Кіріспе

Жолдардың өткізу қабілетін арттыруға қатысты парадокс

Бресс парадоксы – жол желісіне бір немесе бірнеше жол қосылуы салдарынан оның арқылығы жалпы көлік ағыны баяулауы мүмкін деген байқау. Бұл парадокс алғаш рет 1920 жылы Артур Пигу жасаған, ал 1968 жылы неміс математигі Дитрих Бресс есімімен аталып кеткен. Бұл парадокс электр қуат желілері мен биологиялық жүйелерде де кездесуі мүмкін. Теория бойынша, істен шыққан желіні оның белгілі бір бөліктерін алып тастау арқылы жақсартуға болады. Парадокс, іске қосылған басты жолдар жабылған кезде көлік ағынының жақсару себептерін түсіндіру үшін қолданылады.

Ашу және анықтауы

Германиядағы Рур университетінің математигі Дитрих Брасс, жол желісінде жаңа жол салу арқылы қозғалыс ағынының бәсеңдеуі мүмкін екенін байқады, ол қозғалыс үлгілерін зерттеген кезде. Оның пікірінше, егер әрбір жүргізуші өзінің мүддесін ескере отырып, қай жол ең жылдам екенін анықтаса, онда қысқа жол көбінесе таңдалып, жүргізушілерге ең аз уақытта жете алмайды. Бресстің ашқан жағдайының мәні – Нэш тепе-теңдігі желі арқылығы жалпы ағынның ең жақсы көрсеткішімен сәйкес келмейді. Парадокс былай формулировкаланады: "Жол желісінің әрбір нүктесі үшін сол нүктеден басталатын көліктердің саны және олардың бағыты белгілі болсын. Мұндай жағдайда, қозғалыс ағынының таралуын болжау қажет. Бір көшенің екіншісінен артық болуы жолдың сапасына ғана емес, сонымен қатар ағынның тығыздығына да байланысты. Егер әрбір жүргізуші өзіне ең қолайлы жолды таңдаса, нәтижедегі жүру уақыты ең аз болмайды. Сонымен қатар, мысал келтіріледі, жол желісін кеңейту қозғалысты қайта бөліп, жеке жүру уақытын ұзартуы мүмкін." Желіге қосымша сыйымдылық қосу, егер қозғалыс қатысушылары өздерінің бағытын мүддесі үшін таңдаса, кейбір жағдайларда жалпы тиімділікті төмендетуі мүмкін. Өйткені мұндай жүйенің Нэш тепе-теңдігі міндетті түрде оптималды емес. Желідегі өзгерістер жаңа ойын құрылымын тудырады, ол көп ойыншылы тұтқынның дилеммасына алып келеді. Нэш тепе-теңдігінде жүргізушілер өздерінің бағытын өзгертуге мүдделі емес. Бірақ жүйе Нэш тепе-теңдігінде болмаса, жеке жүргізушілер өздерінің жол жүру уақытын жақсарту үшін бағыттарын өзгерте алады. Бресстің парадоксы бойынша, жүргізушілер жалпы тиімділіктің төмендеуіне қарамастан, Нэш тепе-теңдігіне жеткенше бағыттарын ауыстыруын жалғастырады. Егер жасырын функциялар сызықтық болса, жаңа қабырғаны қосу тепе-теңдіктегі жалпы жол уақытын 4/3-тен артық есе нашарлата алмайды.

Ауру таралуы

1983 жылы Штейнберг және Зангвилл негізді болжамдар негізінде, жаңа бағыт қосылған кезде жалпы көлік желісінде Брасс парадоксының туындауы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды көрсетті. (Олардың нәтижесі тек бір ғана сілтеме қосылған жағдайға ғана емес, кез келген жаңа бағыт қосылған кезде де қолданылатынын ескеріңіз.) Соның салдары ретінде, олар Брасс парадоксының кездейсоқ жаңа бағыт қосылғанда туындау ықтималдығы, туындамау ықтималдығымен шамалас екенін анықтады.

