Введение
Уравнения, описывающие эволюцию во времени физических систем
В физике, химии и смежных областях мастер-уравнения используются для описания эволюции во времени системы, которую можно смоделировать как вероятностную комбинацию состояний в любой данный момент времени, а переходы между состояниями определяются матрицей скоростей переходов. Уравнения представляют собой набор дифференциальных уравнений, описывающих изменение вероятностей нахождения системы в каждом из различных состояний с течением времени. Название было предложено в 1940 году. Когда вероятности элементарных процессов известны, можно записать уравнение непрерывности для W, из которого могут быть выведены все остальные уравнения, и которое мы поэтому будем называть "главным уравнением".
text = When the probabilities of the elementary processes are known, one can write down a continuity equation for W, from which all other equations can be derived and which we will call therefore the "master” equation. | title = On the theory of cosmic ray showers I the furry model and the fluctuation problem (1940)
| author = Nordsieck, Lamb, and Uhlenbeck
Введение
Главное уравнение — это феноменологический набор дифференциальных уравнений первого порядка, описывающий эволюцию во времени (обычно) вероятности системы занимать каждое из дискретных состояний относительно непрерывной переменной времени t. Наиболее распространенная форма главного уравнения — матричная:
где — вектор-столбец, а — матрица связей. Способ установления связей между состояниями определяет размерность задачи: это либо d-мерная система (где d = 1, 2, 3, …), в которой каждое состояние связано ровно со своими 2d ближайшими соседями, либо сеть, где любая пара состояний может иметь связь (в зависимости от свойств сети). Если связи являются независимыми от времени константами скорости, то главное уравнение представляет собой кинетическую схему, а процесс является марковским (любая функция плотности вероятности времени перехода для состояния i является экспоненциальной, со скоростью, равной значению связи). Если связи зависят от времени (то есть матрица зависит от времени, ), то процесс является нестационарным, и главное уравнение имеет вид
a d dimensional system (where d is 1,2,3, ), where any state is connected with exactly its 2d nearest neighbors, or
a network, where every pair of states may have a connection (depending on the network's properties). When the connections are time independent rate constants, the master equation represents a kinetic scheme, and the process is Markovian (any jumping time probability density function for state i is an exponential, with a rate equal to the value of the connection). When the connections depend on the actual time (i. e. matrix depends on the time, ), the process is not stationary and the master equation reads
Если связи представляют собой многоэкспоненциальные функции плотности вероятности времени перехода, то процесс является полумарковским, а уравнение движения представляет собой интегрально-дифференциальное уравнение, называемое обобщенным главным уравнением:
Матрица также может представлять рождение и смерть, то есть вероятность вводится (рождение) или удаляется (смерть) из системы, и тогда процесс не находится в равновесии.
Примеры основных уравнений
Многие физические проблемы в классической и квантовой механике, а также задачи в других науках, могут быть сведены к виду главного уравнения, что значительно упрощает решение (см. математическую модель). Уравнение Линдблада в квантовой механике является обобщением главного уравнения, описывающего временную эволюцию матрицы плотности. Хотя уравнение Линдблада часто называют главным уравнением, оно не является таковым в обычном смысле, поскольку описывает эволюцию во времени не только вероятностей (диагональных элементов матрицы плотности), но и величин, содержащих информацию о квантовой когерентности между состояниями системы (недиагональных элементов матрицы плотности). Другим частным случаем главного уравнения является уравнение Фоккера — Планка, описывающее временную эволюцию непрерывного распределения вероятностей. Сложные главные уравнения, не поддающиеся аналитическому решению, могут быть приведены к этой форме (при различных приближениях) с использованием методов аппроксимации, таких как разложение по размеру системы. Стохастическая химическая кинетика — еще один пример главного уравнения. Химическое главное уравнение используется для моделирования набора химических реакций, когда число молекул одного или нескольких видов невелико (порядка 100 или 1000 молекул). Химические главные уравнения также применяются для решения задач для очень больших моделей, таких как сигнал повреждения ДНК и грибковой патоген Candida albicans, впервые.
Квантовые мастер-уравнения
Квантовое мастер-уравнение является обобщением концепции мастер-уравнения. В отличие от простой системы дифференциальных уравнений для набора вероятностей (которые описывают только диагональные элементы матрицы плотности), квантовые мастер-уравнения представляют собой дифференциальные уравнения для всей матрицы плотности, включая внедиагональные элементы. Матрицу плотности, состоящую только из диагональных элементов, можно смоделировать как классический случайный процесс, поэтому такое "обычное" мастер-уравнение считается классическим. Внедиагональные элементы отражают квантовую когерентность – физическую характеристику, присущую квантовой механике. Уравнение Редфилда и уравнение Линдблада являются примерами приближенных квантовых мастер-уравнений, предполагающих марковские свойства. К более точным квантовым мастер-уравнениям для определенных приложений относятся полярон-преобразованное квантовое мастер-уравнение и VPQME (вариационное полярон-преобразованное квантовое мастер-уравнение).