Уақыт-жиілік талдау: сигналдарды уақыт пен жиілік домендерінде бірдей зерттеу, түрлендірулер мен қосымшалар. Ұзақ емес сигналдарды талдауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сигналдарды өңдеуде уақыт-жиілік талдау – әртүрлі уақыт-жиілік бейнелеулерді қолдана отырып, сигналды уақыт және жиілік домендерінде бір мезгілде зерттейтін әдістерді қамтиды. Бір өлшемді сигналды (нақты немесе күрделі мәнді функция, домені нақты сызық) және кейбір түрлендіруді (түпнұсқадан түрлендіру арқылы алынған, домені нақты сызық болатын басқа функция) қарастырудың орнына, уақыт-жиілік талдау екі өлшемді сигналды зерттейді – сигналдан уақыт-жиілік түрлендіру арқылы алынған, домені екі өлшемді нақты жазықтық болатын функцияны. Бұл зерттеудің математикалық негіздемесі – функциялар мен олардың түрлендірілген бейнелері тығыз байланысты, оларды бөлек емес, екі өлшемді нысан ретінде бірлесе зерттеу арқылы жақсырақ түсінуге болады. Мысал ретінде, Фурье түрлендіруінің төрт еселік периодтығы және екі еселік Фурье түрлендіруінің бағытын кері бұруы, Фурье түрлендіруін байланысты уақыт-жиілік жазықтығында 90° бұру ретінде қарастыру арқылы түсіндірілуі мүмкін: мұндай төрт бұру сәйкестікті қамтамасыз етеді, ал екі бұру бағытты кері қайтарады (түп нүктесі арқылы шағылысу). Уақыт-жиілік талдаудың практикалық негіздемесі – классикалық Фурье талдауы сигналдардың уақыт бойынша шексіз немесе периодтық екенін болжайды, ал көптеген сигналдар іс жүзінде қысқа мерзімді болып келеді және ұзақтығы бойына айтарлықтай өзгеріске ұшырайды. Мысалы, дәстүрлі музыкалық аспаптар шексіз ұзақтықтағы синусоидаларды шығармайды, керісінше, шабуылмен басталып, содан кейін біртіндеп әлсірейді. Бұл дәстүрлі әдістермен нашар бейнеленеді, бұл уақыт-жиілік талдауға деген қажеттілікті тудырады. Уақыт-жиілік талдаудың ең қарапайым түрі – қысқа уақыттық Фурье түрлендіруі (STFT), бірақ одан да күрделі техникалар, атап айтқанда, толқындықтар және біркелкі емес аралықтағы деректер үшін жақсы жақындастыру спектрлік талдау әдістері әзірленген.
In signal processing, time–frequency analysis comprises those techniques that study a signal in both the time and frequency domains simultaneously, using various time–frequency representations. Rather than viewing a 1 dimensional signal (a function, real or complex valued, whose domain is the real line) and some transform (another function whose domain is the real line, obtained from the original via some transform), time–frequency analysis studies a two dimensional signal – a function whose domain is the two dimensional real plane, obtained from the signal via a time–frequency transform. The mathematical motivation for this study is that functions and their transform representation are tightly connected, and they can be understood better by studying them jointly, as a two dimensional object, rather than separately. A simple example is that the 4 fold periodicity of the Fourier transform – and the fact that two fold Fourier transform reverses direction – can be interpreted by considering the Fourier transform as a 90° rotation in the associated time–frequency plane: 4 such rotations yield the identity, and 2 such rotations simply reverse direction (reflection through the origin). The practical motivation for time–frequency analysis is that classical Fourier analysis assumes that signals are infinite in time or periodic, while many signals in practice are of short duration, and change substantially over their duration. For example, traditional musical instruments do not produce infinite duration sinusoids, but instead begin with an attack, then gradually decay. This is poorly represented by traditional methods, which motivates time–frequency analysis. One of the most basic forms of time–frequency analysis is the short time Fourier transform (STFT), but more sophisticated techniques have been developed, notably wavelets and least squares spectral analysis methods for unevenly spaced data.
