Введение
Инвариант алгебраических многообразий и более общих схем. Мотивическая когомология является инвариантом алгебраических многообразий и более общих схем. Это тип когомологии, связанный с мотивами, и включает в себя кольцо Чоу алгебраических циклов как частный случай. Некоторые из самых глубоких проблем в алгебраической геометрии и теории чисел представляют собой попытки понять мотивную когомологию.
Motivic cohomology is an invariant of algebraic varieties and of more general schemes. It is a type of cohomology related to motives and includes the Chow ring of algebraic cycles as a special case. Some of the deepest problems in algebraic geometry and number theory are attempts to understand motivic cohomology.
Связь с теорией Милнора К
Мотивическая когомология уже предоставляет богатый инвариант для полей. (Отметим, что поле k определяет схему Spec(k), для которой мотивная когомология определена.) Хотя мотивная когомология Hi(k, Z(j)) для полей k в общем случае изучена далеко не полностью, существует описание для случая i = j:
где KjM(k) – j-я группа Милнора K поля k. Поскольку теория Милнора K поля определяется явно генераторами и соотношениями, это полезное описание одной из частей мотивной когомологии k.
Карта кохомологии этале
Пусть X — гладкая схема над полем k, и пусть m — положительное целое число, обратимое в k. Тогда существует естественный гомоморфизм (карта цикла) из мотивной когомологии в когомологии эталей:
where Z/m(j) on the right means the étale sheaf (μm)⊗j, with μm being the mth roots of unity. This generalizes the cycle map from the Chow ring of a smooth variety to étale cohomology. A frequent goal in algebraic geometry or number theory is to compute motivic cohomology, whereas étale cohomology is often easier to understand. For example, if the base field k is the complex numbers, then étale cohomology coincides with singular cohomology (with finite coefficients). A powerful result proved by Voevodsky, known as the Beilinson Lichtenbaum conjecture, says that many motivic cohomology groups are in fact isomorphic to étale cohomology groups. This is a consequence of the norm residue isomorphism theorem. Namely, the Beilinson Lichtenbaum conjecture (Voevodsky's theorem) says that for a smooth scheme X over a field k and m a positive integer invertible in k, the cycle map
is an isomorphism for all j ≥ i and is injective for all j ≥ i − 1.
где Z/m(j) справа обозначает этальный пучок (μm)⊗j, при этом μm — это m-е корни из единицы. Это обобщает карту цикла из кольца Чоу гладкого многообразия в когомологии эталей. Частая задача в алгебраической геометрии или теории чисел — вычислить мотивную когомологию, в то время как этальную когомологию часто легче понять. Например, если базовое поле k — это комплексные числа, то этальная когомология совпадает с сингулярной когомологией (с конечными коэффициентами). Мощный результат, доказанный Воеводским, известный как гипотеза Бейлинсона — Лихтенбаума, утверждает, что многие группы мотивной когомологии на самом деле изоморфны группам этальной когомологии. Это следствие теоремы об изоморфизме остатков нормы. А именно, гипотеза Бейлинсона — Лихтенбаума (теорема Воеводского) утверждает, что для гладкой схемы X над полем k и m — положительного целого числа, обратимого в k, карта цикла является изоморфизмом для всех j ≥ i и инъективной для всех j ≥ i − 1.
where Z/m(j) on the right means the étale sheaf (μm)⊗j, with μm being the mth roots of unity. This generalizes the cycle map from the Chow ring of a smooth variety to étale cohomology. A frequent goal in algebraic geometry or number theory is to compute motivic cohomology, whereas étale cohomology is often easier to understand. For example, if the base field k is the complex numbers, then étale cohomology coincides with singular cohomology (with finite coefficients). A powerful result proved by Voevodsky, known as the Beilinson Lichtenbaum conjecture, says that many motivic cohomology groups are in fact isomorphic to étale cohomology groups. This is a consequence of the norm residue isomorphism theorem. Namely, the Beilinson Lichtenbaum conjecture (Voevodsky's theorem) says that for a smooth scheme X over a field k and m a positive integer invertible in k, the cycle map
is an isomorphism for all j ≥ i and is injective for all j ≥ i − 1.
