Ассоциативті алгебралардың өкілдіктері

Кіріспе

Абстракт алгебрада ассоциативтік алгебраның бейнесі – сол алгебраның модулі. Мұнда ассоциативтік алгебра – (қажетті түрде бірлік емес) сақина болып табылады. Егер алгебра бірлік емес болса, оны стандартты тәсілмен бірлікке толықтыруға болады (қосымша функторлар бетіне қараңыз); нәтижесінде алынған бірлік сақинасының модульдері мен алгебраның бейнелері арасында ешқандай маңызды айырмашылық жоқ, мұнда бірлік элементі өзін-өзі бейнелеу арқылы әрекет етеді.

Сызықтық кешенді құрылым

Ең қарапайым емес мысалдардың бірі – сызықтық кешенді құрылым, ол кешенді сандардың C бейнесін, нақты сандар R арқылы анықталатын ассоциативтік алгебра ретінде қарастырады. Бұл алгебра нақты түрде келесідей жүзеге асырылады, бұл сәйкес келеді. Содан кейін C-нің бейнесі – V нақты векторлық кеңістігі, C-нің V-ге әсер етуімен (карта). Нақты айтқанда, бұл тек i әсері, себебі ол алгебраны тудырады, ал i-ді білдіретін оператор (i-нің End(V)-дегі бейнесі) сәйкестік матрицасы I-мен шатасуды болдырмау үшін J деп белгіленеді.

Көптамалық алгебралар

Полиномиялық алгебралардың бейнелері, еркін коммутативтік алгебралар – бұл үлгілердің тағы бір маңызды негізгі класы болып табылады және коммутативтік алгебрада және оның геометриялық аналогы – алгебралық геометрияда зерттеудің орталық нысаны құрайды. K өрісіндегі k айнымалысы бар полиномиялық алгебраның бейнеленуі – нақты K векторлық кеңістігі, онда k коммутациялайтын оператор бар, және көбінесе абстрактілі алгебраның бейнеленуі ретінде белгіленеді, мұнда . Мұндай бейнелеулер туралы негізгі нәтиже – алгебралық жабық өріс бойынша бейнелейтін матрицалардың бірдей үшбұрышты түрге келтірілуі. Полиномиялық алгебраны бір айнымалыда бейнелеу жағдайы да қызығушылық тудырады – бұл және шекті өлшемді векторлық кеңістіктегі бір сызықтық оператордың құрылымын түсіну үшін қолданылады. Атап айтқанда, осы алгебраға негізгі идеалдық домендегі шекті жасалған модульдер үшін құрылым теоремасын қолдану, матрицалардың әртүрлі канондық түрлерін, мысалы, Джорданның канондық түрін нәтиже ретінде береді. Коммутативті емес геометрияның кейбір тәсілдерінде еркін коммутативті емес алгебра (коммутацияламайтын айнымалылардағы полиномдар) ұқсас рөл атқарады, бірақ талдау әлдеқайда қиын.