Мотивация
Сигналдарды өңдеуде уақыт-жиілік талдау – статистикалық қасиеттері уақыт бойынша өзгеретін сигналдарды сипаттау және өңдеуге арналған әдістер мен техникалар жиынтығы. Бұл, сигналдың жиілік сипаттамалары уақытқа байланысты өзгеретін жағдайда, Фурье талдауының жалпылануы және жетілдірілуі болып табылады. Көптеген маңызды сигналдар – мысалы, сөйлеу, музыка, кескіндер және медициналық сигналдар – өз жиілік сипаттамаларын өзгертетіндіктен, уақыт-жиілік талдауының қолданылу саласы кең. Фурье түрлендіруінің әдісі кез келген баяу өсетін, жергілікті интегралданатын сигналдың жиілік спектрін алу үшін қолданылуы мүмкін болғанымен, бұл тәсіл сигналдың барлық уақыттағы мінез-құлқының толық сипаттамасын талап етеді. Шындығында, (спектрлік) жиілік доменіндегі нүктелерді бүкіл уақыт доменінен алынған ақпаратты біріктіру ретінде қарастыруға болады. Математикалық тұрғыдан әдемі болғанымен, мұндай техника болашақтағы белгісіз мінез-құлыққа ие сигналдарды талдауға қолайлы емес. Мысалы, кез келген телекоммуникациялық жүйеде нөлдік емес энтропияға қол жеткізу үшін, болашақ мінез-құлықтың белгілі бір дәрежеде белгісіздігін қарастыру қажет (егер сіз екінші адамның не дейтінін білсеңіз, жаңа ештеңе үйрене алмайсыз). Жиілік бейнелеудің күшін уақыт доменінде толық сипаттаманы қажет етпестен пайдалану үшін, ең алдымен сигналдың уақыт-жиілік таралымын алу керек, ол сигналды уақыт және жиілік домендерінде бір мезгілде көрсетеді. Мұндай бейнелеуде жиілік домені сигналдың уақытша локальданған түрінің мінез-құлқына ғана сілтеме жасайды. Бұл, компоненттік жиіліктері уақыт бойынша өзгеретін сигналдар туралы дұрыс айтуға мүмкіндік береді. Мысалы, келесі функцияны жиілік доменіне жаһандық түрлендіру үшін теңделген таралымдарды қолданудың орнына, осы әдістерді оны уақыт бойынша өзгеретін жиілігі бар сигнал ретінде сипаттау үшін пайдалануға болады. Мұндай бейнелеу құрылғаннан кейін, сигналдан ақпаратты алу, сигналды шудан немесе араласатын сигналдардан бөлу үшін сигналға уақыт-жиілік талдауының басқа да техникаларын қолдануға болады.
In signal processing, time–frequency analysis is a body of techniques and methods used for characterizing and manipulating signals whose statistics vary in time, such as transient signals. It is a generalization and refinement of Fourier analysis, for the case when the signal frequency characteristics are varying with time. Since many signals of interest – such as speech, music, images, and medical signals – have changing frequency characteristics, time–frequency analysis has broad scope of applications. Whereas the technique of the Fourier transform can be extended to obtain the frequency spectrum of any slowly growing locally integrable signal, this approach requires a complete description of the signal's behavior over all time. Indeed, one can think of points in the (spectral) frequency domain as smearing together information from across the entire time domain. While mathematically elegant, such a technique is not appropriate for analyzing a signal with indeterminate future behavior. For instance, one must presuppose some degree of indeterminate future behavior in any telecommunications systems to achieve non zero entropy (if one already knows what the other person will say one cannot learn anything). To harness the power of a frequency representation without the need of a complete characterization in the time domain, one first obtains a time–frequency distribution of the signal, which represents the signal in both the time and frequency domains simultaneously. In such a representation the frequency domain will only reflect the behavior of a temporally localized version of the signal. This enables one to talk sensibly about signals whose component frequencies vary in time. For instance rather than using tempered distributions to globally transform the following function into the frequency domain one could instead use these methods to describe it as a signal with a time varying frequency. Once such a representation has been generated other techniques in time–frequency analysis may then be applied to the signal in order to extract information from the signal, to separate the signal from noise or interfering signals, etc.
