Введение

В абстрактной алгебре представление ассоциативной алгебры является модулем над этой алгеброй. Здесь ассоциативная алгебра представляет собой (не обязательно унитарное) кольцо. Если алгебра не унитарна, её можно сделать унитарной стандартным образом (см. страницу о сопряжённых функторах); нет существенной разницы между модулями над полученным унитарным кольцом, в котором единичный элемент действует как тождественное отображение, и представлениями алгебры.

Линейная сложная структура

Одним из простейших нетривиальных примеров является линейная комплексная структура, которая представляет собой представление комплексных чисел C, рассматриваемых как ассоциативная алгебра над действительными числами R. Эта алгебра конкретно реализуется как , что соответствует . Тогда представление C – это реальное векторное пространство V вместе с действием C на V (отображение). Конкретно, это просто действие i, поскольку он порождает алгебру, а оператор, представляющий i (образ i в End(V)), обозначается J, чтобы избежать путаницы с единичной матрицей I.

Алгебры многочленов

Другим важным базовым классом примеров являются представления полиномиальных алгебр, свободных коммутативных алгебр – они образуют центральный объект изучения в коммутативной алгебре и ее геометрическом аналоге, алгебраической геометрии. Представление полиномиальной алгебры в k переменных над полем K конкретно представляет собой K-векторное пространство с k коммутирующими операторами и часто обозначается , обозначая представление абстрактной алгебры , где .

Основным результатом относительно таких представлений является то, что над алгебраически замкнутым полем представляющие матрицы одновременно приводимы к треугольному виду. Даже случай представлений полиномиальной алгебры в одной переменной представляет интерес – это обозначается и используется для понимания структуры единого линейного оператора на конечномерном векторном пространстве. В частности, применение теоремы о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этой алгебре дает в качестве следствия различные канонические формы матриц, такие как каноническая форма Жордана. В некоторых подходах к некоммутативной геометрии свободная некоммутативная алгебра (полиномы в некоммутирующих переменных) играет аналогичную роль, но анализ значительно сложнее.

Веса

Собственные значения и собственные векторы могут быть обобщены на алгебраические представления. Обобщением собственного значения алгебраического представления является не отдельный скаляр, а одномерное представление (то есть алгебраический гомоморфизм из алгебры в ее базовое кольцо: линейный функционал, который также является мультипликативным). Это известно как вес, а аналог собственного вектора и собственного пространства называется вектором веса и пространством веса. Случай собственного значения отдельного оператора соответствует алгебре, а отображение алгебр определяется скаляром, в который оно отображает генератор T. Вектор веса для алгебраического представления — это вектор, такой что любой элемент алгебры отображает этот вектор в кратное ему — одномерный подмодуль (подпредставление). Поскольку спаривание билинейно, "какое кратное" является линейным функционалом на A (алгебраическое отображение A → R), то есть весом. В символах, вектор веса — это вектор, такой что для всех элементов для некоторого линейного функционала – отметим, что слева умножение — это алгебраическое действие, а справа — скалярное умножение. Поскольку вес — это отображение в коммутативное кольцо, отображение факторизуется через абелинизацию алгебры — эквивалентно, оно обращается в нуль на производной алгебре. В терминах матриц, если является общим собственным вектором операторов и , то (поскольку в обоих случаях это просто умножение на скаляры), поэтому общие собственные векторы алгебры должны принадлежать множеству, на котором алгебра действует коммутативно (которое аннигилируется производной алгеброй). Таким образом, особый интерес представляют свободные коммутативные алгебры, а именно полиномиальные алгебры. В этом особенно простом и важном случае полиномиальной алгебры в наборе коммутирующих матриц вектор веса этой алгебры является одновременным собственным вектором матриц, а вес этой алгебры — это просто кортеж скаляров, соответствующих собственному значению каждой матрицы и, следовательно, геометрически — точка в пространстве. Эти веса — в особенности их геометрия — имеют центральное значение для понимания теории представлений алгебр Ли, в частности, конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. В качестве приложения этой геометрии, если алгебра является частным от деления полиномиальной алгебры на генераторов, она геометрически соответствует алгебраическому многообразию в пространстве измерений, и вес должен лежать на этом многообразии — то есть он удовлетворяет определяющим уравнениям для многообразия. Это обобщает тот факт, что собственные значения удовлетворяют характеристическому полиному матрицы от одной переменной.