Көпсызықты формалар және сыртқы көбейтулер

Кіріспе

Көп векторларды скалярлардың негізгі өрісіне бейнелейтін, әр аргументі бойынша сызықтық болатын карта. Абстрактік алгебра мен көп сызықты алгебрада, өрістегі векторлық кеңістіктегі көп сызықты форма – әр аргументі бойынша жеке сызықты болатын бейнелеу. Жалпы алғанда, коммутативті сақинадағы модульде көп сызықты формаларды анықтауға болады. Дегенмен, осы мақаланың қалған бөлігі тек шекті өлшемді векторлық кеңістіктердегі көп сызықты формаларды қарастырады. Көп сызықты форма (ковариантты) тензор деп аталады, ал мұндай формалардың векторлық кеңістігі әдетте немесе деп белгіленеді.

Билинеарлық нысандар

Егер , онда бұл билинейрлік форма деп аталады. (Симметриялық) билинейрлік форманың кең таралған және маңызды мысалы — векторлардың стандартты ішкі көбейтіндісі (скалярлық көбейтіндісі).

Сыртқы өнім

Кезектесетін көпсызықты формалардың тензорлық көбейтіндісі, әдетте, кезектесетін қасиетін жоғалтады. Алайда, тензорлық көбейтіндінің барлық мүмкіндіктері бойынша қосымшаны есепке алып, әрбір мүшенің тақтылығын қарастыра отырып, көпвекторлардың сыртқы көбейтіндісі (сонымен қатар, қиылыс көбейтіндісі деп те аталады) анықталуы мүмкін, яғни егер және болса, онда:

мұндағы қосынды жиынның барлық мүмкіндіктері бойынша жасалады, – элементтер саны. Сыртқы көбейтінді екісызықты, ассоциативті және градуирленген кезектесетін қасиетке ие: егер және болса, онда

-ға сәйкес база және -ға сәйкес қос база берілгенде, сыртқы көбейтінділер , мұндағы , -тің базасын құрайды. Осылайша, n өлшемді -тің өлшемі .

Дифференциалдық нысандар

Дифференциалдық нысандар – классикалық мағынадағы дифференциалдар сияқты көптеген жағдайларда қасиет көрсететін, тангенстік кеңістіктер мен көпсызықты нысандар арқылы құрылған математикалық объектілер. Концептуалды және есептеулік тұрғыдан пайдалы болғанымен, дифференциалдар математикалық анализ тарихының басында дамыған, шексіз кішкентай шамалардың дұрыс анықталмаған түсініктеріне негізделген. Дифференциалдық нысандар осы ұзақ жылдар бойы қалыптасқан идеяны жаңғырту үшін математикалық тұрғыдан қатаң және дәл негіз ұсынады. Дифференциалдық нысандар көп айнымалы есептеуде (анализде) және дифференциалдық геометрияда ерекше пайдалы, себебі олардың түрлендіру қасиеттері қисықтарда, беттерде және олардың жоғары өлшемді аналогтарында (дифференциалдық көптүрліліктерде) интегралдануына мүмкіндік береді. Бір маңызды қолданыс – бұл Стокс теоремасының қазіргі заманғы тұжырымы, ол есептеудің негізгі теоремасының жоғары өлшемдерге кеңейтілген жалпыламасы. Төмендегі синопсис негізінен Spivak (1965) және Tu (2011) еңбектеріне сүйенеді. Осылайша, стандартты базистің дуалы , базисін құрайды. Салдарынан, егер болса, онда оны тегіс функциялар арқылы жазуға болады. Әрі, біз жалпы дифференциалдың классикалық өрнегімен сәйкес келетін өрнегін шығара аламыз: [Ескертпелер: Бұл мақалада тензорлық есептеу және дифференциалдық геометриядағы конвенцияны қолданамыз, онда мультивекторлар мен мультиковекторлар тиісінше төменгі және жоғарғы индекстермен жазылады. Дифференциалдық нысандар мультивекторлық өрістер болғандықтан, оларды индекстеу үшін жоғарғы индекстер қолданылады. атақты Стокс теоремасын (Стокс–Картан теоремасын) тізбектер үшін тұжырымдауға мүмкіндік береді: Егер ашық жиынтықтағы тегіс форма болса және , онда. Күрделі механизмдерді (мысалы, микробтар мен туындылар) пайдаланып, кез келген тегіс көптүрліліктің (қажетті түрде енбеген) тангенстік кеңістігін анықтауға болады. Сол сияқты, жалпы тегіс көптүрліліктегі дифференциалдық форма – бұл карта. Стокс теоремасы шекарасы бар кез келген тегіс көптүрліліктерге және тіпті кейбір "дөңгелектелмеген" домендерге одан әрі жалпылауға болады (толық ақпарат үшін Стокс теоремасы туралы мақаланы қараңыз).

Differential forms are mathematical objects constructed via tangent spaces and multilinear forms that behave, in many ways, like differentials in the classical sense. Though conceptually and computationally useful, differentials are founded on ill defined notions of infinitesimal quantities developed early in the history of calculus. Differential forms provide a mathematically rigorous and precise framework to modernize this long standing idea. Differential forms are especially useful in multivariable calculus (analysis) and differential geometry because they possess transformation properties that allow them be integrated on curves, surfaces, and their higher dimensional analogues (differentiable manifolds). One far reaching application is the modern statement of Stokes' theorem, a sweeping generalization of the fundamental theorem of calculus to higher dimensions. The synopsis below is primarily based on Spivak (1965) and Tu (2011). Thus, as the dual of the standard basis for , forms a basis for As a consequence, if is a 1 form on , then can be written as for smooth functions Furthermore, we can derive an expression for that coincides with the classical expression for a total differential:

[Comments on notation: In this article, we follow the convention from tensor calculus and differential geometry in which multivectors and multicovectors are written with lower and upper indices, respectively. Since differential forms are multicovector fields, upper indices are employed to index them. allows us to state the celebrated Stokes' theorem (Stokes–Cartan theorem) for chains in a subset of : If is a smooth form on an open set and is a smooth chain in , then. Using more sophisticated machinery (e. g., germs and derivations), the tangent space of any smooth manifold (not necessarily embedded in ) can be defined. Analogously, a differential form on a general smooth manifold is a map Stokes' theorem can be further generalized to arbitrary smooth manifolds with boundary and even certain "rough" domains (see the article on Stokes' theorem for details).