TF талдау және кездейсоқ процестер
Кездейсоқ процесс x(t) үшін x(t) мәнін нақты анықтау мүмкін емес. x(t) мәні ықтималдық функциясы арқылы өрнектеледі.
For a random process x(t), we cannot find the explicit value of x(t). The value of x(t) is expressed as a probability function.
Қолданбалар
Келесі қолданбалар уақыт-жиілік бөлу функцияларымен қатар сигналға қатысты белгілі бір операцияларды да қажет етеді. Сызықтық каноникалық түрлендіру (LCT) шынымен де көмектеседі. LCT арқылы сигналдың уақыт-жиілік жазықтықтағы пішіні мен орналасуын қалауынша өзгертуге болады. Мысалы, LCT уақыт-жиілік үлестірілімін кез келген нүктеге жылжытуға, жазықтықтағы ауданын өзгертпей көлденең және тік бағытта созуға, қисайтуға (немесе бұруға) және айналдыруға (Бөлшек Фурье түрлендіруі) мүмкіндік береді. Осы қуатты операция, LCT, уақыт-жиілік үлестірілімдерін талдау мен қолдануды ыңғайлырақ жасайды.
The following applications need not only the time–frequency distribution functions but also some operations to the signal. The Linear canonical transform (LCT) is really helpful. By LCTs, the shape and location on the time–frequency plane of a signal can be in the arbitrary form that we want it to be. For example, the LCTs can shift the time–frequency distribution to any location, dilate it in the horizontal and vertical direction without changing its area on the plane, shear (or twist) it, and rotate it (Fractional Fourier transform). This powerful operation, LCT, make it more flexible to analyze and apply the time–frequency distributions.
TF сүзгілеу және сигналдың ыдырау
Сүзгі дизайнының мақсаты – сигналдың қажетсіз компонентін жою. Көбінесе, сигналды уақыт доменінде немесе жиілік доменінде жеке-жеке сүзгілеуге болады, бұл төменде көрсетілгендей. Жоғарыда аталған сүзгілеу әдістері әр сигнал үшін жақсы жұмыс істемейді, әсіресе егер сигналдар уақыт немесе жиілік доменінде біртіндеп жатса. Уақыт-жиілік үлестіру функциясын қолдану арқылы сигналды Евклидтік уақыт-жиілік доменінде немесе фракциялық Фурье түрлендірмесі арқылы фракциялық доменде сүзгілеуге болады. Мысалы төменде келтірілген. Уақыт-жиілік талдауындағы сүзгі дизайны көбінесе көп компоненттен тұратын сигналдармен жұмыс істейді, сондықтан қиылысқан мүшелердің болуына байланысты WDF қолдану қиын. Габор түрлендірмесі, Габор-Вигнер үлестіру функциясы немесе Коэннің кластық үлестіру функциясы жақсырақ таңдау болуы мүмкін. Сигналды ыдырату тұжырымы сигналдың бір компонентін басқалардан бөлу қажеттігімен байланысты; мұны сүзгілеу операциясы арқылы іске асыруға болады, ол сүзгі дизайнын қажет етеді. Мұндай сүзгілеу әдетте уақыт немесе жиілік доменінде жүргізіледі; алайда, бұл стационарлық емес және көп компоненттен тұратын сигналдар үшін мүмкін болмайды, себебі олардың компоненттері уақыт және жиілік домендерінде біртіндеп жатуы мүмкін. Осының салдарынан, компоненттерді бөлудің және сигналды ыдыратудың жалғыз жолы – уақыт-жиілік сүзгісін қолдану болып табылады.
The goal of filter design is to remove the undesired component of a signal. Conventionally, we can just filter in the time domain or in the frequency domain individually as shown below. The filtering methods mentioned above can’t work well for every signal which may overlap in the time domain or in the frequency domain. By using the time–frequency distribution function, we can filter in the Euclidean time–frequency domain or in the fractional domain by employing the fractional Fourier transform. An example is shown below. Filter design in time–frequency analysis always deals with signals composed of multiple components, so one cannot use WDF due to cross term. The Gabor transform, Gabor–Wigner distribution function, or Cohen's class distribution function may be better choices. The concept of signal decomposition relates to the need to separate one component from the others in a signal; this can be achieved through a filtering operation which require a filter design stage. Such filtering is traditionally done in the time domain or in the frequency domain; however, this may not be possible in the case of non stationary signals that are multicomponent as such components could overlap in both the time domain and also in the frequency domain; as a consequence, the only possible way to achieve component separation and therefore a signal decomposition is to implement a time–frequency filter.
