Кіріспе
Физикалық жүйелердің уақыт бойынша өзгеруін басқаратын теңдеулер
Физика, химия және осымен байланысты салаларда, негізгі теңдеулер жүйенің кез келген уақытта күйлердің ықтималдық комбинациясында екендігін модельдеуге мүмкіндік береді және күйлер арасындағы ауысу өтпелі жылдамдық матрицасымен анықталады. Бұл теңдеулер – жүйенің әр түрлі күйлерді қамтитын ықтималдығының уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жиынтығы. Атауы 1940 жылы ұсынылған. Мәтін: Элементар процестердің ықтималдығы белгілі болғанда, W үшін үздіксіздік теңдеуін жазуға болады, одан басқа барлық теңдеулер туындайды және біз оны "негізгі" теңдеу деп атаймыз. | Тақырыбы: Космикалық сәулелердің таралу теориясы I: Жүндей модель және флуктуация мәселесі (1940) | Авторы: Нордсик, Лэмб және Уленбек.
text = When the probabilities of the elementary processes are known, one can write down a continuity equation for W, from which all other equations can be derived and which we will call therefore the "master” equation. | title = On the theory of cosmic ray showers I the furry model and the fluctuation problem (1940)
| author = Nordsieck, Lamb, and Uhlenbeck
Кіріспе
Бас теңдеу – жүйенің дискретті күйлер жиынтығын үздіксіз уақыт айнымалысы t-ға қатысты иелену ықтималдығының (әдетте) уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын бірінші реттік дифференциалдық теңдеулердің феноменологиялық жиынтығы. Бас теңдеудің ең танымал түрі – матрицалық форма:
мұнда – баған вектор, ал – байланыстар матрицасы. Күйлер арасындағы байланыстардың орнатылуы проблеманың өлшемділігін анықтайды; ол d өлшемді жүйе (d = 1, 2, 3, ...) болуы мүмкін, онда кез келген күй дәл 2d жақын көршісімен байланысады, немесе әрбір күй жұбы байланысқа ие болуы мүмкін желі (желінің қасиеттеріне байланысты). Егер байланыстар уақыттан тәуелсіз жылдамдық константалары болса, бас теңдеу кинетикалық схеманы көрсетеді, ал процесс Марковтық болады (i күйі үшін кез келген секіру уақытының ықтималдық тығыздық функциясы экспоненциалды, оның жылдамдығы байланыс мәніне тең). Егер байланыстар нақты уақытқа тәуелді болса (яғни, матрица уақыттан тәуелді, ), процесс тұрақты емес және бас теңдеу былай жазылады:
a d dimensional system (where d is 1,2,3, ), where any state is connected with exactly its 2d nearest neighbors, or
a network, where every pair of states may have a connection (depending on the network's properties). When the connections are time independent rate constants, the master equation represents a kinetic scheme, and the process is Markovian (any jumping time probability density function for state i is an exponential, with a rate equal to the value of the connection). When the connections depend on the actual time (i. e. matrix depends on the time, ), the process is not stationary and the master equation reads
Егер байланыстар көп экспоненциалды секіру уақытының ықтималдық тығыздық функцияларын көрсететін болса, процесс жартылай Марковтық болады, ал қозғалыс теңдеуі жалпыланған бас теңдеу деп аталатын интегралды-дифференциалдық теңдеу болады:
Матрица сондай-ақ туу және өлімді де білдіре алады, яғни, ықтималдық жүйеге қосылады (туу) немесе алынады (өлім), және бұл жағдайда процесс тепе-теңдік күйде болмайды.
Бас теңдеулердің мысалдары
Классикалық, кванттық механикадағы және басқа ғылымдардағы көптеген физикалық проблемаларды негізгі теңдеу түріне дейін тоғытуға болады, осылайша мәселенің шешілуін қатты жеңілдетуге болады (математикалық модельді қараңыз). Кванттық механикадағы Линдблад теңдеуі – тығыздық матрицасының уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын негізгі теңдеудің жалпыланған түрі. Линдблад теңдеуі жиі негізгі теңдеу деп аталғанымен, ол дәстүрлі мағынадағы негізгі теңдеу емес, себебі ол тек ықтималдықтардың (тығыздық матрицасының диагональдық элементтері) уақыт бойынша өзгеруін ғана емес, сонымен қатар жүйенің күйлері арасындағы кванттық когеренция туралы ақпаратты қамтитын шамаларды да басқарады. Негізгі теңдеудің тағы бір ерекше жағдайы – үздіксіз ықтималдық таралуының уақыт бойынша өзгеруін сипаттайтын Фоккер-Планк теңдеуі. Анализдік шешім табу қиын күрделі негізгі теңдеулерді түрлі жуықтаулар қолданып, жүйе мөлшерін кеңейту сияқты жуықтау әдістері арқылы осы формаға келтіруге болады. Стохастикалық химиялық кинетика – Мастер теңдеуінің тағы бір мысалы. Химиялық негізгі теңдеу химиялық реакциялар жиынтығын модельдеу үшін қолданылады, егер бір немесе бірнеше түрдің молекулаларының саны аз болса (100 немесе 1000 молекула шамасында). Химиялық Мастер теңдеулері сондай-ақ ДНҚ зақымдану сигналы, Candida albicans саңырауқұлақтық патоген сияқты өте үлкен модельдер үшін де алғаш рет шешілді.
Кванттық негізгі теңдеулер
Кванттық бас теңдеу – бас теңдеу тұжырымының кеңейтілген түрі. Ықтималдықтар жиынтығы үшін дифференциалдық теңдеулер жүйесінен (ол тығыздық матрицасының тек диагональдық элементтерін ғана құрайды) өзгеше, кванттық бас теңдеулер – диагональдық емес элементтерін қоса алғанда, бүкіл тығыздық матрицасы үшін дифференциалдық теңдеулер. Тек диагональдық элементтері ғана бар тығыздық матрицасын классикалық кездейсоқ процесс ретінде модельдеуге болады, сондықтан мұндай "қалыпты" бас теңдеу классикалық деп есептеледі. Диагональдық емес элементтер кванттық когеренттілікті көрсетеді, ол кванттық механикаға тән физикалық қасиет. Редфилд теңдеуі және Линдблад теңдеуі – Марковтық деп есептелетін шамамен кванттық бас теңдеулердің мысалдары. Белгілі бір қолданулар үшін одан да дәл кванттық бас теңдеулерге полярон түрлендірілген кванттық бас теңдеу және VPQME (вариациялық полярон түрлендірілген кванттық бас теңдеу) жатады.