Найквист-Шеннонның дискреттеу теоремасы

Кіріспе

Найквист-Шеннон үлгілеу теоремасы – цифрлық сигналды өңдеудің маңызды қағидасы, ол сигналдың жиілік диапазоны мен алиасинг деп аталатын бұрмалау түрін болдырмау үшін қажетті үлгілеу жылдамдығын байланыстырады. Теоремаға сәйкес, алиасингтің алдын алу үшін үлгілеу жылдамдығы сигналдың жолақтығының енінен кемінде екі есе болуы керек. Практикада, бұл аналогты сигналды үлгілеу кезінде немесе цифрлық сигналды өңдеу функцияларында үлгілеу жылдамдықтары өзгертілгенде алиасингті қабылданатын деңгейден төмен ұстау үшін жолақты шектеу сүзгілерін таңдау үшін қолданылады. Найквист-Шеннон үлгілеу теоремасы – сигналды өңдеу саласындағы теорема, ол үздіксіз уақыт сигналдары мен дискретті уақыт сигналдары арасындағы маңызды байланыс құрады. Ол шекті жолақтығы бар үздіксіз уақыт сигналынан барлық ақпаратты алуға мүмкіндік беретін дискретті үлгілер тізбесі үшін жеткілікті үлгілеу жылдамдығын анықтайды. Қатаң айтқанда, теорема тек Фурье түрлендірілімі шекті жиілік аймағынан тыс нөлге тең болатын математикалық функциялар класына ғана қолданылады. Интуитивті түрде, үздіксіз функцияны дискретті тізбекке келтіргенде және қайтадан үздіксіз функцияға интерполяциялағанда, нәтижеге сенімділік бастапқы үлгілердің тығыздығына (немесе үлгілеу жылдамдығына) байланысты болады деп күтеміз. Үлгілеу теоремасы белгілі бір жолақтылықпен шектелген функциялар класы үшін толық сенімділікке жеткілікті үлгілеу жылдамдығын түсіндіреді, яғни үлгілеу процесінде ешқандай ақпарат жоғалмайды. Ол функциялар класы үшін жолақтың еніне қатысты жеткілікті үлгілеу жылдамдығын көрсетеді. Теорема сонымен қатар үлгілерден бастапқы үздіксіз уақыт функциясын толық қалпына келтіруге арналған формулаға әкеледі. Егер үлгілеу жылдамдығының критерийі орындалмаса да, сигнал туралы басқа шектеулер белгілі болған жағдайда (төмендегілерді және қысылған сезінуді қараңыз) толық қалпына келтіру мүмкін болады. Кейбір жағдайларда (егер үлгілеу жылдамдығының критерийі орындалмаса), қосымша шектеулерді пайдалану шамамен қалпына келтіруге мүмкіндік береді. Мұндай қалпына келтірулердің сенімділігін Бохнер теоремасы арқылы тексеруге және сандық түрде бағалауға болады. Найквист-Шеннон үлгілеу теоремасы Гарри Найквист пен Клод Шеннонның құрметіне аталған, бірақ бұл теореманы бұрын Э.Т. Уиттакер (1915 жылы жарияланған) ашқан, ал Шеннон өз жұмысында Уиттакердің еңбегіне сілтеме жасаған. Сондықтан теорема Уиттакер-Шеннон үлгілеу теоремасы, Уиттакер-Шеннон және Уиттакер-Найквист-Шеннон деп те аталады, сондай-ақ оны интерполяцияның кардиналды теоремасы деп те атай беруге болады.

