Кіріспе

Сандық гармониялық талдаудағы трансформация

Сандық талдау және функционалдық талдауда дискретті толқынша трансформациясы (ДТТ) – толқыншалар дискретті түрде алынған кез келген толқынша трансформациясы. Басқа толқынша трансформациялары сияқты, оның Фурье трансформациясына қарағанда басты артықшылығы – уақыт бойынша ажыратымдылығы: ол жиілік және орналасу туралы ақпаратты (уақыт бойынша орналасуын) қамтиды.

Шаш толқындары

DWT-ны алғаш рет венгр математигі Альфред Хаар ойлап тапты. Сандар тізімі түрінде берілген кіріс үшін Haar толқыншасының түрлендіруі кіріс мәндерін жұптастырып, айырмасын сақтап, қосындысын жоғарылату ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл процесс рекурсивті түрде қайталанады, келесі деңгейді алу үшін қосындыларды жұптастырады, нәтижесінде айырмашылықтар мен соңғы қосынды пайда болады.

Даубечидің толқындықтары

Дискретті толқыншалық түрлендірулердің ең көп қолданылатын жиынтығын 1988 жылы бельгиялық математик Ингрид Добешиес жасаған. Бұл түрлендіру қайталану қатынастарын пайдалану арқылы жасырын аналық толқындық функцияның прогрессивті түрде ұсақ дискретті үлгілерін жасауға негізделген; әрбір деңгей алдыңғы деңгейден екі есе жоғары ажыратымдылыққа ие. Өзінің маңызды еңбегінде Добешиес толқыншалықтар отбасын тудырады, олардың біріншісі – Haar толқыншасы. Одан бері бұл салаға қызығушылық күрт өсті және Добешиестің бастапқы толқыншаларының көптеген нұсқалары әзірленді.

Қос ағашты кешенді толқындық трансформация (DCWT)

Қос ағашты кешенді толқындық трансформация (WT) дискретті толқындық трансформацияға (DWT) салыстырмалы түрде жаңа жетістік болып табылады, және маңызды қосымша қасиеттерге ие: ол екі және одан жоғары өлшемдерде дерлік ығысу инвариантты және бағытталған селективтілікке қол жеткізеді. Бұл артықшылық коэффициенті тек қана құрайды, бұл шексіз емес DWT-дан едәуір төмен. Көпөлшемді (M D) қос ағашты WT ажыратылмайды, бірақ есептеу тиімділігі жоғары ажыратылатын сүзгілер жинағына (FB) негізделген.

Басқалар

Дискретті толқынша түрлендірудің басқа түрлеріне Дидье Ле Галл мен Али Ж. Табатабайдың 1988 жылы әзірлеген Ле Галл – Табатабай (LGT) 5/3 толқыншасы (JPEG 2000 немесе JPEG XS стандартында қолданылады), 1990 жылы Али Наси Акансу әзірлеген Биномиалдық QMF, 1996 жылы Әмір Саид пен Уильям А. Перлманның әзірлеген иерархиялық ағаштардағы бөлу (SPIHT) алгоритмі, төмендетілмеген немесе шексіз толқынша түрлендіруі (онда төменгі дискретизация қолданылмайды) және Ньюленд түрлендіруі (онда толқыншалардың ортонормальдік базасы жиілік кеңістігінде дұрыс құрылған «цилиндр» сүзгілерінен жасалады) жатады. Толқынша пакеттік түрлендірулер де дискретті толқынша түрлендіруімен байланысты. Күрделі толқынша түрлендіруі – тағы бір түрі.

Қасиеттері

Haar DWT жалпы толқынның қалаулы қасиеттерін көрсетеді. Біріншіден, оны шектеулі операциялар арқылы орындауға болады; екіншіден, ол әртүрлі масштабтарда қарастырып, кірістің жиілік құрамын ғана емес, сонымен қатар уақыт бойынша ақпаратын, яғни осы жиіліктердің қай уақытта пайда болатынын анықтайды. Осы екі қасиеттің үйлесімі жылдам толқындық трансформацияны (FWT) дәстүрлі жылдам Фурье трансформациясына (FFT) альтернатива ретінде қарастыруға мүмкіндік береді.