Связь с мотивами
Для любого поля k и коммутативного кольца R, Воеводский определил R-линейную триангулированную категорию, называемую производной категорией мотивов над k с коэффициентами в R, DM(k; R). Каждая схема X над k определяет два объекта в DM: мотив X, M(X), и компактно поддерживаемый мотив X, Mc(X); эти два объекта изоморфны, если X является собственным над k.
Одной из основных особенностей производной категории мотивов является то, что четыре типа мотивной гомологии и мотивной когомологии возникают как множества морфизмов в этой категории. Чтобы это описать, заметим, что в DM(k; R) существуют мотивы Тейта R(j) для всех целых чисел j, такие что мотив проективного пространства является прямой суммой мотивов Тейта:
где M ↦ M[1] обозначает сдвиг или "функтор трансляции" в триангулированной категории DM(k; R). В этих терминах мотивная когомология (например) задается выражением
для каждой схемы X конечного типа над k.
Когда коэффициенты R – рациональные числа, современная версия гипотезы Бейлинсона предсказывает, что подкатегория компактных объектов в DM(k; Q) эквивалентна ограниченной производной категории абелевой категории MM(k), категории смешанных мотивов над k. В частности, эта гипотеза подразумевает, что группы мотивной когомологии можно отождествить с группами Ext в категории смешанных мотивов. Это пока не доказано. В частности, гипотеза Бейлинсона подразумевает гипотезу Бейлинсона — Соуля о том, что Hi(X, Q(j)) равен нулю для i < 0, что известно лишь в немногих случаях. И наоборот, вариант гипотезы Бейлинсона — Соуля, вместе со стандартными гипотезами Гротендика и гипотезами Мурра о мотивах Чоу, подразумевает существование абелевой категории MM(k) как сердца t-структуры на DM(k; Q). Для отождествления групп Ext в MM(k) с мотивной когомологией потребуется больше информации. Для k, являющегося подполем комплексных чисел, кандидат на абелеву категорию смешанных мотивов был предложен Нори. Если существует категория MM(k) с ожидаемыми свойствами (в частности, если функтор реализации Бетти из MM(k) в Q-векторные пространства является верным), то она должна быть эквивалентна категории Нори.
Значения L-функций
Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым полем. Гипотеза Блоха — Като о значениях L-функций предсказывает, что порядок исчезновения L-функции X в целой точке равен рангу подходящей мотивной когомологической группы. Это одна из центральных проблем теории чисел, объединяющая более ранние гипотезы Делиня и Бейлинсона. Гипотеза Бирча — Свиннертон-Дайера является частным случаем. Более точно, гипотеза предсказывает старший коэффициент L-функции в целой точке в терминах регуляторов и спаривания высот на мотивной когомологии.
История
Первым ясным признаком возможной обобщенности от групп Чоу к более общей теории мотивной когомологии для алгебраических многообразий стало определение и развитие Квилленом алгебраической K-теории (1973), обобщающей группу K0 Гротендика векторных расслоений. В начале 1980-х годов Бейлинсон и Суле заметили, что операции Адамса дают расщепление алгебраической K-теории, тензорной с рациональными числами; слагаемые теперь называются мотивной когомологией (с рациональными коэффициентами). Бейлинсон и Лихтенбаум выдвинули влиятельные гипотезы, предсказывавшие существование и свойства мотивной когомологии. Большинство, но не все их предположения были доказаны. Определение Блоха высших групп Чоу (1986) было первым интегральным (в отличие от рационального) определением мотивной гомологии для схем над полем k (и, следовательно, мотивной когомологии в случае гладких схем). Определение высших групп Чоу для X является естественным обобщением определения групп Чоу, включающим алгебраические циклы на произведении X с аффинным пространством, пересекающиеся с набором гиперплоскостей (рассматриваемых как грани симплекса) в ожидаемой размерности. Наконец, Воеводский (основываясь на работе с Суслиным) определил четыре типа мотивной гомологии и мотивной когомологии в 2000 году, а также производную категорию мотивов. Связанные категории также были определены Ханамурой и Левином. Работы Эльманто и Морроу расширили построение мотивной когомологии до произвольных квазикомпактных, квазиразделенных схем над полем.