Толқыншалар және физикадағы қолданысы

Кіріспе

Функция интегралды Фурье тәрізді трансформация үшін, физикадағы түсінік

Толқындық – бұл нөлден басталатын, жоғарылайтын немесе төмендейтін, содан кейін бір немесе бірнеше рет нөлге оралатын амплитудасы бар толқын тәрізді тербеліс. Толқындықтар "қысқа тербеліс" деп аталады. Толқынның импульстарының саны мен бағытына қарай толқынның таксономиясы құрылған. Толқындықтар сигналды өңдеуде пайдалы болатын нақты қасиеттерге ие. Мысалы, толқындықтың жиілігі ортаңғы До нотасына тең және шамамен секундтың оннан бір бөлігіне жуық ұзақтықта болуы мүмкін. Егер бұл толқынды әуенді жазудан алынған сигналмен конволюцияланса, нәтижедегі сигнал әннің ортаңғы До нотасы қай кезде пайда болғанын анықтау үшін пайдалы болады. Математикалық тұрғыдан алғанда, сигналдың бір бөлігі ұқсас болса, толқындық сигналмен корреляцияланады. Корреляция көптеген практикалық толқындық қолданулардың негізі болып табылады. Математикалық құрал ретінде толқындықтар аудиосигналдар мен кескіндерді қоса алғанда, көптеген деректерден ақпаратты алу үшін қолданылуы мүмкін. Деректерді толық талдау үшін толқындықтар жиынтығы қажет. "Толықтыратын" толқындықтар сигналды саңылаусыз немесе бір-бірімен қабаттаспай ыдыратады, сондықтан ыдырату процесі математикалық жағынан қайтымды болады. Осылайша, толықтыратын толқындықтар жиынтығы толқындық негізіндегі сығу/декомпрессия алгоритмдерінде пайдалы, онда бастапқы ақпаратты ең аз жоғалтумен қалпына келтіру қажет. Формальды түрде, бұл бейнелеу – квадраттық интегралданатын функциялардың Гильберт кеңістігі үшін негіздік функциялардың толық, ортонормалды жиынтығына немесе векторлық кеңістіктің артық жиынтығына немесе фрейміне қатысты квадраттық интегралданатын функциялардың толқындық қатарлы бейнелеуі болып табылады. Бұл когерентті күйлер арқылы жүзеге асырылады. Классикалық физикада дифракция құбылысы Хюйгенс-Френель принципімен сипатталады, ол таралатын толқынның әрбір нүктесін жеке шар тәрізді толқынның жиынтығы ретінде қарастырады. Ерекше иілу үлгісі когерентті көзден (мысалы, лазерден) келетін толқын оның толқын ұзындығымен салыстырылатын саңылауға/апертураға кездескенде ең айқын байқалады. Бұл толқын фронтындағы әртүрлі нүктелердің (немесе, баламалы түрде, әрбір толқынның) әртүрлі ұзындықтағы жолдармен тіркелетін бетке баратын қосылуынан немесе араласуынан туындайды. Бір-біріне жақын орналасқан көптеген саңылаулар (мысалы, дифракциялық тор) әртүрлі интенсивті күрделі үлгіге әкелуі мүмкін.