Салмағы

Өздік мәндер мен өздік векторларды алгебралық өрнекестерге жалпылауға болады. Алгебралық өрнекестің өзіндік мәнінің жалпылануы – жекелеген скаляр емес, бір өлшемді өрнекес (яғни, алгебрадан оның негізгі сақинасына алгебралық гомоморфизм: көбейтуші сызықтық функционал). Бұл салмақ деп аталады, ал өздік вектор мен өздік кеңістіктің аналогы – салмақ векторы мен салмақ кеңістігі. Жеке оператордың өзіндік мәні алгебраға сәйкес келеді, ал алгебралардың бейнесі генератор T-ны қандай скалярға бейнелейтінімен анықталады. Алгебралық өрнекес үшін салмақ векторы – алгебраның кез келген элементі осы векторды өзінің еселігіне бейнелейтін вектор – бір өлшемді модульге (субөкілдікке). Жұптастыру сызықты болғандықтан, «қандай еселік» – A сызықтық функциясы (алгебралық бейне A → R), атап айтқанда салмақ. Белгілермен, салмақ векторы – кейбір сызықтық функционал үшін барлық элементтер үшін, сол жақтағы көбейту алгебралық әрекетті, ал оң жақтағы көбейту скалярлық көбейту екенін ескеріңіз. Салмақ коммутативті сақинаға бейнеленгендіктен, бейне алгебраның абелиандануы арқылы факторланады – теңдесінше, ол туынды алгебрада жоғалады. Матрицалар тұрғысынан, егер операторлардың ортақ өздік векторы болса және , онда (екі жағдайда да ол скалярлармен көбейту), сондықтан алгебраның ортақ өздік векторлары алгебра коммутативті әрекет ететін жиынтықта болуы керек (ол туынды алгебрамен жойылған). Осылайша, ең маңыздысы – еркін коммутативті алгебралар, атап айтқанда полиномдық алгебралар. Бұл өте қарапайым және маңызды жағдайда, алмасатын матрицалар жиынтығындағы полиномдық алгебраның салмақ векторы – бұл матрицалардың бірдей өздік векторы, ал бұл алгебраның салмағы – әр матрицаның өзіндік мәніне сәйкес келетін скалярлардың жиынтығы, демек, геометриялық түрде – кеңістіктегі нүкте. Бұл салмақтар – әсіресе олардың геометриясы – Ли алгебраларының өкілдік теориясын түсінуде маңызды, атап айтқанда жартылай қарапайым Ли алгебраларының шекті өлшемді өкілдіктерін. Осы геометрияны қолдану ретінде, генераторлар бойынша полиномдық алгебраның бөлігі болып табылатын алгебра берілген, ол геометриялық түрде өлшемді кеңістікте алгебралық сортқа сәйкес келеді, ал салмақ сортқа түсуі керек – яғни, ол сортты анықтайтын теңдеулерді қанағаттандырады. Бұл өздік мәндердің бір айнымалыдағы матрицаның сипаттамалық полиномын қанағаттандыратындығын жалпылайды.

Eigenvalues and eigenvectors can be generalized to algebra representations. The generalization of an eigenvalue of an algebra representation is, rather than a single scalar, a one dimensional representation (i. e., an algebra homomorphism from the algebra to its underlying ring: a linear functional that is also multiplicative). This is known as a weight, and the analog of an eigenvector and eigenspace are called weight vector and weight space. The case of the eigenvalue of a single operator corresponds to the algebra and a map of algebras is determined by which scalar it maps the generator T to. A weight vector for an algebra representation is a vector such that any element of the algebra maps this vector to a multiple of itself – a one dimensional submodule (subrepresentation). As the pairing is bilinear, "which multiple" is an A linear functional of A (an algebra map A → R), namely the weight. In symbols, a weight vector is a vector such that for all elements for some linear functional – note that on the left, multiplication is the algebra action, while on the right, multiplication is scalar multiplication. Because a weight is a map to a commutative ring, the map factors through the abelianization of the algebra – equivalently, it vanishes on the derived algebra – in terms of matrices, if is a common eigenvector of operators and , then (because in both cases it is just multiplication by scalars), so common eigenvectors of an algebra must be in the set on which the algebra acts commutatively (which is annihilated by the derived algebra). Thus of central interest are the free commutative algebras, namely the polynomial algebras. In this particularly simple and important case of the polynomial algebra in a set of commuting matrices, a weight vector of this algebra is a simultaneous eigenvector of the matrices, while a weight of this algebra is simply a tuple of scalars corresponding to the eigenvalue of each matrix, and hence geometrically to a point in space. These weights – in particularly their geometry – are of central importance in understanding the representation theory of Lie algebras, specifically the finite dimensional representations of semisimple Lie algebras. As an application of this geometry, given an algebra that is a quotient of a polynomial algebra on generators, it corresponds geometrically to an algebraic variety in dimensional space, and the weight must fall on the variety – i. e., it satisfies the defining equations for the variety. This generalizes the fact that eigenvalues satisfy the characteristic polynomial of a matrix in one variable.