The Nyquist–Shannon sampling theorem is an essential principle for digital signal processing linking the frequency range of a signal and the sample rate required to avoid a type of distortion called aliasing. The theorem states that the sample rate must be at least twice the bandwidth of the signal to avoid aliasing. In practice, it is used to select band limiting filters to keep aliasing below an acceptable amount when an analog signal is sampled or when sample rates are changed within a digital signal processing function. The Nyquist–Shannon sampling theorem is a theorem in the field of signal processing which serves as a fundamental bridge between continuous time signals and discrete time signals. It establishes a sufficient condition for a sample rate that permits a discrete sequence of samples to capture all the information from a continuous time signal of finite bandwidth. Strictly speaking, the theorem only applies to a class of mathematical functions having a Fourier transform that is zero outside of a finite region of frequencies. Intuitively we expect that when one reduces a continuous function to a discrete sequence and interpolates back to a continuous function, the fidelity of the result depends on the density (or sample rate) of the original samples. The sampling theorem introduces the concept of a sample rate that is sufficient for perfect fidelity for the class of functions that are band limited to a given bandwidth, such that no actual information is lost in the sampling process. It expresses the sufficient sample rate in terms of the bandwidth for the class of functions. The theorem also leads to a formula for perfectly reconstructing the original continuous time function from the samples. Perfect reconstruction may still be possible when the sample rate criterion is not satisfied, provided other constraints on the signal are known (see below and compressed sensing). In some cases (when the sample rate criterion is not satisfied), utilizing additional constraints allows for approximate reconstructions. The fidelity of these reconstructions can be verified and quantified utilizing Bochner's theorem. The name Nyquist–Shannon sampling theorem honours Harry Nyquist and Claude Shannon, but the theorem was also previously discovered by E. T. Whittaker (published in 1915), and Shannon cited Whittaker's paper in his work. The theorem is thus also known by the names Whittaker–Shannon sampling theorem, Whittaker–Shannon, and Whittaker–Nyquist–Shannon, and may also be referred to as the cardinal theorem of interpolation.

Кіріспе

Үлгілеу – сигналды (мысалы, үздіксіз уақыт немесе кеңістіктің функциясы) дискретті мәндер тізбегіне (дискретті уақыт немесе кеңістіктің функциясы) түрлендіру процесі. Шеннон теоремасының нұсқасында:

Sampling is a process of converting a signal (for example, a function of continuous time or space) into a sequence of values (a function of discrete time or space). Shannon's version of the theorem states:

A sufficient sample rate is therefore anything larger than samples per second. Equivalently, for a given sample rate , perfect reconstruction is guaranteed possible for a bandlimit
When the bandlimit is too high (or there is no bandlimit), the reconstruction exhibits imperfections known as aliasing. Modern statements of the theorem are sometimes careful to explicitly state that must contain no sinusoidal component at exactly frequency or that must be strictly less than ½ the sample rate. The threshold is called the Nyquist rate and is an attribute of the continuous time input to be sampled. The sample rate must exceed the Nyquist rate for the samples to suffice to represent The threshold is called the Nyquist frequency and is an attribute of the sampling equipment. All meaningful frequency components of the properly sampled exist below the Nyquist frequency. The condition described by these inequalities is called the Nyquist criterion, or sometimes the Raabe condition. The theorem is also applicable to functions of other domains, such as space, in the case of a digitized image. The only change, in the case of other domains, is the units of measure attributed to and

The symbol is customarily used to represent the interval between samples and is called the sample period or sampling interval. The samples of function are commonly denoted by (alternatively in older signal processing literature), for all integer values of The multiplier is a result of the transition from continuous time to discrete time (see Discrete time Fourier transform#Relation to Fourier Transform), and it preserves the energy of the signal as varies. A mathematically ideal way to interpolate the sequence involves the use of sinc functions. Each sample in the sequence is replaced by a sinc function, centered on the time axis at the original location of the sample with the amplitude of the sinc function scaled to the sample value, Subsequently, the sinc functions are summed into a continuous function. A mathematically equivalent method uses the Dirac comb and proceeds by convolving one sinc function with a series of Dirac delta pulses, weighted by the sample values. Neither method is numerically practical. Instead, some type of approximation of the sinc functions, finite in length, is used. The imperfections attributable to the approximation are known as interpolation error. Practical digital to analog converters produce neither scaled and delayed sinc functions, nor ideal Dirac pulses. Instead they produce a piecewise constant sequence of scaled and delayed rectangular pulses (the zero order hold), usually followed by a lowpass filter (called an "anti imaging filter") to remove spurious high frequency replicas (images) of the original baseband signal.