A wavelet is a wave like oscillation with an amplitude that begins at zero, increases or decreases, and then returns to zero one or more times. Wavelets are termed a "brief oscillation". A taxonomy of wavelets has been established, based on the number and direction of its pulses. Wavelets are imbued with specific properties that make them useful for signal processing. For example, a wavelet could be created to have a frequency of Middle C and a short duration of roughly one tenth of a second. If this wavelet were to be convolved with a signal created from the recording of a melody, then the resulting signal would be useful for determining when the Middle C note appeared in the song. Mathematically, a wavelet correlates with a signal if a portion of the signal is similar. Correlation is at the core of many practical wavelet applications. As a mathematical tool, wavelets can be used to extract information from many kinds of data, including audio signals and images. Sets of wavelets are needed to analyze data fully. "Complementary" wavelets decompose a signal without gaps or overlaps so that the decomposition process is mathematically reversible. Thus, sets of complementary wavelets are useful in wavelet based compression/decompression algorithms, where it is desirable to recover the original information with minimal loss. In formal terms, this representation is a wavelet series representation of a square integrable function with respect to either a complete, orthonormal set of basis functions, or an overcomplete set or frame of a vector space, for the Hilbert space of square integrable functions. This is accomplished through coherent states. In classical physics, the diffraction phenomenon is described by the Huygens–Fresnel principle that treats each point in a propagating wavefront as a collection of individual spherical wavelets. The characteristic bending pattern is most pronounced when a wave from a coherent source (such as a laser) encounters a slit/aperture that is comparable in size to its wavelength. This is due to the addition, or interference, of different points on the wavefront (or, equivalently, each wavelet) that travel by paths of different lengths to the registering surface. Multiple, closely spaced openings (e. g., a diffraction grating), can result in a complex pattern of varying intensity.

Этимология

Уэвлет сөзі ондаған жылдар бойы цифрлық сигналдарды өңдеу және геологиялық барлауда қолданылып келеді. Француз тіліндегі "онделет" сөзі, "кішкентай толқын" деген мағынаны білдіріп, 1980 жылдардың басында Морле мен Гроссман қолданған.

Толқындық теория

Толқындық теория бірнеше салаға қолданылады. Барлық толқындық түрлендірулер үздіксіз уақыт (аналогты) сигналдар үшін уақыт-жиілік бейнелеу нысандары ретінде қарастырылуы мүмкін, сондықтан олар гармониялық талдаумен байланысты. Дискретті уақыт (үлгіленген) сигналдың дискретті толқындық түрлендіруі (уақытта үздіксіз), дикадиялық (октавалық) конфигурациядағы дискретті уақыт сүзгілерін қолдану арқылы, сол сигналға толқындық жуықтама болып табылады. Мұндай сүзгілер банкінің коэффициенттері толқындық терминологияда жылғаю және масштабтау коэффициенттері деп аталады. Бұл сүзгілер банкі шекті импульстік жауап (FIR) немесе шексіз импульстік жауап (IIR) сүзгілерін қамтуы мүмкін. Үздіксіз толқындық түрлендіруді (CWT) құрайтын толқындықтар Фурье талдауының тиісті үлгілеу теориясының белгісіздік принципіне бағынады: сигналда қандай да бір оқиға болған жағдайда, сол оқиғаға бір мезгілде нақты уақыт және жиілік жауап шкаласын анықтау мүмкін емес. Уақыт және жиілік жауап шкаласының белгісіздіктерінің көбейтіндісінің ең төменгі шегі бар. Осылайша, осы сигналдың үздіксіз толқындық түрлендіруінің масштабтауында мұндай оқиға бір нүкте емес, уақыт-шкала жазықтығындағы толық аймақты көрсетеді. Сондай-ақ, дискретті толқындық базалар белгісіздік принципінің басқа түрлері контекстінде қарастырылуы мүмкін. Толқындық түрлендірулер негізінен үш классқа бөлінеді: үздіксіз, дискретті және көп ажыратымдылыққа негізделген.

Уақыт-салдарлық толқыншалар

Уақытша сигналдарды нақты уақытта өңдеу үшін толқындық сүзгілер болашақтан келетін сигнал мәндеріне жүгінбеуі және ең аз уақыттық кешігуге қол жеткізуі қажет. Szu және Lindeberg уақыт себепті толқындық бейнелеулерді жасады, соңғы әдіс жадты тиімді пайдаланатын уақыттық рекурсивті іске асыруды да қамтиды.

Өлшемін өзгерту сүзгісі

Ортогональды толқын тораптары масштабтау сүзгісімен толық анықталады – ұзындығы 2N және сомасы 1 болатын төменгі жиіліктің шекті импульстік жауап (FIR) сүзгісі. Биортогональды толқындықтарда ыдырату және қайта құру сүзгілері жеке анықталады. Ортогональды толқындықтарды талдау үшін жоғары жиілікті сүзгі төменгі жиілікті сүзгінің квадраттық айна сүзгісі ретінде есептеледі, ал қайта құру сүзгілері ыдырату сүзгілерінің уақыт бойынша кері нұсқасы болып табылады. Даубехи және Симлет толқындары масштабтау сүзгісі арқылы анықталуы мүмкін.

