Кіріспе
Алгебралық сорттардың және одан да жалпы схемалардың инварианты — мотивтік кохомология. Ол мотивтермен байланысты кохомологияның бір түрі және алгебралық циклдердің Чоу сақинасын ерекше жағдай ретінде қамтиды. Алгебралық геометрия және сандар теориясындағы ең қиын мәселелердің кейбіреуі мотивтік кохомологияны түсінуге бағытталған.
Motivic cohomology is an invariant of algebraic varieties and of more general schemes. It is a type of cohomology related to motives and includes the Chow ring of algebraic cycles as a special case. Some of the deepest problems in algebraic geometry and number theory are attempts to understand motivic cohomology.
Милнор К-теориясымен байланысы
Мотивтік кохомология өрістер үшін де бай инвариантты ұсынады. (Ескеріңіз, өріс k, мотивалық кохомология анықталған Spec(k схемасын анықтайды.) Өрістер k үшін мотивалық кохомология Hi(k, Z(j)) жалпы жағдайда толыққанды түсініксіз болғанымен, i = j болғанда оны сипаттауға болады:
мұндағы KjM(k) – k өрісінің j-інші Милнор K тобы. Милнор K теориясы өріс үшін генераторлар мен қатынастар арқылы нақты анықталғандықтан, бұл k өрісінің мотивалық кохомологиясының бір бөлігін сипаттауға көмектеседі.
Этальдік кохомологияға карта
X өрістегі тегіс схема болсын, ал m – k-де инвертирленетін оң бүтін сан болсын. Онда мотивтік кохомологиядан этальдік кохомологияға табиғи гомоморфизм (циклдік карта) бар:
where Z/m(j) on the right means the étale sheaf (μm)⊗j, with μm being the mth roots of unity. This generalizes the cycle map from the Chow ring of a smooth variety to étale cohomology. A frequent goal in algebraic geometry or number theory is to compute motivic cohomology, whereas étale cohomology is often easier to understand. For example, if the base field k is the complex numbers, then étale cohomology coincides with singular cohomology (with finite coefficients). A powerful result proved by Voevodsky, known as the Beilinson Lichtenbaum conjecture, says that many motivic cohomology groups are in fact isomorphic to étale cohomology groups. This is a consequence of the norm residue isomorphism theorem. Namely, the Beilinson Lichtenbaum conjecture (Voevodsky's theorem) says that for a smooth scheme X over a field k and m a positive integer invertible in k, the cycle map
is an isomorphism for all j ≥ i and is injective for all j ≥ i − 1.
мұнда оң жақта Z/m(j) этальдік шоғы (μm)⊗j дегенді білдіреді, ал μm – бірліктің m-ші түбірі. Бұл циклдік картаны тегіс сорттың Шов сақинасынан этальдік кохомологияға дейін жалпылайды. Алгебралық геометрия немесе сандар теориясындағы жиі кездесетін мақсат – мотивтік кохомологияны есептеу, ал этальдік кохомологияны түсіну әдетте оңайырақ. Мысалы, егер базалық өріс k кешенді сандар болса, онда этальдік кохомология сингулярлық кохомологиямен (шекті коэффициенттерімен) сәйкес келеді. Воеводский дәлелдеген қуатты нәтиже, Бейлинсон-Лихтенбаум болжамы ретінде белгілі, көптеген мотивтік кохомология топтары шындығында этальдік кохомология топтарына изоморфты. Бұл нормалық қалдық изоморфизм теоремасының салдары. Атап айтқанда, Бейлинсон-Лихтенбаум болжамы (Воеводский теоремасы) k өрісіндегі X тегіс схемасы және k-де инвертирленетін m оң бүтін саны үшін циклдік карта барлық j ≥ i үшін изоморфизм болып табылады және барлық j ≥ i − 1 үшін инъективті болып табылады.
where Z/m(j) on the right means the étale sheaf (μm)⊗j, with μm being the mth roots of unity. This generalizes the cycle map from the Chow ring of a smooth variety to étale cohomology. A frequent goal in algebraic geometry or number theory is to compute motivic cohomology, whereas étale cohomology is often easier to understand. For example, if the base field k is the complex numbers, then étale cohomology coincides with singular cohomology (with finite coefficients). A powerful result proved by Voevodsky, known as the Beilinson Lichtenbaum conjecture, says that many motivic cohomology groups are in fact isomorphic to étale cohomology groups. This is a consequence of the norm residue isomorphism theorem. Namely, the Beilinson Lichtenbaum conjecture (Voevodsky's theorem) says that for a smooth scheme X over a field k and m a positive integer invertible in k, the cycle map
is an isomorphism for all j ≥ i and is injective for all j ≥ i − 1.