Осылайша, жеткілікті үлгілеу жиілігі секундына үлгілерден жоғары болуы керек. Балама түрінде, белгілі бір үлгілеу жиілігі үшін , толыққанды қайта құру кепілдік беріледі. Егер жолақ шегі тым жоғары болса (немесе жолақ шегі болмаса), қайта құру алиасинг деп аталатын қателерді көрсетеді. Теореманың қазіргі заманғы тұжырымдамалары кейде жиілігінде дәл синусоидалық компонент болмауы керек немесе үлгілеу жиілігінің жартысынан кем болуы керек деп нақты айтуға тырысады. шегі Найквист жиілігі деп аталады және үлгі алынатын үздіксіз уақыт сигналының қасиеті болып табылады. Үлгілеу жиілігі үлгілерді жеткілікті түрде бейнелеу үшін Найквист жиілігінен асып түсуі керек. Дұрыс үлгіленген сигналдың барлық мағыналы жиілік компоненттері Найквист жиілігінен төмен жатады. Бұл теңсіздіктермен сипатталатын жағдай Найквист критерийі немесе кейде Раабе шарты деп аталады. Теорема басқа да салалардың функцияларына да қолданылады, мысалы, кеңістікке – сандық кескінді жағдайында. Басқа салалар үшін жалғыз өзгеріс – өлшем бірліктері және символ әдетте үлгілер арасындағы интервалды білдіру үшін қолданылады және ол үлгілеу аралығы немесе үлгілеу периоды деп аталады. Функцияның үлгілері әдетте (ескі сигналды өңдеу әдебиетінде ) деп белгіленеді, барлық бүтін мәндері үшін. көбейткіш – үздіксіз уақыттан дискретті уақытқа өтудің нәтижесі (Дискретті уақыт Фурье түрлендіруімен байланысы қараңыз) және ол сигналдың энергиясын өзгергенде сақтайды. Математикалық тұрғыдан идеалды интерполяциялау әдісі sinc функцияларын қолдануды қамтиды. Тізбектегі әрбір үлгі sinc функциясымен алмастырылады, оның центрі бастапқы үлгі орнындағы уақыт осінде орналасқан, sinc функциясының амплитудасы үлгі мәніне пропорционалды. Содан кейін sinc функциялары үздіксіз функцияны құру үшін қосылады. Математикалық эквивалентті әдіс Дирактың таралуын пайдаланады және sinc функциясын үлгі мәндерімен салмақталған Дирак дельта импульстерінің тізбегімен конволюциялау арқылы жүзеге асырылады. Екі әдіс те есептеу тұрғысынан тиімді емес. Оның орнына sinc функцияларының шекті ұзындығы бар жуықтамасы қолданылады. Бұл жуықтамадан туындаған қателер интерполяция қатесі деп аталады. Нақтырақ айтқанда, цифрлық-аналогтық түрлендіргіштер масштабталған және кешіктірілген sinc функцияларын немесе идеалды Дирак импульстарын шығармайды. Олардың орнына, олар масштабталған және кешіктірілген тіктөртбұрышты импульстердің (нөлдік реттік ұстау) бөлшекті тұрақты тізбесін шығарады, одан кейін бастапқы негізгі сигналдың жоғары жиілікті көшірмелерін (бейнелерді) жою үшін төмен өткізгіш сүзгі ("бейнеге қарсы сүзгі" деп аталады) қолданылады.