Толқындық функция

Толқынша тек уақыт доменіндегі ψ(t) толқынша функциясы ретінде ғана бейнеленеді. Мысалы, «мексикалық шляпа» толқыншаларын толқынша функциясы арқылы анықтауға болады. Кейбір үздіксіз толқыншалардың тізімін қараңыз.

Тарих

Толқындықтардың дамуы 20-ғасырдың басында Хаардың жұмысымен байланыстырылып, бірнеше жеке ойлардың даму бағыттарын қамтиды. Деннис Габордың кейінгі жұмыстары 1946 жылы Габор атомдарын жасады, олар толқындықтарға ұқсас құрылымға ие және ұқсас мақсаттарда қолданылды. Уэвлеттер теориясына елеулі үлес қосқандардың қатарында – Цвайгтың 1975 жылы үздіксіз толқындық трансформацияны (CWT) ашқандығы (бұл трансформация алғашқыда кохлеарлық трансформация деп аталды және құлақтың дыбысқа реакциясын зерттеу барысында табылды), Пьер Гупило, Гроссман және Морлеттің қазір CWT деп белгілі болған трансформацияны құрастыруы (1982), Ян Олов Стромбергтің дискретті толқындықтарға қатысты алғашқы жұмыстары (1983), Ле Галл – Табатабай (LGT) 5/3 краны, сызықтық фазасы бар ортогональды емес сүзгілер жинағы (1988), Ингрид Даубешиестің компактты қолдауы бар ортогональды толқындықтары (1988), Маллаттың ортогональды емес көп ажыратымдылық жүйесі (1989), Акансу Алидің биномдық QMF (1990), Наталья Дельпраттың CWT-нің уақыт-жиілік интерпретациясы (1991), Ньюлендтің гармониялық толқындық трансформациясы (1993) және Амир Саид пен Уильям А. Перлманның 1996 жылы жасаған иерархиялық бөлу ағаштары (SPIHT). JPEG 2000 стандарты 1997-2000 жылдары Турадж Эбрахимидің (кейін JPEG президенті) төрағалығымен Бірлескен Фотосуреттер Сайыпқылары Тобының (JPEG) комитетімен әзірленді. Бастапқы JPEG форматында қолданылған DCT алгоритмінен өзгеше, JPEG 2000 дискретті толқындық трансформация (DWT) алгоритмдерін пайдаланады. Ол жоғалтулы сығылу алгоритмі үшін CDF 9/7 толқындық трансформациясын (1992 жылы Ингрид Даубешиес әзірлеген), ал жоғалтусыз сығылу алгоритмі үшін Le Gall – Tabatabai (LGT) 5/3 дискретті уақыт сүзгісі жинағын (1988 жылы Дидье Ле Галл мен Али Дж. Табатабай әзірлеген) қолданады. JPEG 2000 технологиясы, оның ішінде Motion JPEG 2000 кеңейтуі, 2004 жылы цифрлық кино үшін бейне кодтау стандарты ретінде таңдалды.