Жол қозғалысы

Бресс парадоксы жол желісін қысқарту жағдайында да кездеседі (бұл жеке тұлғаның жолға жұмсалатын уақытын азайтуы мүмкін). Германияның Штутгарт қаласында 1969 жылы жол желісіне инвестиция жасалғаннан кейін, жаңа салынған жолдың бір бөлігі қайтадан қозғалысқа жабылғанға дейін жағдай жақсармады. 1990 жылы Жер күніне орай Нью-Йорк қаласындағы Манхэттендегі 42-ші көшені уақытша жабу аймақтағы кептелісті азайтты. 2008 жылы Юн, Гастнер және Чжон Бостон, Нью-Йорк және Лондон қалаларында мұндай жағдайдың туындауы мүмкін екенін көрсететін нақты маршруттарды анықтады және жол жүру уақытын болжам бойынша азайту үшін жабылуы мүмкін жолдарды көрсетті. 2009 жылы Нью-Йорк Таймс-сквер және Геральд-сквердегі Бродвейді жабу бойынша тәжірибе жасады, нәтижесінде қозғалыс жақсарып, тұрақты жаяу жүргіншілер алаңдары пайда болды. 2012 жылы Франция аймағының жоспарлау және даму институтының Пол Лекроар "Бастапқы сескенгеніне қарамастан, маңызды жолдарды алып тастау жол жағдайын бастапқы түзетулерден асырып нашарлатпайды. Көлік ағыны шектеулі және күтілгеннен төмен" деп жазды.

Электр энергиясы

2012 жылы Макс Планк динамика және өзін-өзі ұйымдастыру институтының ғалымдары есептеу модельдеуі арқылы электр қуатын тарату желілерінде қуат өндірісі орталықтандырылмаған жағдайда осы құбылыстың пайда болу мүмкіндігін көрсетті. 2012 жылы Néel институтының (CNRS, Франция), INP (Франция), IEMN (CNRS, Франция) және UCL (Бельгия) зерттеушілерінің халықаралық тобы Physical Review Letters журналында Braess парадоксы мезоскопиялық электрондық жүйелерде кездесуі мүмкін екенін көрсететін мақала жариялады. Атап айтқанда, олар наноскоптық желіге электрондарға арналған қосымша жолдың оның өткізгіштігін парадоксалды түрде төмендеткенін көрсетті. Бұл мәселе компьютерлік симуляциялар және төмен температурада сканерлік қақпа микроскопиясын қолдану арқылы жүргізілген эксперименттер нәтижесінде дәлелденді.

Жазғыштар

Жазыбалар мен арқандардан құралған модель, тартылған арқандар тілінгеніне қарамастан, аспалы салмақтың биіктігінің артатынын көрсетуге болады, бұл түпнұсқа Бресс парадоксымен бірдей математикалық құрылымға негізделген. Қысқа арқанмен тікелей жалғастырылған екі бірдей серіппелердің жалпы серіппелік тұрақтылығы әрқайсысының жартысына тең, нәтижесінде белгілі бір салмақ ілінгенде серіппелер ұзақ созылады. Егер төменгі серіппенің төменгі ұшын аспалы салмаққа (төменгі серіппенің төменгі ұшына), ал төменгі серіппенің жоғарғы ұшын аспалы нүктеге (жоғарғы серіппенің жоғарғы ұшына) жалғастыру үшін екі ұзын арқанды бос қоссақ, жағдай осылай қалады. Бірақ, қысқа арқан тілінген кезде, ұзын арқандар тартылып, екі серіппе механикалық мағынада бір-біріне параллель болады. Жалпы серіппелік тұрақтылық әр серіппеге қарағанда екі есе артады, және ұзын арқандардың ұзындығы тым ұзын болмаса, аспалы салмақ қысқа арқан тілінгенге дейін болғанға қарағанда жоғары көтеріледі. Аспалы жүйенің тартылған арқанын (қысқа арқанды) тіліп тастағанына қарамастан, аспалы салмақтың көтерілуі интуитивті емес, бірақ бұл Гук заңына және серіппелердің тізбектей және параллель жұмыс істеу қағидаларына сәйкес келеді.

Биология

Адилсон Э. Моттер және оның әріптестері Бресс парадоксының салдары биологиялық және экологиялық жүйелерде жиі кездесетінін көрсетті. Моттер бұзылған желінің бір бөлігін жою оны жақсартуға көмектеседі деп санайды. Қауіп төніп тұрған түрлердің тағамдық тізбектерін басқаруда, көптеген түрлер тізбектей жойылуы мүмкін болғандықтан, желіден жойылуға бекітілген түрді таңдап жою, принцип бойынша, одан әрі жойылудың алдын алып, жағымды нәтиже беруі мүмкін.