Мотивтермен байланысы
Кез келген k өрісі және R коммутативті сақина үшін Воеводский R-сызықтық үшбұрышты категорияны, k үстіндегі мотивтердің туынды категориясы деп атап, DM(k; R) деп белгіледі. Кез келген X/k схемасы DM-де екі объектіні анықтайды: X-тің мотивін, M(X), және X-тің ықшамдықпен қолдауға ие мотивін, Mc(X); егер X, k-ге қатысты дұрыс болса, екеуі де изоморфты болады. Мотивтердің туынды категориясының негізгі ерекшелігі – мотивтік гомология мен мотивтік кохомологияның төрт түрі осы категориядағы морфизмдер жиыны ретінде туындайды. Мұны сипаттау үшін, ең алдымен, барлық j бүтін сандары үшін DM(k; R)-де Tate мотивтері R(j) бар екенін ескеру керек, сондықтан проективті кеңістіктің мотивы Tate мотивтерінің тікелей қосындысы болып табылады:
One basic point of the derived category of motives is that the four types of motivic homology and motivic cohomology all arise as sets of morphisms in this category. To describe this, first note that there are Tate motives R(j) in DM(k; R) for all integers j, such that the motive of projective space is a direct sum of Tate motives:
where M ↦ M[1] denotes the shift or "translation functor" in the triangulated category DM(k; R). In these terms, motivic cohomology (for example) is given by
for every scheme X of finite type over k.
When the coefficients R are the rational numbers, a modern version of a conjecture by Beilinson predicts that the subcategory of compact objects in DM(k; Q) is equivalent to the bounded derived category of an abelian category MM(k), the category of mixed motives over k. In particular, the conjecture would imply that motivic cohomology groups can be identified with Ext groups in the category of mixed motives. This is far from known. Concretely, Beilinson's conjecture would imply the Beilinson Soulé conjecture that Hi(X,Q(j)) is zero for i < 0, which is known only in a few cases. Conversely, a variant of the Beilinson Soulé conjecture, together with Grothendieck's standard conjectures and Murre's conjectures on Chow motives, would imply the existence of an abelian category MM(k) as the heart of a t structure on DM(k; Q). More would be needed in order to identify Ext groups in MM(k) with motivic cohomology. For k a subfield of the complex numbers, a candidate for the abelian category of mixed motives has been defined by Nori. If a category MM(k) with the expected properties exists (notably that the Betti realization functor from MM(k) to Q vector spaces is faithful), then it must be equivalent to Nori's category.
мұнда M ↦ M[1] үшбұрышты категория DM(k; R)-дегі ауысуды немесе «аударма функторын» білдіреді. Осы тұрғыда, мотивтік кохомология (мысалы) k үстіндегі шекті типтегі кез келген X схемасы үшін былай беріледі:
One basic point of the derived category of motives is that the four types of motivic homology and motivic cohomology all arise as sets of morphisms in this category. To describe this, first note that there are Tate motives R(j) in DM(k; R) for all integers j, such that the motive of projective space is a direct sum of Tate motives:
where M ↦ M[1] denotes the shift or "translation functor" in the triangulated category DM(k; R). In these terms, motivic cohomology (for example) is given by
for every scheme X of finite type over k.
When the coefficients R are the rational numbers, a modern version of a conjecture by Beilinson predicts that the subcategory of compact objects in DM(k; Q) is equivalent to the bounded derived category of an abelian category MM(k), the category of mixed motives over k. In particular, the conjecture would imply that motivic cohomology groups can be identified with Ext groups in the category of mixed motives. This is far from known. Concretely, Beilinson's conjecture would imply the Beilinson Soulé conjecture that Hi(X,Q(j)) is zero for i < 0, which is known only in a few cases. Conversely, a variant of the Beilinson Soulé conjecture, together with Grothendieck's standard conjectures and Murre's conjectures on Chow motives, would imply the existence of an abelian category MM(k) as the heart of a t structure on DM(k; Q). More would be needed in order to identify Ext groups in MM(k) with motivic cohomology. For k a subfield of the complex numbers, a candidate for the abelian category of mixed motives has been defined by Nori. If a category MM(k) with the expected properties exists (notably that the Betti realization functor from MM(k) to Q vector spaces is faithful), then it must be equivalent to Nori's category.
Коэффициенттер R рационалды сандар болғанда, Бейлинсоннің болжамының қазіргі нұсқасы DM(k; Q)-дегі ықшам объектілердің субкатегориясы k-дегі аралас мотивтер категориясы, MM(k) абелдік категориясының шектелген туынды категориясына эквивалентті екенін болжайды. Атап айтқанда, бұл болжам мотивтік кохомология топтарын аралас мотивтер категориясындағы Ext топтарымен сәйкестендіруге болады дегенді білдіреді. Бұл әлі дәлелденбеді. Нақтырақ айтқанда, Бейлинсоннің болжамы Бейлинсон-Соуле болжамын білдіреді, яғни i < 0 үшін H<sup>i</sup>(X, Q(j)) = 0, бұл тек бірнеше жағдайда ғана белгілі. Керісінше, Бейлинсон-Соуле болжамының бір түрі, Гротендиктің стандартты болжамымен және Мурренің Chow мотивтері туралы болжамымен бірге, DM(k; Q)-дегі t-құрылымның ядросы ретінде MM(k) абелдік категориясының бар екенін білдіреді. MM(k)-дегі Ext топтарын мотивтік кохомологиямен сәйкестендіру үшін одан да көп нәрсе қажет. k, комплекс сандардың ішкі өрісі болғанда, Нори аралас мотивтердің абелдік категориясына кандидат ұсынды. Егер күтілетін қасиеттері бар MM(k) категориясы болса (әсіресе, MM(k)-ден Q векторлық кеңістіктерге Бетти іске асыру функторы адал болса), онда ол Нори категориясына эквивалентті болуы керек.