Уақыт мәселесі

Сүзгі банкіндегі жылдамдық өзгерту операторларының әсерінен дискретті WT уақыт бойынша өзгермейді, бірақ сигналдың уақытқа қатысты дұрыс орналасуына өте сезімтал. Толқындық трансформациялардың уақытқа байланысты өзгеру мәселесін шешу үшін Маллат пен Чжон сигналдың толқындық бейнелеуі үшін жаңа алгоритм ұсынды, ол уақытқа қатысты жылжуларға төзімді. TI DWT деп аталатын бұл алгоритмге сәйкес, тек масштаб параметрі 2^j (j∈Z) екілік тізбегі бойынша дискреттеледі және толқындық трансформация әрбір уақыт мезгілі үшін есептеледі.

Қолданбалар

Дискретті толқындық трансформация ғылымда, инженерияда, математикада және компьютерлік ғылымда кеңінен қолданылады. Ең бастысы, ол сигналдарды кодтау үшін, дискретті сигналды көбірек қайталамалы түрде бейнелеу үшін, көбінесе деректерді сығуға дайындық ретінде пайдаланылады. Іс жүзіндегі қолданыстарына қадамдарды талдау үшін үдеуді өңдеу, бейне өңдеу, цифрлық байланыс және тағы да көптеген салалар жатады. Дискретті толқындық трансформация (өлшемі мен ығысуы бойынша дискретті, ал уақыт бойынша үздіксіз) биомедициналық сигналдарды өңдеуде, сондай-ақ төмен қуатты жүрек стимуляторын жасауда аналогты сүзгілер жинағы ретінде және кең жолақты (UWB) сымсыз байланыста сәтті қолданылатыны дәлелденді.

Аналық толқынның байланысы

Толқындық фильтрлерді іске асыру толқын коэффициенттерін есептеу ретінде түсіндірілуі мүмкін, берілген аналық толқын үшін дискретті бала толқындар жиынтығы бойынша. Дискретті толқындық түрлендіру жағдайында аналық толқын екінің дәрежелерімен жылдырылады және масштабталады, мұнда масштаб параметрі және жылжу параметрі – екеуі де бүтін сандар. Естеріңізге сала кетейік, сигналдың толқынша коэффициенті – бұл сигналдың толқыншаға проекциясы, ал сигналдың ұзындығы болсын. Жоғарыда аталған дискретті отбасыдағы бала толқыншасы үшін, енді масштабты белгілі бір мәнге бекітейік, сонда ол тек жылжу параметрінің функциясы болады. Жоғарыдағы теңдеуге сәйкес, аналық толқынның кеңейтілген, кері айналдырылған және нормаланған түрі, нүктелерінде дискреттелген, конволюция ретінде қарастырылуы мүмкін. Бірақ бұл дискретті толқындық түрлендірудің деңгейіндегі егжей-тегжейлі коэффициенттердің мәнімен сәйкес келеді. Сондықтан, және дұрыс таңдалған жағдайда, фильтр банкінің егжей-тегжейлі коэффициенттері берілген аналық толқын үшін дискретті бала толқындар жиынтығының толқынша коэффициенттерімен дәл сәйкес келеді. Мысал ретінде, дискретті Haar толқынын қарастырайық, оның аналық толқыны . Осы толқынның кеңейтілген, кері айналдырылған және нормаланған түрі , бұл, шындығында, дискретті Haar толқындық түрлендіруінің жоғары өткізгіштіктің ыдырау фильтрі болып табылады.