Командалық спорттық стратегия

Баскетболда команданы себетке жететін жолдардың желісі ретінде қарастыруға болады, онда әр жолдың тиімділігі әртүрлі. Ал жұлдыз ойыншы команданың жалпы тиімділігін төмендетуі мүмкін, бұл жол желісі арқылы саяхат уақытын ұзартуға әкелетін тым жиі қолданылатын қысқа жолға ұқсас. Ең жоғары тиімділікке жету үшін жұлдыз ойыншының командаластарымен шамалас көлемде доп лақтыруы ұсынылған. Дегенмен, бұл тәсілді нақты статистикалық деректер қолдамайды, бұл туралы бастапқы мақалада көрсетілген.

Блокчейн желілері

Бресс парадоксы блокчейн төлем арналары желілерінде, сондай-ақ 2-деңгейлі желілерде де кездеседі. Төлем арналары желілері блокчейн желілерінің масштабталу мәселесін шешуге мүмкіндік береді, блокчейнде тіркелместен жоғары жылдамдықта транзакциялар жасауға болатындығын қамтамасыз етеді. Мұндай желіде пайдаланушылар арнаның екі жағында да қаражатты тоқтата тұрып арна құра алады. Транзакциялар төлеуші мен төлем алушыны тікелей байланыстыратын арна арқылы немесе аралық пайдаланушылармен құрылған арналар тізбегі арқылы, олар белгілі бір комиссия талап етеді, жүзеге асырылады. Интуитивті түрде, жаңа арналарды ашу маршруттандырудың икемділігін арттырса, жаңа арнаны қосу комиссияны жоғарылатуы мүмкін, ал қолданыстағы арналарды жабу комиссияны төмендетуі мүмкін. Бұл мақалада парадоксқа қатысты шарттарды, парадоксты азайту әдістерін және эмпирикалық талдауды қамтитын теориялық талдау ұсынылған. Зерттеу парадокстың тәжірибеде пайда болуын және оның Bitcoin-ның Lightning желісіне тигізетін әсерін көрсетті.

Мысал

Қоса берілген диаграммада көрсетілгендей, 4000 жүргізуші бастапқы нүктеден соңғы нүктеге дейін саяхаттағысы келетін жол желісін қарастырайық. Start–A жолындағы саяхат уақыты (минуттармен) саяхатшылар санына (T) бөлінген 100-ге тең, ал Start–B жолындағы уақыт тұрақты 45 минутты құрайды (олардың қарама-қарсы жолдарында да осылай). Егер үзік сызық болмаса (яғни, жол желісінде барлығы 4 жол болса), Start–A–End маршрутын жүргізу үшін қажетті уақыт Start–B–End маршрутын жүргізу үшін қажетті уақыт 4000 жүргізуші болғандықтан, жүйе тепе-теңдікте болғанда бұл фактіні пайдаланып келесіні анықтауға болады. Сондықтан, әр маршрутқа шамамен минут уақыт кетеді. Егер кез келген маршрутқа кеткен уақыт аз болса, онда бұл Нэш тепе-теңдігі болмайды: рационалды жүргізуші ұзақ маршруттан қысқа маршрутқа ауысады. Енді, A–B сызығы өте қысқа, шамамен 0 минутқа жуық саяхат уақыты бар жол деп есептейік. Жол ашылса, бір жүргізуші Start–A–B–End маршрутын сынап көріп, өзінің уақыты минутты құрайтынын көріп, таңғалады, бұл шамамен 25 минутты үнемдеуге мүмкіндік береді. Көп ұзамай, 4000 жүргізушінің көп бөлігі осы жаңа маршрутты сынап көруге тырысады. Уақыт 40.01-ден өсіп, үздіксіз артып келеді. Жаңа маршрутты сынап көретін жүргізушілер саны 2500-ге жеткенде, ал 1500-і әлі де Start–B–End маршрутында болса, олардың уақыты минутты құрайды, бұл бастапқы маршруттан жақсырақ емес. Осы уақыт аралығында, 1500 жүргізушінің жылдамдығы 20 минутқа төмендеді. Олар да A арқылы жаңа маршрутқа ауысуға мәжбүр, сондықтан енді минут уақыт кетеді. Ешкімнің де A–End немесе Start–B маршрутын таңдауға ынтасы жоқ, себебі кез келген жүргізушіге оларды жүріп өтуге 85 минут уақыт кетеді. Осылайша, көлденең жолдың ашылуы оны барлығы үшін өзгертуге әкеледі, бұл барлығына бастапқы 65 минут емес, 80 минут уақыт қажет етеді. Егер барлық жүргізушілер A–B маршрутын пайдаланбауға келіссе немесе бұл маршрут жабылатын болса, әрбір жүргізуші саяхат уақытын 15 минутқа қысқарта алады.

