жоғарғы шек берді. Мишель Ланжевин шек үшін a мәнін есептеп шығарды, осылайша Каталанның болжамын шекті сандардан басқа барлық жағдайлар үшін шешті. Каталанның болжамын 2002 жылдың сәуір айында Преда Михайлеску дәлелдеді. Дәлел 2004 жылы Journal für die reine und angewandte Mathematik журналында жарияланды. Ол циклотомдық өрістер теориясы мен Галуа модульдерін кеңінен пайдаланады. Дәлелді Юрий Билу Бурбаки семинарында түсіндірді. 2005 жылы Михайлеску қарапайымдалған дәлелді жариялады.
The history of the problem dates back at least to Gersonides, who proved a special case of the conjecture in 1343 where (x, y) was restricted to be (2, 3) or (3, 2). The first significant progress after Catalan made his conjecture came in 1850 when Victor Amédée Lebesgue dealt with the case b = 2. In 1976, Robert Tijdeman applied Baker's method in transcendence theory to establish a bound on a,b and used existing results bounding x,y in terms of a, b to give an effective upper bound for x,y,a,b. Michel Langevin computed a value of for the bound, resolving Catalan's conjecture for all but a finite number of cases. Catalan's conjecture was proven by Preda Mihăilescu in April 2002. The proof was published in the Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. It makes extensive use of the theory of cyclotomic fields and Galois modules. An exposition of the proof was given by Yuri Bilu in the Séminaire Bourbaki. In 2005, Mihăilescu published a simplified proof.