Введение
Теоретические основы планиметрии
В 1932 году Г. Д. Биркофф разработал систему из четырех постулатов евклидовой геометрии на плоскости, иногда называемую аксиомами Биркоффа. Эти постулаты основаны на элементарной геометрии, которую можно экспериментально подтвердить с помощью линейки и транспортира. Поскольку постулаты опираются на действительные числа, подход аналогичен введению евклидовой геометрии на основе модели. Аксиоматическая система Биркоффа была использована в учебнике для средней школы, написанном Биркоффом и Битли. Эти аксиомы также были модифицированы Школьной математической исследовательской группой (School Mathematics Study Group) для установления нового стандарта преподавания геометрии в старших классах, известного как аксиомы SMSG. Некоторые другие учебники по основам геометрии используют варианты аксиом Биркоффа.
In 1932, G. D. Birkhoff created a set of four postulates of Euclidean geometry in the plane, sometimes referred to as Birkhoff's axioms. These postulates are all based on basic geometry that can be confirmed experimentally with a scale and protractor. Since the postulates build upon the real numbers, the approach is similar to a model based introduction to Euclidean geometry. Birkhoff's axiomatic system was utilized in the secondary school textbook by Birkhoff and Beatley. These axioms were also modified by the School Mathematics Study Group to provide a new standard for teaching high school geometry, known as SMSG axioms. A few other textbooks in the foundations of geometry use variants of Birkhoff's axioms.
Постулаты
Расстояние между двумя точками A и B обозначается d(A, B), а угол, образованный тремя точками A, B, C, обозначается ∠ABC. Постулат I: Постулат измерения отрезков. Множество точек {A, B, …} на любой прямой может быть приведено в соответствие «один к одному» с множеством действительных чисел {a, b, …} таким образом, чтобы выполнялось условие для всех точек A и B.
Postulate II: Point line postulate. There is one and only one line ℓ that contains any two given distinct points P and Q.
Postulate III: Postulate of angle measure. The set of rays {ℓ, m, n, } through any point O can be put into 1:1 correspondence with the real numbers a (mod 2π) so that if A and B are points (not equal to O) of ℓ and m, respectively, the difference am − aℓ (mod 2π) of the numbers associated with the lines ℓ and m is ∠ AOB. Furthermore, if the point B on m varies continuously in a line r not containing the vertex O, the number am varies continuously also. Postulate IV: Postulate of similarity. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that 1=d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and 1=∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then 1=d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA, and 1=∠ A'C'B' = ±∠ ACB.
Постулат II: Постулат о прямой, проходящей через две точки. Существует единственная прямая ℓ, проходящая через любые две заданные различные точки P и Q.
Postulate II: Point line postulate. There is one and only one line ℓ that contains any two given distinct points P and Q.
Postulate III: Postulate of angle measure. The set of rays {ℓ, m, n, } through any point O can be put into 1:1 correspondence with the real numbers a (mod 2π) so that if A and B are points (not equal to O) of ℓ and m, respectively, the difference am − aℓ (mod 2π) of the numbers associated with the lines ℓ and m is ∠ AOB. Furthermore, if the point B on m varies continuously in a line r not containing the vertex O, the number am varies continuously also. Postulate IV: Postulate of similarity. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that 1=d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and 1=∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then 1=d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA, and 1=∠ A'C'B' = ±∠ ACB.
Постулат III: Постулат измерения углов. Множество лучей {ℓ, m, n, …} исходящих из любой точки O, может быть приведено в соответствие «один к одному» с множеством действительных чисел a (mod 2π) таким образом, чтобы если A и B – точки, не совпадающие с O, лежащие на лучах ℓ и m соответственно, то разность am – aℓ (mod 2π) чисел, соответствующих лучам ℓ и m, равнялась ∠AOB. Более того, если точка B на луче m непрерывно перемещается по прямой r, не проходящей через вершину O, то число am также изменяется непрерывно.
Postulate II: Point line postulate. There is one and only one line ℓ that contains any two given distinct points P and Q.
Postulate III: Postulate of angle measure. The set of rays {ℓ, m, n, } through any point O can be put into 1:1 correspondence with the real numbers a (mod 2π) so that if A and B are points (not equal to O) of ℓ and m, respectively, the difference am − aℓ (mod 2π) of the numbers associated with the lines ℓ and m is ∠ AOB. Furthermore, if the point B on m varies continuously in a line r not containing the vertex O, the number am varies continuously also. Postulate IV: Postulate of similarity. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that 1=d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and 1=∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then 1=d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA, and 1=∠ A'C'B' = ±∠ ACB.
Постулат IV: Постулат подобия. Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C' и некоторое постоянное число k > 0 такое, что d(A', B') = kd(A, B), d(A', C') = kd(A, C) и ∠B'A'C' = ±∠BAC, тогда d(B', C') = kd(B, C), ∠C'B'A' = ±∠CBA и ∠A'C'B' = ±∠ACB.
Postulate II: Point line postulate. There is one and only one line ℓ that contains any two given distinct points P and Q.
Postulate III: Postulate of angle measure. The set of rays {ℓ, m, n, } through any point O can be put into 1:1 correspondence with the real numbers a (mod 2π) so that if A and B are points (not equal to O) of ℓ and m, respectively, the difference am − aℓ (mod 2π) of the numbers associated with the lines ℓ and m is ∠ AOB. Furthermore, if the point B on m varies continuously in a line r not containing the vertex O, the number am varies continuously also. Postulate IV: Postulate of similarity. Given two triangles ABC and A'B'C' and some constant k > 0 such that 1=d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) and 1=∠ B'A'C' = ±∠ BAC, then 1=d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA, and 1=∠ A'C'B' = ±∠ ACB.