Сынама алу теориясы
Найквист-Шеннон үлгі алу теоремасы бойынша, біз алиасингсіз үлгі алу нүктелерінің ең аз саны сигналдың уақыт-жиілік таралу аймағына тең деп қорытындылай аламыз. (Бұл, шындығында, тек жуықтау, себебі кез келген сигналдың уақыт-жиілік аймағы шексіз.) Төменде үлгі алу теориясын уақыт-жиілік таралуымен біріктіргенге дейін және кейінгі мысал келтірілген:
By the Nyquist–Shannon sampling theorem, we can conclude that the minimum number of sampling points without aliasing is equivalent to the area of the time–frequency distribution of a signal. (This is actually just an approximation, because the TF area of any signal is infinite.) Below is an example before and after we combine the sampling theory with the time–frequency distribution:
Уақыт-жиілік таралуын қолданғаннан кейін үлгі алу нүктелерінің саны азайғанын көруге болады. WDF қолданғанда, қиылыс мүшелерінің мәселесі туындауы мүмкін (оны интерференция деп те атайды). Ал Габор трансформациясын қолдану бейнелеудің айқындығы мен түсініктілігін арттырады, соның салдарынан оның түсіндірілуін және практикалық мәселелерге қолданылуын жақсартады. Осылайша, егер үлгіге алынатын сигнал бір компоненттен тұрса, WDF қолданылады; бірақ сигнал бірнеше компоненттен тұрса, Габор трансформациясын, Габор-Вигнер тарату функциясын немесе басқа да интерференцияны азайтатын уақыт-жиілік таратуларын (TFD) қолдану арқылы жақсы нәтижелерге қол жеткізуге болады. Балиан-Лоу теоремасы осыны формалдайды және қажетті уақыт-жиілік үлгілерінің ең аз санын шектейді.
It is noticeable that the number of sampling points decreases after we apply the time–frequency distribution. When we use the WDF, there might be the cross term problem (also called interference). On the other hand, using Gabor transform causes an improvement in the clarity and readability of the representation, therefore improving its interpretation and application to practical problems. Consequently, when the signal we tend to sample is composed of single component, we use the WDF; however, if the signal consists of more than one component, using the Gabor transform, Gabor Wigner distribution function, or other reduced interference TFDs may achieve better results. The Balian–Low theorem formalizes this, and provides a bound on the minimum number of time–frequency samples needed.
Модуляция және мультиплекс
Дәстүрлі түрде модуляция және мультиплекстеу операциялары уақыт немесе жиілік бойынша бөлек шоғырланады. Уақыт-жиілік таралуын пайдалану арқылы модуляциялау мен мультиплекстеуді тиімдірек етуге болады. Бізге тек уақыт-жиілік жазықтығын толтыру қажет. Мысалы төменде келтірілген. Жоғарыдағы мысалда көрсетілгендей, WDF-ты пайдалану тиімді емес, себебі күшті қиылысқан мүшелердің тудырған проблема мультиплекстеу мен модуляцияны қиындатады.
Conventionally, the operation of modulation and multiplexing concentrates in time or in frequency, separately. By taking advantage of the time–frequency distribution, we can make it more efficient to modulate and multiplex. All we have to do is to fill up the time–frequency plane. We present an example as below. As illustrated in the upper example, using the WDF is not smart since the serious cross term problem make it difficult to multiplex and modulate.
