Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Единственное нетривиальное положительное целое решение уравнения x^a y^b = 1 – это 3^2 2^3.
The only nontrivial positive integer solution to x^a y^b equals 1 is 3^2 2^3
Гипотеза Каталана об аликвотной последовательности
Гипотеза Каталана о числе Мерсенна
Catalan's aliquot sequence conjecture
Catalan's Mersenne number conjecture
Гипотеза Каталана (или теорема Михайлеску) — это теорема в теории чисел, сформулированная математиком Эженом Шарлем Каталоном в 1844 году и доказанная в 2002 году Предой Михайлеску в Университете Падерборна. Числа 23 и 32 являются двумя совершенными степенями (то есть степенями с показателем больше единицы) натуральных чисел, значения которых (8 и 9 соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных совершенных степеней. Другими словами, что
Catalan's conjecture (or Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu at Paderborn University. The integers 23 and 32 are two perfect powers (that is, powers of exponent higher than one) of natural numbers whose values (8 and 9, respectively) are consecutive. The theorem states that this is the only case of two consecutive perfect powers. That is to say, that
История
История проблемы восходит как минимум к Герсониду, который в 1343 году доказал частный случай гипотезы, ограничивая значения (x, y) парами (2, 3) или (3, 2). Первый существенный прогресс после выдвижения гипотезы Каталана был достигнут в 1850 году, когда Виктор Амеде Лебег исследовал случай b = 2. В 1976 году Роберт Тидеман применил метод Бейкера из теории трансцендентности для получения оценки для a и b, а также использовал известные результаты, ограничивающие x и y через a и b, чтобы установить эффективную верхнюю границу для x, y, a и b. Мишель Ланжевин вычислил значение для этой границы, решив гипотезу Каталана для всех случаев, кроме конечного числа. Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik в 2004 году. В доказательстве широко используется теория циклотомических полей и модулей Галуа. Юрий Билу представил изложение доказательства на Семинаре Бурбаки. В 2005 году Михайлеску опубликовал упрощенное доказательство.
The history of the problem dates back at least to Gersonides, who proved a special case of the conjecture in 1343 where (x, y) was restricted to be (2, 3) or (3, 2). The first significant progress after Catalan made his conjecture came in 1850 when Victor Amédée Lebesgue dealt with the case b = 2. In 1976, Robert Tijdeman applied Baker's method in transcendence theory to establish a bound on a,b and used existing results bounding x,y in terms of a, b to give an effective upper bound for x,y,a,b. Michel Langevin computed a value of for the bound, resolving Catalan's conjecture for all but a finite number of cases. Catalan's conjecture was proven by Preda Mihăilescu in April 2002. The proof was published in the Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. It makes extensive use of the theory of cyclotomic fields and Galois modules. An exposition of the proof was given by Yuri Bilu in the Séminaire Bourbaki. In 2005, Mihăilescu published a simplified proof.