Кіріспе
Жазық Евклид геометриясының теориялық негіздері 1932 жылы Г. Д. Бирхофф жазықтықтағы Евклид геометриясының төрт постулатын жасады, олар кейде Бирхофф аксиомалары деп аталады. Бұл постулаттардың бәрі масштаб пен транспортир арқылы тәжірибе жүзінде расталатын қарапайым геометриялық ұғымдарға негізделген. Постулаттар нақты сандарға сүйенгендіктен, бұл тәсіл Евклид геометриясын модельдеу арқылы таныстыруға ұқсас. Бирхоффтың аксиоматикалық жүйесі Бирхофф пен Битлидің орта мектеп оқулығында пайдаланылды. Бұл аксиомалар сондай-ақ, SMSG аксиомалары деп белгілі орта мектеп геометриясын оқытудың жаңа стандартын ұсыну үшін Мектеп математикасын зерттеу тобы тарапынан өңделді. Геометрия негіздері саласындағы тағы бірнеше оқулықтар Бирхофф аксиомаларының түрлерін қолданады.
In 1932, G. D. Birkhoff created a set of four postulates of Euclidean geometry in the plane, sometimes referred to as Birkhoff's axioms. These postulates are all based on basic geometry that can be confirmed experimentally with a scale and protractor. Since the postulates build upon the real numbers, the approach is similar to a model based introduction to Euclidean geometry. Birkhoff's axiomatic system was utilized in the secondary school textbook by Birkhoff and Beatley. These axioms were also modified by the School Mathematics Study Group to provide a new standard for teaching high school geometry, known as SMSG axioms. A few other textbooks in the foundations of geometry use variants of Birkhoff's axioms.
Постулаттар
A және B нүктелерінің арасындағы қашықтық d(A, B) деп, ал A, B, C үш нүктесімен түзілген бұрыш ∠ABC деп белгіленеді. I-постулат: Сызық өлшемінің постулаты. Кез келген түзудегі {A, B, …} нүктелерінің жиынтығы нақты сандар {a, b, …} -мен 1:1 сәйкестікке келтіріле алады, сонда барлық A және B нүктелері үшін. II-постулат: Нүкте-түзу постулаты. Кез келген екі берілген P және Q нүктесінен өтетін бір ғана l түзуі болады. III-постулат: Бұрыш өлшемінің постулаты. Кез келген O нүктесі арқылы өтетін {l, m, n, …} сәулелер жиынтығы а (mod 2π) нақты сандарымен 1:1 сәйкестікке келтіріле алады, сонда егер A және B сәйкесінше l және m сәулелерінде жатса, l және m сәулелеріне сәйкес сандардың айырмасы am − al (mod 2π) ∠AOB-ға тең болады. Бұдан әрі, егер m сәулесіндегі B нүктесі O нүктесін қамтымайтын r түзуі бойымен үздіксіз өзгерсе, am саны да үздіксіз өзгереді. IV-постулат: Ұқсастық постулаты. Екі үшбұрыш ABC және A'B'C' және k > 0 тұрақтысы берілген, мұнда d(A', B') = kd(A, B), d(A', C') = kd(A, C) және ∠B'A'C' = ±∠BAC болса, онда d(B', C') = kd(B, C), ∠C'B'A' = ±∠CBA және ∠A'C'B' = ±∠ACB болады.
Postulate II: Point line postulate. There is one and only one line ℓ that contains any two given distinct points P and Q.
Postulate III: Postulate of angle measure. The set of rays {ℓ, m, n, } through any point O can be put into 1:1 correspondence with the real numbers a (mod 2π) so that if A and B are points (not equal to O) of ℓ and m, respectively, the difference am − aℓ (mod 2π) of the numbers associated with the lines ℓ and m is ∠ AOB. Furthermore, if the point B on m varies continuously in a line r not containing the vertex O, the number am varies continuously also. Postulate IV: Postulate of similarity. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that 1=d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and 1=∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then 1=d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA, and 1=∠ A'C'B' = ±∠ ACB.