One basic point of the derived category of motives is that the four types of motivic homology and motivic cohomology all arise as sets of morphisms in this category. To describe this, first note that there are Tate motives R(j) in DM(k; R) for all integers j, such that the motive of projective space is a direct sum of Tate motives:
where M ↦ M[1] denotes the shift or "translation functor" in the triangulated category DM(k; R). In these terms, motivic cohomology (for example) is given by
for every scheme X of finite type over k.
When the coefficients R are the rational numbers, a modern version of a conjecture by Beilinson predicts that the subcategory of compact objects in DM(k; Q) is equivalent to the bounded derived category of an abelian category MM(k), the category of mixed motives over k. In particular, the conjecture would imply that motivic cohomology groups can be identified with Ext groups in the category of mixed motives. This is far from known. Concretely, Beilinson's conjecture would imply the Beilinson Soulé conjecture that Hi(X,Q(j)) is zero for i < 0, which is known only in a few cases. Conversely, a variant of the Beilinson Soulé conjecture, together with Grothendieck's standard conjectures and Murre's conjectures on Chow motives, would imply the existence of an abelian category MM(k) as the heart of a t structure on DM(k; Q). More would be needed in order to identify Ext groups in MM(k) with motivic cohomology. For k a subfield of the complex numbers, a candidate for the abelian category of mixed motives has been defined by Nori. If a category MM(k) with the expected properties exists (notably that the Betti realization functor from MM(k) to Q vector spaces is faithful), then it must be equivalent to Nori's category.
L-функциялардың мәндері
X сандар өрісі үстіндегі тегіс проективті алгебралық сан түрлілігі болсын. Блох-Като болжамы L функцияларының мәндері бойынша, X-тің L функциясының бүтін нүктеде жоғалу ретін тиісті мотивтік когомология тобының ранкімен тең деп болжайды. Бұл сандар теориясының орталық мәселелерінің бірі болып табылады және бұрынғы Делинье мен Бейлинсонның болжамдарын қамтиды. Бірч-Суиннертон-Дайер болжамы – бұл болжамның ерекше жағдайы. Нақтырақ айтқанда, болжам мотивтік когомологиядағы реттегіштер мен биіктік жұптасу арқылы L функциясының бүтін нүктедегі жетекші коэффициентін анықтайды.
Тарих
Алгебралық сорттар үшін Чоу топтарынан жалпы мотивтік кохомология теориясына мүмкін болатын жалпылаудың алғашқы нақты белгісі – Квилленнің алгебралық K-теорияны анықтауы және дамытуы (1973), бұл векторлық шоғырлардың Grothendieck тобы K0-ны жалпылайды. 1980-жылдардың басында Бейлинсон мен Суле Адамс операциялары алгебралық K-теориясының рационалдармен тензорлық көбейтіндісін бөлетінін байқады; бұл қосылғыштар қазір мотивтік кохомология (рационалдық коэффициенттерімен) деп аталады. Бейлинсон мен Лихтенбаум мотивтік кохомологияның болуы және қасиеттері туралы ықпалды болжамдар жасады. Олардың барлық емес, бірақ көптеген болжамдары қазір дәлелденді. Блохтың жоғары Чоу топтарының анықтамасы (1986) – k өрісіндегі схемалар үшін мотивтік гомологияның алғашқы интегралды (рационалдыдан өзгеше) анықтамасы болды (сонымен қатар, тегіс схемалар үшін мотивтік кохомология). X-тың жоғары Чоу топтарының анықтамасы – Чоу топтарының анықтамасынан табиғи жалпылау, ол X пен аффиндік кеңістіктің көбейтіндісіндегі алгебралық циклдарды қамтиды, бұл гипержазықтықтар жиынтығымен (симплекстің жақтары ретінде қарастырылатын) күтілетін өлшемде қиылысады. Соңында, Воеводский (Суслинмен бірлескен жұмысына сүйене отырып) 2000 жылы мотивтік гомология мен мотивтік кохомологияның төрт түрін, сондай-ақ мотивтердің туынды санатын анықтады. Қатысты санаттарды Ханамура мен Левин де анықтады. Эльманто мен Морроутың жұмысы мотивтік кохомология құрастыруын кездейсоқ квази-компакт, квази-бөлінген схемаларға дейін кеңейтті.