Оптика, акустика және биомедицина
Жарық электромагниттік толқын болғандықтан, уақыт-жиілік талдауы оптикаға, жалпы электромагниттік толқын таралуына қолданылатындай қолданылады. Сол сияқты, акустикалық сигналдардың ерекшелігі – олардың жиілік компоненттері уақыт бойынша күрт өзгерістерге ұшырайды, демек, олардың бүкіл ұзақтығын қамтитын бір ғана жиілік компонентімен талдау жеткілікті емес. Акустикалық сигналдар адам жіберушісі мен қабылдаушысы арасындағы коммуникацияда сөйлеу ретінде қолданылатындықтан, олардың техникалық коммуникация жүйелерінде кез келген кешіктіріссіз берілуі маңызды. Осы себепті, Габор трансформациясы сияқты қарапайым TFD-лерді қолдану, есептеу күрделілігін азайту арқылы осы сигналдарды нақты уақытта талдауға мүмкіндік береді. Егер жиілік талдауының жылдамдығы шектеу болмаса, нақты TFD-ні таңдамас бұрын, анықталған критерийлер бойынша егжей-тегжейлі сипаттамаларды салыстыру қажет. Тағы бір тәсіл – деректерге бейімделген, сигналға тәуелді TFD-ні анықтау. Биомедицинада электромиографияны (ЭМГ), электроэнцефалографияны (ЭЭГ), электрокардиограмманы (ЭКГ) немесе отоакустикалық эмиссияны (ОАЭ) талдау үшін уақыт-жиілік таралуын қолдануға болады.
Light is an electromagnetic wave, so time–frequency analysis applies to optics in the same way as for general electromagnetic wave propagation. Similarly, it is a characteristic of acoustic signals, that their frequency components undergo abrupt variations in time and would hence be not well represented by a single frequency component analysis covering their entire durations. As acoustic signals are used as speech in communication between the human sender and receiver, their undelayedly transmission in technical communication systems is crucial, which makes the use of simpler TFDs, such as the Gabor transform, suitable to analyze these signals in real time by reducing computational complexity. If frequency analysis speed is not a limitation, a detailed feature comparison with well defined criteria should be made before selecting a particular TFD. Another approach is to define a signal dependent TFD that is adapted to the data. In biomedicine, one can use time–frequency distribution to analyze the electromyography (EMG), electroencephalography (EEG), electrocardiogram (ECG) or otoacoustic emissions (OAEs).
Тарих
Уақыт-жиілік талдауының алғашқы жұмыстарын Альфред Хаардың 1909 жылғы Haar толқыншаларында көруге болады, бірақ олар сигналды өңдеуде кеңінен қолданылмады. Деннис Габор, Габор атомдары (1947) – толқыншалардың ерте түрі және Габор трансформациясы, модификацияланған қысқа мерзімді Фурье трансформациясы сияқты маңызды жұмыстар атқарды. Вигнер-Виль таралымы (Виль, 1948, сигнал өңдеу контекстінде) тағы бір негізгі қадам болды. Әсіресе 1930 және 1940 жылдары уақыт-жиілік талдауы кванттық механикамен бірге дамыды (Вигнер 1932 жылы кванттық механикада Вигнер-Виль таралымын жасады, ал Габор кванттық механиканың ықпалында болды – Габор атомын қараңыз); бұл позиция-импульс жазықтығы мен уақыт-жиілік жазықтығының ортақ математикалық байланысында көрінеді, мысалы, Хайзенберг белгісіздік принципі (кванттық механика) және Габор шегі (уақыт-жиілік талдауы) – екеуі де түпкілікті симплекстік құрылымды көрсетеді. Уақыт-жиілік талдауының алғашқы практикалық мақсаты радарды дамыту болды – осыған байланысты бұлыңғырлық функциясын қараңыз.
Early work in time–frequency analysis can be seen in the Haar wavelets (1909) of Alfréd Haar, though these were not significantly applied to signal processing. More substantial work was undertaken by Dennis Gabor, such as Gabor atoms (1947), an early form of wavelets, and the Gabor transform, a modified short time Fourier transform. The Wigner–Ville distribution (Ville 1948, in a signal processing context) was another foundational step. Particularly in the 1930s and 1940s, early time–frequency analysis developed in concert with quantum mechanics (Wigner developed the Wigner–Ville distribution in 1932 in quantum mechanics, and Gabor was influenced by quantum mechanics – see Gabor atom); this is reflected in the shared mathematics of the position momentum plane and the time–frequency plane – as in the Heisenberg uncertainty principle (quantum mechanics) and the Gabor limit (time–frequency analysis), ultimately both reflecting a symplectic structure. An early practical motivation for time–frequency analysis was the development of radar – see ambiguity function.