Жалпыландырылған түрлендірулер

Кейбір жалпыландырылған түрлендірулер бар, олардың ішінде толқындық түрлендіру ерекше жағдай болып табылады. Мысалы, Йозеф Джозеф Гейзенберг тобына масштаб енгізді, нәтижесінде уақыт, масштаб және жиіліктен тұратын үздіксіз түрлендіру кеңістігі пайда болды. CWT – бұл 3D уақыт-масштаб-жиілік көлемінің екі өлшемді қимасы. Жалпыландырылған түрлендірудің тағы бір мысалы – chirplet түрлендіруі, онда CWT да chirplet түрлендіруі арқылы екі өлшемді қима болып табылады. Жалпыландырылған түрлендірулердің маңызды қолданылу саласы – жоғары жиілік ажыратымдылығы қажетті жүйелер. Мысалы, тікелей және өзара кеңістік арасындағы қараңғы дала электрондық оптикалық түрлендірулер атомдардың кластерлерін гармониялық талдауда, яғни кристалдар мен кристалл ақауларын зерттеуде кеңінен қолданылған. Қазіргі электрондық микроскоптар барлық түрдегі наноқұрылымдардағы атомдық периодтылық туралы пикометрлік масштабтағы ақпаратты цифрлық бейнелер түрінде бере алады, сондықтан жоғары жиілік ажыратымдылығы бар аралық түрлендірулердің (brushletтер мен ridgeletтер сияқты) үлгіні тану және деформация/метрология салаларындағы қолданылуы тез өсіп келеді. Фракциялық толқындық түрлендіру (FRWT) – бұл фракциялық Фурье түрлендіру домендеріндегі классикалық толқындық түрлендірудің жалпылауы. Бұл түрлендіру уақыт және фракциялық домен туралы ақпаратты бір мезгілде беруге және сигналды уақыт-фракциялық жиілік жазықтығында бейнелеуге қабілетті.

Қолданбалар

Жалпы, егер сигнал үлгіленген болса, деректерді сығымдау үшін DWT жуықтамасы қолданылады, ал сигналды талдау үшін CWT қолданылады. Осылайша, DWT шамалауы инженерлік және компьютерлік ғылымдарда, ал CWT ғылыми зерттеулерде кеңінен қолданылады. Басқа түрлендіргіштер сияқты, толқындық түрлендіргіштер деректерді түрлендіру үшін пайдаланылуы мүмкін, содан кейін түрлендірілген деректерді кодтау арқылы тиімді сығымдауға қол жеткізіледі. Мысалы, JPEG 2000 – биортогональды толқындықтарды қолданатын кескіндерді сығымдау стандарты. Бұл кадр толық болғанымен, ол тығыз кадр (векторлық кеңістіктің кадр түрлеріне қараңыз) және талдау мен синтезде, яғни алға және кері түрлендіруде бірдей кадр функциялары (кешенді толқындықтар үшін конъюгациядан басқа) қолданылады. Толығырақ ақпаратты толқындық сығымдау бөлімінен қараңыз. Сонымен қатар, толқындық коэффициенттерінің шегін анықтау арқылы деректерді тегістеу/шуды жою операциялары жүргізіледі, бұл толқындық қысқарту деп аталады. Толқындық коэффициенттеріне сәйкес келетін қажетсіз жиілік компоненттерін адаптивті шектеу арқылы тегістеу және/немесе шуды жою операцияларын орындауға болады. Толқындық түрлендіргіштер байланыс саласында да қолданыла бастады. Wavelet OFDM – HD PLC (Panasonic әзірлеген электр желісі арқылы байланыс технологиясы) және IEEE 1901 стандартына енгізілген опциялық режимдердің бірінде қолданылатын негізгі модуляция схемасы. Wavelet OFDM дәстүрлі FFT OFDM-ге қарағанда терең ойықтарға қол жеткізеді, сондай-ақ Wavelet OFDM-ге күзет аралығы қажет емес (бұл әдетте FFT OFDM жүйелерінде қосымша шығындарды тудырады).