Уақыт күрделілігі

Дискретті толқындық трансформацияның сүзгі банкі іске асырылуы, жылдам Фурье трансформациясы үшін O(N log N) қажет болатын жағдайларда, белгілі бір жағдайларда O(N) ғана қажет етеді. Егер және екеуі де тұрақты ұзындықта болса (яғни, олардың ұзындығы N-ден тәуелсіз болса), онда және әрқайсысы O(N) уақытты алады. Толқындық сүзгі банкі осы екі O(N) конволюцияның әрқайсысын жасайды, содан кейін сигналды N/2 өлшемді екі тармаққа бөледі. Бірақ ол тек жоғарғы тармақты рекурсивті түрде бөледі (FFT-мен салыстырғанда, ол жоғарғы және төменгі тармақтарды екеуін де рекурсивті түрде бөледі). Бұл келесі рекурренттік қатынасқа әкеледі, ол жоғарыдағы қатынастың геометриялық тізбектік кеңейтуі арқылы көрсетілгендей, бүкіл операция үшін O(N) уақытты қамтамасыз етеді. Мысалы, дискретті Haar толқыншасының трансформациясы сызықтық, себебі бұл жағдайда және тұрақты ұзындықта, 2-ге тең. Толқынның жергіліктілігі, O(N) күрделілігімен бірге, трансформацияның онлайн режимінде (ағын бойынша) есептелуін қамтамасыз етеді. Бұл қасиет FFT-ге қарама-қарсы келеді, ол сигналдың барлық бөлігіне бірден қол жеткізуді талап етеді. Бұл көп масштабты трансформацияға, сондай-ақ көп өлшемді трансформацияларға (мысалы, 2D DWT) да қатысты.

Басқа түрлендірулер

Портативті желілік графика (PNG) форматында өзара байланыстыру үшін қолданылатын Adam7 алгоритмі, Haar толқындары бар DWT-ге ұқсас деректердің көп масштабты моделі болып табылады. DWT-ден айырмашылығы, оның нақты масштабы бар – ол 8×8 блогынан басталады және кескінді азайтудың орнына (төмен өткізгіш сүзгілеу, содан кейін азайту) төмендетеді. Осылайша, ол жиілік бойынша нашаррақ мінез-құлық көрсетеді, қарапайым іске асыру үшін ерте кезеңдерде артефакттарды (пикселдеуді) көрсетеді. Мультипликативті (немесе геометриялық) дискретті толқындық трансформация – бұл оң реттелген функция мен мультипликативті тәуелсіз оң шудың өзара әрекеттесуін қамтитын бақылау моделіне қолданылатын нұсқа. Толқындық трансформацияны деп белгілейік. Егер , онда стандартты (қосымша) дискретті толқындық трансформация болады, мұнда егжей-тегжейлі коэффициенттер көбінесе сирек деп қарастырылмайды, себебі соңғы өрнекте коэффициентінің үлесі бар. Мультипликативті аяда толқындық трансформация болады. Толқыншаларды мультипликативті алгебраға «енгізу» жалпыланған мультипликативті жуықтаулар мен егжей-тегжейлі операторларды қамтиды: Мысалы, Haar толқыншалары үшін, нормалау коэффициентіне дейін, стандартты жуықтаулар (арифметикалық орташа) және егжей-тегжейлі (арифметикалық айырмашылықтар) тиісінше геометриялық орташа жуықтаулар және геометриялық айырмашылықтар (егжей-тегжейлі) болады.

Жоғарыда көрсетілген кодтың мысалы

Бұл сурет жоғарыда келтірілген кодты дыбыс толқынына Haar толқындық коэффициенттерін есептеу үшін қолдану мысалын көрсетеді. Бұл мысал толқындық түрлендірудің екі маңызды қасиетін көрсетеді:

Табиғи сигналдар көбінесе белгілі бір деңгейде тегіс болады, бұл оларды толқындық доменде сирек етеді. Осы мысалда толқындық домендегі маңызды компоненттер уақыт доменіне қарағанда әлдеқайда аз, және маңызды компоненттердің көп бөлігі сол жақтағы жалпы коэффициенттерге қарай жинақталған. Сондықтан табиғи сигналдар толқындық доменде сығылымалы. Толқындық түрлендіру – сигналдың көп ажыратымдылықты, жолақты өткізгіштік бейнелеуі болып табылады. Бұл осы мақалада келтірілген дискретті толқындық түрлендірудің сүзгілер жинағының анықтамасынан тікелей көрінеді. Ұзындығы *N* болатын сигнал үшін, *j* диапазонындағы коэффициенттер бастапқы сигналдың өткізгіш жолағындағы нұсқасын көрсетеді. Сондықтан осы диапазондарды ұлғайтқанда толқындық коэффициенттерінің құрылымы бастапқы сигналға өте ұқсас болып көрінеді. Сол жаққа жақын диапазондар (жоғарыдағы белгіде үлкен *j* мәнімен) – сигналдың жалпы көрінісін, ал оң жаққа жақын диапазондар – оның ұсақ бөлшектерін көрсетеді.