Математикадағы топтар теориясы: топтар санаттары, гомоморфизмдер, ұмыту функторлары (M, U) және олардың қосымшалары (I, K) туралы ақпарат. Топтарды зерттеңіз!
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Grp (немесе Gp) санаты нысандар ретінде барлық топтар сыныбын, ал морфизмдер ретінде топтық гомоморфизмдерді қамтиды. Сондықтан, бұл нақты санаты болып табылады. Осы санатты зерттеу топтар теориясы деп аталады.
In mathematics, the category Grp (or Gp) has the class of all groups for objects and group homomorphisms for morphisms. As such, it is a concrete category. The study of this category is known as group theory.
Басқа санаттармен қатынасы
Grp-ден екі ұмытылмалы функтор бар, M: Grp → Mon топтардан моноидтарға және U: Grp → Жиынтықтарға топтардан. M-нің екі жалғауы бар: оңнан, I: Mon→Grp, және солдан, K: Mon→Grp. I: Mon→Grp – әрбір моноидты инвертируемый элементтердің субмоноидіне жіберуші функтор, ал K: Mon→Grp – әрбір моноидты сол моноидтың Гротендик тобына жіберуші функтор. Ұмытылмалы функтор U: Grp → Жиынтықтардың сол жақ адоюнты KF: Set→Mon→Grp композициясы арқылы беріледі, мұнда F – еркін функтор; бұл функтор әрбір S жиынына S-тің еркін тобын қосады.
There are two forgetful functors from Grp, M: Grp → Mon from groups to monoids and U: Grp → Set from groups to sets. M has two adjoints: one right, I: Mon→Grp, and one left, K: Mon→Grp. I: Mon→Grp is the functor sending every monoid to the submonoid of invertible elements and K: Mon→Grp the functor sending every monoid to the Grothendieck group of that monoid. The forgetful functor U: Grp → Set has a left adjoint given by the composite KF: Set→Mon→Grp, where F is the free functor; this functor assigns to every set S the free group on S.
Категориялық қасиеттер
Grp-дегі мономорфизмдер дәл инъективті гомоморфизмдер, эпиморфизмдер дәл сюръективті гомоморфизмдер, ал изоморфизмдер дәл биективті гомоморфизмдер болып табылады. Grp санаты толық және ко-толық. Grp санатындағы категориялық теориялық көбейтінді – топтардың тікелей көбейтіндісі, ал Grp санатындағы категориялық теориялық ко-көбейтінді – топтардың еркін көбейтіндісі. Grp санатындағы нөлдік объектілер – тривиальды топтар (тек бірлік элементтен тұрады). Grp-дегі кез келген f: G → H морфизмінің категориялық теориялық ядросы (ker f = {x ∈ G | f(x) = e} алгебралық ядросымен беріледі) және сонымен қатар категориялық теориялық кокернелі (H-дегі f(G)-нің нормаль жабылуы бойынша H-нің фактор тобымен беріледі) бар. Абельдік санаттардан айырмашылығы, Grp-дегі әрбір мономорфизмнің оның кокернелінің ядросы болатыны рас емес.
The monomorphisms in Grp are precisely the injective homomorphisms, the epimorphisms are precisely the surjective homomorphisms, and the isomorphisms are precisely the bijective homomorphisms. The category Grp is both complete and co complete. The category theoretical product in Grp is just the direct product of groups while the category theoretical coproduct in Grp is the free product of groups. The zero objects in Grp are the trivial groups (consisting of just an identity element). Every morphism f : G → H in Grp has a category theoretic kernel (given by the ordinary kernel of algebra ker f = {x in G | f(x) = e}), and also a category theoretic cokernel (given by the factor group of H by the normal closure of f(G) in H). Unlike in abelian categories, it is not true that every monomorphism in Grp is the kernel of its cokernel.
Қосымша емес, сондықтан абельдік емес
Абельдік топтар санаты, Ab, Grp толық кіші санаты болып табылады. Ab — абельдік санат, бірақ Grp — емес. Шындығында, Grp тіпті қосымша санат емес, себебі екі топтық гомоморфизмнің «қосындысын» анықтаудың табиғи жолы жоқ. Бұған дәлел мынадай: үшінші реттік S3 симметриялық тобынан өзіне дейінгі морфизмдер жиынында он элемент бар: z элементі, оның E-нің кез келген элементімен екі жағынан да көбейтілгенде z болады (әр элементті бірлікке жіберу гомоморфизмі), үш элемент, олардың бір белгілі жағынан көбейтілгенде нәтижесі әрқашан өзі болады (екінші реттік үш кіші топқа проекциялар) және алты автоморфизм. Егер Grp қосымша санат болса, онда он элементтен тұратын E жиыны сақина болар еді. Кез келген сақинада нөлдік элемент сақинадағы барлық x үшін 0x=x0=0 қасиетімен ерекшеленеді, сондықтан z жиыны E-нің нөлдік элементі болуы керек. Алайда, E жиынында z-ға көбейтілгенде нөлдік элементке тең болатын екі нөлдік емес элемент жоқ, сондықтан бұл шекті сақинада нөлдік бөлгіштер болмайды. Нөлдік бөлгіштері жоқ шекті сақина — Уэддерберн теоремасы бойынша өріс, бірақ он элементі бар өріс жоқ, өйткені кез келген шекті өрістің реті жай санның дәрежесі болады.
The category of abelian groups, Ab, is a full subcategory of Grp. Ab is an abelian category, but Grp is not. Indeed, Grp isn't even an additive category, because there is no natural way to define the "sum" of two group homomorphisms. A proof of this is as follows: The set of morphisms from the symmetric group S3 of order three to itself, , has ten elements: an element z whose product on either side with every element of E is z (the homomorphism sending every element to the identity), three elements such that their product on one fixed side is always itself (the projections onto the three subgroups of order two), and six automorphisms. If Grp were an additive category, then this set E of ten elements would be a ring. In any ring, the zero element is singled out by the property that 0x=x0=0 for all x in the ring, and so z would have to be the zero of E. However, there are no two nonzero elements of E whose product is z, so this finite ring would have no zero divisors. A finite ring with no zero divisors is a field by Wedderburn's little theorem, but there is no field with ten elements because every finite field has for its order, the power of a prime.
Дәл реті
Дәл тізбек ұғымы Grp-де мағыналы, және Абельдік санаттар теориясынан алынған кейбір нәтижелер, мысалы тоғыз леммасы, бес леммасы және олардың салдары Grp-де орындалады. Grp – тұрақты категория.
The notion of exact sequence is meaningful in Grp, and some results from the theory of abelian categories, such as the nine lemma, the five lemma, and their consequences hold true in Grp. Grp is a regular category.