Сигналды бейнелеу ретінде

Көбінесе сигналдарды синусоидтардың қосындысы ретінде жақсы көрсетуге болады. Дегенмен, кенеттен үзілісі бар үздіксіз емес сигналды қарастырайық; мұндай сигналды да синусоидтардың қосындысы түрінде бейнелеуге болады, бірақ оған шексіз көп сигнал қажет, бұл Гиббс құбылысы деп аталады. Осы үшін шексіз көп Фурье коэффициенттері керек, бұл сығымдау сияқты көптеген қолданулар үшін тиімді емес. Толқындықтар осындай үзілістері бар сигналдарды сипаттауға ыңғайлы, себебі олардың уақыт бойынша локализацияланған қасиеттері бар (Фурье және толқындық түрлендірулер жиілік бойынша локализацияланған, бірақ толқындықтарда уақыт бойынша қосымша локализация қасиеті бар). Осы себепті, практикада көптеген сигналдар Фурье доменінде жиі кездеспесе, толқындық доменінде өте сирек кездесуі мүмкін. Бұл сигналды қайта құруда, әсіресе қазіргі кезде танымал болған сығымдалған сезіну саласында өте пайдалы. (Қысқа мерзімді Фурье түрлендіруі (STFT) де уақыт және жиілік бойынша локализацияланған, бірақ жиілік-уақыт ажыратымдылығының арасындағы мәселелер жиі туындайды. Толқындықтар көп ажыратымды талдаудың арқасында сигналдарды жақсырақ бейнелейді.) Осы себепті толқындық түрлендірулер қазір көптеген қолданулар үшін қолданылып, дәстүрлі Фурье түрлендіруін ығыстыруда. Физиканың көптеген салалары осы парадигмалық өзгеріске ұшырады, оның ішінде молекулалық динамика, хаос теориясы, ab initio есептеулер, астрофизика, гравитациялық толқындардың уақытша деректерін талдау, тығыздық матрицасының локализациясы, сейсмология, оптика, турбуленттік және кванттық механика. Бұл өзгеріс бейне өңдеу, ЭЭГ, ЭМГ, ЭКГ талдаулары, мидың ырғақтары, ДНК талдауы, ақуыз талдауы, климатология, адамның жыныстық реакциясын талдау, жалпы сигнал өңдеу, сөйлеуді тану, акустика, діріл сигналдары, компьютерлік графика, көп фракталды талдау және сирек кодтауда да орын алды. Компьютерлік көру және бейне өңдеуде масштабты кеңістік бейнелеуі және Гаусс туынды операторларының түсінігі канондық көп масштабты бейнелеу ретінде қарастырылады.

Often, signals can be represented well as a sum of sinusoids. However, consider a non continuous signal with an abrupt discontinuity; this signal can still be represented as a sum of sinusoids, but requires an infinite number, which is an observation known as Gibbs phenomenon. This, then, requires an infinite number of Fourier coefficients, which is not practical for many applications, such as compression. Wavelets are more useful for describing these signals with discontinuities because of their time localized behavior (both Fourier and wavelet transforms are frequency localized, but wavelets have an additional time localization property). Because of this, many types of signals in practice may be non sparse in the Fourier domain, but very sparse in the wavelet domain. This is particularly useful in signal reconstruction, especially in the recently popular field of compressed sensing. (Note that the short time Fourier transform (STFT) is also localized in time and frequency, but there are often problems with the frequency time resolution trade off. Wavelets are better signal representations because of multiresolution analysis.) This motivates why wavelet transforms are now being adopted for a vast number of applications, often replacing the conventional Fourier transform. Many areas of physics have seen this paradigm shift, including molecular dynamics, chaos theory, ab initio calculations, astrophysics, gravitational wave transient data analysis, density matrix localisation, seismology, optics, turbulence and quantum mechanics. This change has also occurred in image processing, EEG, EMG, ECG analyses, brain rhythms, DNA analysis, protein analysis, climatology, human sexual response analysis, general signal processing, speech recognition, acoustics, vibration signals, computer graphics, multifractal analysis, and sparse coding. In computer vision and image processing, the notion of scale space representation and Gaussian derivative operators is regarded as a canonical multi scale representation.

Көп масштабты климаттық желі

Агарвал және авторлар климатты әр түрлі уақыт өлшемдерінде күрделі желілер ретінде құру және зерттеу үшін вовлет негізіндегі жетілдірілген сызықтық және сызықтық емес әдістерді ұсынды. Әр түрлі уақыт өлшемдеріндегі SST деректер жинақтарын пайдаланып құрылған климат желілері, климаттық процестердің вовлет негізіндегі көп өлшемді талдауы жүйе динамикасын жақсырақ түсінуге мүмкіндік беретінін, әсіресе процестерді тек бір уақыт өлшемінде талдағанда байқамай қалуға болатын жайттарды көрсетті.