Көп өзгермелі сигналдар мен бейнелерге қолдану

Үлгілеу теоремасы әдетте бір айнымалының функциялары үшін тұжырымдалады. Осыған байланысты, теорема уақытқа тәуелді сигналдарға тікелей қолданылады және көбінесе осы контексте қарастырылады. Дегенмен, үлгілеу теоремасын кез келген саны айнымалылардың функцияларына оңай кеңейтуге болады. Мысалы, сұр түсті кескіндер көбінесе нақты сандардың екі өлшемді тізімі (немесе матрицасы) түрінде бейнеленеді, олар қатар және баған бойынша үлгіленген пиксельдердің (сурет элементтерінің) салыстырмалы қарқындылығын көрсетеді. Сәйкесінше, әр пикселді бірегей түрде анықтау үшін кескіндерге екі тәуелсіз айнымалы немесе индекс қажет – біреуі қатар үшін, екіншісі баған үшін. Түсті кескіндер әдетте үш жеке сұр түсті кескіндердің жиынтығынан тұрады, олардың әрқайсысы үш негізгі түстің бірін көрсетеді: қызыл, жасыл және көк, немесе қысқаша RGB. Түстер үшін 3 векторды пайдаланатын басқа түс кеңістіктері: HSV, CIELAB, XYZ және т.б. Кейбір түс кеңістіктері, мысалы, көгілдір, қызғылт сары, сары және қара (CMYK) түсті төрт өлшеммен көрсетуі мүмкін. Бұлардың барлығы екі өлшемді үлгіленген домендегі векторлық функциялар ретінде қарастырылады. Бір өлшемді дискретті уақыт сигналдары сияқты, егер үлгілеу ажыратымдылығы немесе пиксель тығыздығы жеткіліксіз болса, кескіндер де алиасингтен зардап шегуі мүмкін. Мысалы, жолақты көйлектің жоғары жиілікті (яғни, жолақтар арасындағы қашықтық аз) цифрлық суреті камераның бейне сенсорымен үлгіленген кезде көйлектің алиасингіне себеп болуы мүмкін. Аллиасинг моар үлгісі түрінде көрінеді. Бұл жағдайда кеңістіктік домендегі жоғары үлгілеудің «шешімі» көйлекке жақындау, жоғары ажыратымдылық сенсорын пайдалану немесе сенсормен суретті түсіру алдында оптикалық төмен өткізгіш сүзгіні пайдаланып суретті оптикалық бұрмалау болар еді. Мұнда кірпіш үлгілерінен тағы бір мысал келтірілген. Жоғарыдағы сурет үлгілеу теоремасының шарты орындалмаған кездегі әсерлерді көрсетеді. Бағдарламалық құрал кескінді қайта өлшегенде (төменгі суретте көрсетілген миниатюраны жасау процесімен бірдей), ол, шын мәнінде, кескінді алдымен төмен өткізгіш сүзгіден өткізеді, содан кейін кескінді кішірейтіп, моар үлгісін көрсетпейтін кішірек кескінді алады. Жоғарыдағы сурет – кескінді төмен өткізгіш сүзгісіз кішірейту кезінде болатын жағдай: алиасинг пайда болады. Үлгілеу теоремасы камера жүйелеріне де қолданылады, онда көрініс және линза аналогты кеңістіктік сигнал көзін құрайды, ал бейне сенсоры кеңістіктік үлгілеу құрылғысы болып табылады. Осы компоненттердің әрқайсысы осы компоненттегі нақты ажыратымдылықты (кеңістіктік жолақты енін) көрсететін модуляциялық беру функциясы (MTF) арқылы сипатталады. Линзаның және сенсордың MTF сәйкес келмеген жағдайда, алиасинг немесе бұлыңғырлық пайда болуы мүмкін. Егер сенсормен үлгіленген оптикалық кескінде сенсордан жоғары кеңістіктік жиіліктер болса, төмен үлгілеу алиасингті азайту немесе жою үшін төмен өткізгіш сүзгі ретінде әрекет етеді. Егер үлгілеу нүктесінің ауданы (пиксельдік сенсордың мөлшері) жеткілікті кеңістіктік антиалиасингті қамтамасыз етуге жеткіліксіз болса, камера жүйесіне оптикалық кескіннің MTF-ін азайту үшін жеке антиалиасинг сүзгісі (оптикалық төмен өткізгіш сүзгісі) қосылуы мүмкін. Оптикалық сүзгіні қажет етпей, смартфон камераларының графикалық процессорлары алиасингті жою үшін цифрлық сигналды өңдеуді цифрлық сүзгімен жүргізеді. Цифрлық сүзгілер сондай-ақ линзадан алынған контрастты жоғары кеңістіктік жиіліктерде күшейту үшін де қолданылады, әйтпесе дифракция шектерінде ол тез төмендейді. Үлгілеу теоремасы цифрлық суреттерді өңдеуге де қолданылады, мысалы, үлгілеуді жоғарылату немесе төмендету үшін. Аллиасинг, бұлыңғырлық және өткірлеу әсерлерін бағдарламалық құралда жүзеге асырылған цифрлық сүзгілермен реттеуге болады, бұл теориялық принциптерге сәйкес келеді.

