Введение

В математике категория Grp (или Gp) имеет в качестве объектов класс всех групп, а в качестве морфизмов — групповые гомоморфизмы. Таким образом, это конкретная категория. Изучение этой категории известно как теория групп.

Отношение к другим категориям

Существует два забывчивых функтора из Grp: M: Grp → Mon из групп в моноиды и U: Grp → Set из групп в множества. У M есть два сопряженных функтора: один правый, I: Mon→Grp, и один левый, K: Mon→Grp. Функтор I: Mon→Grp отображает каждый моноид в подмоноид обратимых элементов, а функтор K: Mon→Grp отображает каждый моноид в группу Гротендика этого моноида. Забывчивый функтор U: Grp → Set имеет левый сопряженный функтор, заданный композицией KF: Set→Mon→Grp, где F — свободный функтор; этот функтор сопоставляет каждому множеству S свободную группу, порожденную S.

Категорические свойства

Мономорфизмы в Grp — это ровно инъективные гомоморфизмы, эпиморфизмы — ровно сюръективные гомоморфизмы, а изоморфизмы — ровно биективные гомоморфизмы. Категория Grp является как полной, так и кополной. Категорическое произведение в Grp — это просто прямое произведение групп, а категорическое копроизведение в Grp — свободное произведение групп. Нулевые объекты в Grp — это тривиальные группы (состоящие только из единичного элемента). Каждый морфизм f : G → H в Grp имеет категорическое ядро (заданное обычным алгебраическим ядром ker f = {x ∈ G | f(x) = e}), а также категорическое коядро (заданное фактор-группой H по нормальному замыканию f(G) в H). В отличие от абелевых категорий, неверно, что каждый мономорфизм в Grp является ядром своего коядра.

Не аддитивный и, следовательно, не абелевой

Категория абелевых групп, Ab, является полной подкатегорией Grp. Ab — это абелева категория, а Grp — нет. Действительно, Grp даже не является аддитивной категорией, поскольку не существует естественного способа определить "сумму" двух гомоморфизмов групп. Доказательство этого выглядит следующим образом: множество морфизмов из симметрической группы S3 порядка три в себя, , содержит десять элементов: элемент z, произведение которого с каждой стороны с любым элементом E даёт z (гомоморфизм, отображающий каждый элемент в единичный элемент), три элемента, произведение которых с одной фиксированной стороны всегда равно самому себе (проекции на три подгруппы порядка два), и шесть автоморфизмов. Если бы Grp была аддитивной категорией, то этот набор E из десяти элементов был бы кольцом. В любом кольце нулевой элемент выделяется тем свойством, что 0x = x0 = 0 для всех x из кольца, и, следовательно, z должен был бы быть нулём E. Однако, не существует двух ненулевых элементов E, произведение которых равно z, поэтому в этом конечном кольце не будет делителей нуля. Конечное кольцо без делителей нуля является полем по малой теореме Уэддерберна, но поля с десятью элементами не существует, поскольку порядок любого конечного поля является степенью простого числа.

Точные последовательности

Понятие точной последовательности имеет смысл в Grp, и некоторые результаты из теории абелевых категорий, такие как девятая лемма, пятая лемма и их следствия, справедливы для Grp. Grp является регулярной категорией.