Введение
Отображение из нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
In abstract algebra and multilinear algebra, a multilinear form on a vector space over a field is a map
that is separately linear in each of its arguments. More generally, one can define multilinear forms on a module over a commutative ring. The rest of this article, however, will only consider multilinear forms on finite dimensional vector spaces. A multilinear form on over is called a (covariant) tensor, and the vector space of such forms is usually denoted or .
В абстрактной алгебре и многолинейной алгебре, многолинейная форма на векторном пространстве над полем – это отображение, которое линейно по каждому из своих аргументов в отдельности. В более общем случае, можно определить многолинейные формы на модуле над коммутативным кольцом. Однако, в остальной части этой статьи будут рассматриваться только многолинейные формы на конечномерных векторных пространствах. Многолинейная форма на называется (ковариантным) тензором, а векторное пространство таких форм обычно обозначается или .
In abstract algebra and multilinear algebra, a multilinear form on a vector space over a field is a map
that is separately linear in each of its arguments. More generally, one can define multilinear forms on a module over a commutative ring. The rest of this article, however, will only consider multilinear forms on finite dimensional vector spaces. A multilinear form on over is called a (covariant) tensor, and the vector space of such forms is usually denoted or .
Билинеальные формы
Если , то это называется двулинейной формой. Хорошо известный и важный пример (симметричной) билинейной формы — стандартное внутреннее произведение (скалярное произведение) векторов.
Внешний вид
Тензорное произведение чередующихся многолинейных форм, как правило, перестает быть чередующимся. Однако, суммируя по всем перестановкам тензорного произведения с учетом знака каждой перестановки, можно определить внешний (или клиновой) продукт мультиковекторов, так что если α и β, то:
где суммирование ведется по множеству всех перестановок из n элементов, обозначаемых через σ. Внешний продукт билинеен, ассоциативен и градуированно чередующийся: если α и β, то
Для заданного базиса {eᵢ} для V и двойственного базиса {eⁱ} для V*, внешние произведения eᵢ₁ ∧ … ∧ eᵢₙ, где i₁ < … < iₙ, образуют базис ∧ⁿV*. Следовательно, размерность ∧ⁿV для n-мерного V равна C(n, n) = 1.
Дифференциальные формы
Дифференциальные формы — это математические объекты, построенные с использованием тангентных пространств и мультилинейных форм, которые во многом ведут себя как дифференциалы в классическом смысле. Хотя они концептуально и вычислительно полезны, дифференциалы основаны на недостаточно чётких понятиях бесконечно малых величин, разработанных на ранних этапах истории математического анализа. Дифференциальные формы предоставляют математически строгую и точную основу для модернизации этой давней идеи. Дифференциальные формы особенно полезны в многомерном исчислении (анализе) и дифференциальной геометрии, поскольку они обладают свойствами преобразования, позволяющими интегрировать их по кривым, поверхностям и их более высокомерным аналогам (дифференцируемым многообразиям). Одним из важных применений является современная формулировка теоремы Стокса — широкое обобщение фундаментальной теоремы исчисления на более высокие размерности. Нижеприведенный обзор основан главным образом на работах Spivak (1965) и Tu (2011). Таким образом, как двойственное к стандартному базису для , образует базис для . Следовательно, если является 1-формой на , то её можно представить в виде для гладких функций . Кроме того, мы можем вывести выражение для , которое совпадает с классическим выражением для полного дифференциала:
[Комментарии к обозначениям: В этой статье мы следуем условности, принятой в тензорном исчислении и дифференциальной геометрии, согласно которой мультивекторы и мультиковекторы записываются с нижними и верхними индексами соответственно. Поскольку дифференциальные формы являются мультивекторными полями, для их индексации используются верхние индексы. Это позволяет нам сформулировать знаменитую теорему Стокса (теорему Стокса — Картана) для цепей в подмножестве : Если является гладкой -формой на открытом множестве , а является гладкой цепью в , то . Используя более сложные методы (например, зародыши и производные), можно определить тангентное пространство любого гладкого многообразия (не обязательно вложенного в ). Аналогично, дифференциальная форма на общем гладком многообразии является отображением . Теорему Стокса можно ещё больше обобщить на произвольные гладкие многообразия с границей и даже на некоторые "негладкие" области (см. статью о теореме Стокса для получения подробной информации).