The sampling theorem is usually formulated for functions of a single variable. Consequently, the theorem is directly applicable to time dependent signals and is normally formulated in that context. However, the sampling theorem can be extended in a straightforward way to functions of arbitrarily many variables. Grayscale images, for example, are often represented as two dimensional arrays (or matrices) of real numbers representing the relative intensities of pixels (picture elements) located at the intersections of row and column sample locations. As a result, images require two independent variables, or indices, to specify each pixel uniquely—one for the row, and one for the column. Color images typically consist of a composite of three separate grayscale images, one to represent each of the three primary colors—red, green, and blue, or RGB for short. Other colorspaces using 3 vectors for colors include HSV, CIELAB, XYZ, etc. Some colorspaces such as cyan, magenta, yellow, and black (CMYK) may represent color by four dimensions. All of these are treated as vector valued functions over a two dimensional sampled domain. Similar to one dimensional discrete time signals, images can also suffer from aliasing if the sampling resolution, or pixel density, is inadequate. For example, a digital photograph of a striped shirt with high frequencies (in other words, the distance between the stripes is small), can cause aliasing of the shirt when it is sampled by the camera's image sensor. The aliasing appears as a moiré pattern. The "solution" to higher sampling in the spatial domain for this case would be to move closer to the shirt, use a higher resolution sensor, or to optically blur the image before acquiring it with the sensor using an optical low pass filter. Another example is shown here in the brick patterns. The top image shows the effects when the sampling theorem's condition is not satisfied. When software rescales an image (the same process that creates the thumbnail shown in the lower image) it, in effect, runs the image through a low pass filter first and then downsamples the image to result in a smaller image that does not exhibit the moiré pattern. The top image is what happens when the image is downsampled without low pass filtering: aliasing results. The sampling theorem applies to camera systems, where the scene and lens constitute an analog spatial signal source, and the image sensor is a spatial sampling device. Each of these components is characterized by a modulation transfer function (MTF), representing the precise resolution (spatial bandwidth) available in that component. Effects of aliasing or blurring can occur when the lens MTF and sensor MTF are mismatched. When the optical image which is sampled by the sensor device contains higher spatial frequencies than the sensor, the under sampling acts as a low pass filter to reduce or eliminate aliasing. When the area of the sampling spot (the size of the pixel sensor) is not large enough to provide sufficient spatial anti aliasing, a separate anti aliasing filter (optical low pass filter) may be included in a camera system to reduce the MTF of the optical image. Instead of requiring an optical filter, the graphics processing unit of smartphone cameras performs digital signal processing to remove aliasing with a digital filter. Digital filters also apply sharpening to amplify the contrast from the lens at high spatial frequencies, which otherwise falls off rapidly at diffraction limits. The sampling theorem also applies to post processing digital images, such as to up or down sampling. Effects of aliasing, blurring, and sharpening may be adjusted with digital filtering implemented in software, which necessarily follows the theoretical principles.