Тепе-теңдіктің болуы

Егер әрбір адамның шет бойымен жүру уақыты бірдей деп есептесек, тепе-теңдік әрқашан болады. Егер шет бойынша жүретін адамдар саны болса, әр адамның шет бойымен жүру уақытының формуласы болсын. Адамдар шетінен жүріп бара жатқан қозғалыс графигі болса, онда , , энергиясы (егер болса) болсын. Қозғалыс графигінің жалпы энергиясы – графиктегі барлық шеттердің энергиясының қосындысы болсын. Жалпы энергияны ең төменгі деңгейге дейін азайтатын маршруттарды таңдаңыз. Мұндай таңдау болуы керек, өйткені маршруттардың саны шектеулі. Бұл тепе-теңдік болады. Қарсылыққа қарай, бұл жағдай емес деп есептейік. Онда, кем дегенде бір жүргізуші маршрутын өзгертіп, жүру уақытын жақсарта алады. Егер бастапқы маршрут болса, ал жаңа маршрут болса, онда қозғалыс графигінің жалпы энергиясы болсын және маршрут алынып тасталғанда не болатынын қарастырайық. Әр шеттің энергиясы азаяды, сондықтан ол бастапқы маршрутты жүруге қажетті жалпы уақытқа тең. Егер жаңа маршрут қосылса, онда жалпы энергия жаңа маршрутпен жүруге қажетті жалпы уақытқа артады. Жаңа маршрут бастапқы маршруттан қысқа болғандықтан, ол бастапқы конфигурациямен салыстырғанда азаюы керек, бұл бастапқы маршруттар жиынтығы жалпы энергияны азайтады деген болжамға қайшы келеді. Сондықтан, жалпы энергияны ең төменгі деңгейге дейін азайтатын маршруттарды таңдау – тепе-теңдік болып табылады.

Тепе-теңдіктегі көлік қозғалысы қаншалықты оңтайлы?

Егер саяхат уақыты функциялары сызықтық болса, яғни белгілі бір үшін, онда ең нашар жағдайда энергияны азайту тепе-теңдігіндегі қозғалыс әлеуметтік тұрғыдан оңтайлы қозғалыстан екі есе нашар болады. Дәлел: Белгілі бір көлік конфигурациясын қарастырайық, оның энергиясы мен жалпы саяхат уақыты болсын. Әр қабырға үшін энергия арифметикалық прогрессияның қосындысына тең, ал арифметикалық прогрессия қосындысының формуласын қолдану арқылы егер әлеуметтік оңтайлы көлік ағыны және энергияны азайту көлік ағыны болса, теңсіздік мынаны көрсетеді: . Осылайша, энергияны азайту тепе-теңдігі үшін жалпы саяхат уақыты оңтайлы ағынға қарағанда екі есе нашар болады.

Бресс парадоксының динамикалық талдауы

2013 жылы Даль Форно мен Мерлоне Бресс парадоксын динамикалық үштік таңдау мәселесі ретінде қарастырады. Талдау жаңа жолдың мәселені қалай өзгертетінін көрсетеді. Жаңа жол пайда болғанға дейін динамика экстерналитеттері бар екілік таңдаулардағыдай болады, бірақ жаңа жол оны үштік таңдау мәселесіне айналдырады. Қосымша ресурс динамиканың күрделілігін арттырады. Шындығында, циклдердің бірге өмір сүруі де мүмкін, ал парадокс динамикаға қандай әсер ететінін геометриялық және аналитикалық тұрғыдан қарастыруға болады.

Желі топологиясының әсері

Мильхтаич Бресс парадоксы желі тізбекті-параллель граф болмаған жағдайда ғана пайда болатынын дәлелдеді.