Негізгі жолақты емес сигналдардың үлгісін алу

Шеннонның пікірінше: Сондықтан, бірқалыпты араласқан үлгілерді қалпына келтіру алгоритмдерін оңайлатуы мүмкін, бірақ бұл толыққанды қалпына келтіру үшін қажетті шарт емес. Негізгі жолақты емес және бірқалыпты емес үлгілерге арналған жалпы теорияны 1967 жылы Генри Ландау жасаған. Ол орташа үлгі алу жиілігінің (бірқалыпты немесе басқа) сигналдың белсенді жолағының екі есе болуы керек екенін дәлелдеді, егер спектрдің қай бөлігі белсенді екені алдын ала белгілі болса. 1990 жылдардың соңында бұл жұмыс ішінара кеңейтілді, бұл белсенді жолақтың мөлшері белгілі, бірақ спектрдің нақты белсенді бөлігі белгісіз сигналдарды қамтыды. 2000 жылдары толық теория жасалды (төмендегі қосымша шектеулермен Никвист жиілігінен төмен үлгі алу бөлімін қараңыз) сығылған сезінуді пайдалану арқылы. Атап айтқанда, теория, сигналды өңдеу тілінде, Мишали мен Эльдардың 2009 жылғы мақаласында сипатталған. Олар, басқа нәрселермен қатар, егер жиілік орналасқан жерлері белгісіз болса, онда Найквист критерийлеріне кемінде екі есе жиілікпен үлгі алу қажет; яғни, спектрдің орналасқан жерін білмеу үшін кемінде 2 есе көп төлеу керек. Ескеріңіз, үлгі алудың ең төменгі талаптары тұрақтылықты міндетті түрде кепілдемейді.

Қосымша шектеулер жағдайында Никвист деңгейінен төмен үлгі алу

Найквист-Шеннон үлгілеу теоремасы жолақты шектеулі сигналды үлгілеу және қайта құру үшін жеткілікті шартты қамтамасыз етеді. Қайта құру Уиттакер-Шеннон интерполяциялық формуласы арқылы жасалса, Найквист критерийі алиасингтің алдын алу үшін қажетті шарт болып табылады, яғни егер үлгілер жолақтың шегінің екі еселенген мөлшерінен баяу алынса, онда кейбір сигналдар дұрыс қайта құрылмайды. Дегенмен, егер сигналға қосымша шектеулер қойылса, Найквист критерийі міндетті шарт болмауы мүмкін. Сигнал туралы қосымша болжамдарды пайдаланудың бір мысалы – жақында пайда болған сығымдалған сенсорлар саласы, ол Найквисттің үлгілеу жылдамдығынан төмен болғанда да толық қайта құруға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, бұл кейбір доменде сирек (немесе сығылымпаздық) сигналдарға қатысты. Мысалы, сығымдалған сенсорлар жалпы жолақ ені төмен болатын (мысалы, тиімді жолақ ені) сигналдармен айналысады, бірақ жиіліктері белгілі бір жолақта емес, белгісіз болады, сондықтан жолақты өткізу әдісі қолданылмайды. Басқаша айтқанда, жиілік спектрі сирек. Дәстүрлі жағдайда, қажетті үлгілеу жылдамдығы осылай есептеледі. Сығымдалған сенсорлар әдістерін қолдану арқылы, сигнал одан сәл төмен жылдамдықпен үлгіленсе де, толыққанды қайта құрылуы мүмкін. Бұл жағдайда, қайта құру енді формуламен емес, сызықтық оптимизациялық есептің шешімі арқылы жүзеге асырылады. Суб-Найквист үлгілеуінің тиімді болатын тағы бір мысал – үлгілердің оптималды квантталуы, мысалы, үлгілеу және оптималды жоғалтулы сығылудың біріктірілген жүйесінде. Бұл жағдай үлгілеу мен кванттаудың бірлескен әсерін ескеру қажет болғанда маңызды және кездейсоқ сигналды үлгілеу және кванттау кезінде қол жеткізілетін ең төменгі қайта құру қатесінің шегін анықтауға мүмкіндік береді. Стационарлық Гаусс кездейсоқ сигналдары үшін бұл шек әдетте суб-Найквист үлгілеу жылдамдығында қол жеткізіледі, бұл оптималды кванттау жағдайында осы сигнал моделі үшін суб-Найквист үлгілеуінің тиімді екенін көрсетеді.

The Nyquist–Shannon sampling theorem provides a sufficient condition for the sampling and reconstruction of a band limited signal. When reconstruction is done via the Whittaker–Shannon interpolation formula, the Nyquist criterion is also a necessary condition to avoid aliasing, in the sense that if samples are taken at a slower rate than twice the band limit, then there are some signals that will not be correctly reconstructed. However, if further restrictions are imposed on the signal, then the Nyquist criterion may no longer be a necessary condition. A non trivial example of exploiting extra assumptions about the signal is given by the recent field of compressed sensing, which allows for full reconstruction with a sub Nyquist sampling rate. Specifically, this applies to signals that are sparse (or compressible) in some domain. As an example, compressed sensing deals with signals that may have a low overall bandwidth (say, the effective bandwidth ) but the frequency locations are unknown, rather than all together in a single band, so that the passband technique does not apply. In other words, the frequency spectrum is sparse. Traditionally, the necessary sampling rate is thus Using compressed sensing techniques, the signal could be perfectly reconstructed if it is sampled at a rate slightly lower than With this approach, reconstruction is no longer given by a formula, but instead by the solution to a linear optimization program. Another example where sub Nyquist sampling is optimal arises under the additional constraint that the samples are quantized in an optimal manner, as in a combined system of sampling and optimal lossy compression. This setting is relevant in cases where the joint effect of sampling and quantization is to be considered, and can provide a lower bound for the minimal reconstruction error that can be attained in sampling and quantizing a random signal. For stationary Gaussian random signals, this lower bound is usually attained at a sub Nyquist sampling rate, indicating that sub Nyquist sampling is optimal for this signal model under optimal quantization.

Тарихи негіздер

Үлгілеу теоремасы 1928 жылы Гарри Найквисттің еңбегінде көрініс берді, онда ол жолақтың ені бар жүйе арқылы дербес импульстық үлгілерді жіберуге болатынын көрсетті; бірақ ол үздіксіз сигналдарды үлгілеу және қалпына келтіру мәселесін нақты қарастырмады. Солай шамамен, Карл Кюпфмюллер де ұқсас нәтиже көрсетті және жолақты шектеу сүзгісінің синк функциялық импульстік жауабын, оның интегралы арқылы – қадамдық жауап синус интегралын талқылады; бұл үлгілеу теоремасының орталық бөлігі болып табылатын жолақты шектеу және қалпына келтіру сүзгісі кейде Кюпфмюллер сүзгісі деп аталады (бірақ ағылшын тілінде осылай аталуы сирек). Ныквисттің нәтижесіне екі жақты теорема ретінде келетін үлгілеу теоремасын Клод Э. Шеннон, 1935 жылы Дж. М. Уиттакер және 1946 жылы Габор («Коммуникация теориясы») дәлелдеді. 1948 және 1949 жылдары Клод Э. Шеннон ақпараттық теорияның негізін қалаған екі революциялық мақала жариялады, сондай-ақ Люке де. Мысалы, Люке Кюпфмюллердің ассистенті Х. Раабе 1939 жылғы Ph.D. диссертациясында теореманы дәлелдегенін айтады; «Раабе шарты» термині нақты бейнелеу критерийімен байланысты болды (үлгілеу жиілігі жолақтың енінен екі есе артық болуы керек). Мейеринг бір абзацта және екі түсіндірмеде басқа да бірнеше ашқан адамдар мен есімдерді атап көрсетеді:

Ресей әдебиетінде ол 1933 жылы оны ашқан Владимир Котельниковтың есімімен аталған Котельников теоремасы деп белгілі.