Введение
В обработке сигналов анализ времени-частоты включает в себя методы, изучающие сигнал одновременно в областях времени и частоты, используя различные представления времени-частоты. Вместо рассмотрения одномерного сигнала (функции, вещественной или комплексной, областью определения которой является действительная прямая) и некоторого преобразования (другой функции, областью определения которой также является действительная прямая, полученной из исходной посредством этого преобразования), анализ времени-частоты изучает двухмерный сигнал – функцию, областью определения которой является двухмерная действительная плоскость, полученную из сигнала посредством преобразования времени-частоты. Математическое обоснование этого подхода заключается в тесной взаимосвязи между функциями и их преобразованиями, которые лучше понимаются при совместном изучении как двухмерного объекта, а не по отдельности. Простой пример: четырехкратная периодичность преобразования Фурье и тот факт, что двукратное преобразование Фурье меняет направление, можно интерпретировать, рассматривая преобразование Фурье как поворот на 90° в соответствующей плоскости времени-частоты: четыре таких поворота дают тождественное преобразование, а два – просто меняют направление (отражение относительно начала координат). Практическое обоснование анализа времени-частоты заключается в том, что классический анализ Фурье предполагает бесконечную длительность или периодичность сигналов, в то время как многие реальные сигналы имеют конечную длительность и существенно изменяются в течение этой длительности. Например, традиционные музыкальные инструменты не генерируют синусоиды бесконечной длительности, а вместо этого начинаются с атаки и затем постепенно затухают. Это плохо описывается традиционными методами, что и обуславливает необходимость анализа времени-частоты. Одной из наиболее базовых форм анализа времени-частоты является кратковременное преобразование Фурье (STFT), однако были разработаны и более сложные методы, в частности, вейвлет-анализ и методы спектрального анализа методом наименьших квадратов для неравномерно дискретизированных данных.
Мотивация
В обработке сигналов анализ времени-частоты – это совокупность методов, используемых для характеристики и манипулирования сигналами, статистические свойства которых изменяются во времени, например, переходными процессами. Это обобщение и уточнение анализа Фурье для случаев, когда частотные характеристики сигнала меняются со временем. Поскольку многие представляющие интерес сигналы – такие как речь, музыка, изображения и медицинские сигналы – обладают изменяющимися частотными характеристиками, анализ времени-частоты имеет широкую область применения. В то время как преобразование Фурье можно расширить для получения частотного спектра любого медленно растущего локально интегрируемого сигнала, этот подход требует полного описания поведения сигнала на протяжении всего времени. Фактически, точки в (спектральной) частотной области можно рассматривать как объединение информации со всего временного интервала. Хотя математически это изящно, такой метод не подходит для анализа сигнала с неопределенным будущим поведением. Например, для достижения ненулевой энтропии необходимо предполагать некоторую степень неопределенности будущего поведения в любой системе связи (если вы уже знаете, что скажет другой человек, вы ничего не можете узнать). Чтобы использовать возможности частотного представления без необходимости полной характеристики во временной области, сначала получают распределение сигнала во времени и частоте, которое одновременно представляет сигнал как во временной, так и в частотной областях. В таком представлении частотная область будет отражать только поведение временно локализованной версии сигнала. Это позволяет осмысленно говорить о сигналах, частоты компонентов которых меняются во времени. Например, вместо использования обобщенных функций для глобального преобразования следующей функции в частотную область, можно использовать эти методы для описания ее как сигнала с изменяющейся частотой. После создания такого представления к сигналу могут быть применены другие методы анализа времени-частоты для извлечения информации, отделения сигнала от шума или мешающих сигналов и т.д.
Анализ ТФ и случайные процессы
Для случайного процесса x(t) мы не можем определить точное значение x(t). Значение x(t) выражается функцией вероятности.
Приложения
Следующие приложения требуют не только функции распределения по времени и частоте, но и некоторые операции над сигналом. Линейная каноническая трансформация (ЛКТ) весьма эффективна. С помощью ЛКТ форму и положение сигнала на плоскости время-частота можно задать в любой желаемой форме. Например, ЛКТ позволяют сдвигать распределение по времени и частоте в любую точку, масштабировать его в горизонтальном и вертикальном направлениях, не изменяя его площади на плоскости, выполнять сдвиг (или поворот) и вращать (фракционное преобразование Фурье). Эта мощная операция, ЛКТ, делает анализ и применение распределений по времени и частоте более гибкими.
Фильтрация TF и разложение сигнала
Целью разработки фильтра является удаление нежелаемых составляющих сигнала. Традиционно фильтрацию можно осуществлять отдельно в временной или частотной области, как показано ниже. Вышеупомянутые методы фильтрации не всегда эффективно работают для сигналов, компоненты которых перекрываются во временной или частотной областях. Используя функцию распределения во времени и частоте, можно выполнять фильтрацию в евклидовой временной и частотной области или в дробной области, применяя дробное преобразование Фурье. Пример приведен ниже. Разработка фильтров в анализе времени и частоты обычно связана с сигналами, состоящими из нескольких компонентов, поэтому использование WDF (распределения Вигнера) невозможно из-за эффекта перекрестных членов. Более подходящими могут быть преобразование Габора, распределение Габора-Вигнера или распределения класса Коэна. Концепция разложения сигнала связана с необходимостью выделения отдельных компонентов из сигнала, что достигается посредством фильтрации, требующей этапа разработки фильтра. Такая фильтрация традиционно выполняется во временной или частотной области, однако это может быть затруднительно для нестационарных многокомпонентных сигналов, поскольку их компоненты могут перекрываться как во времени, так и в частоте. Следовательно, единственным способом разделения компонентов и, как следствие, разложения сигнала является применение фильтра во времени и частоте.
Теория выборки
По теореме Котельникова — Найквиста — Шеннона можно заключить, что минимальное количество точек дискретизации без появления эффекта наложения спектров эквивалентно площади временнó-частотного распределения сигнала. (На самом деле это лишь приближение, поскольку временнó-частотная область любого сигнала бесконечна.) Ниже приведен пример до и после объединения теории дискретизации с временнó-частотным распределением:
Заметно, что количество точек дискретизации уменьшается после применения временнó-частотного распределения. При использовании WDF может возникнуть проблема перекрестных членов (также называемая интерференцией). С другой стороны, использование преобразования Габора повышает четкость и удобочитаемость представления, что улучшает его интерпретацию и применение к практическим задачам. Следовательно, если сигнал, который мы собираемся дискретизировать, состоит из одной компоненты, мы используем WDF; однако, если сигнал состоит из нескольких компонент, использование преобразования Габора, функции распределения Габора — Вигнера или других временнó-частотных распределений с пониженной интерференцией может дать лучшие результаты. Теорема Балиана — Лоу формализует это и устанавливает предел минимального количества необходимых временнó-частотных отсчетов.
Модуляция и мультиплексирование
Обычно операции модуляции и мультиплексирования выполняются раздельно во времени или по частоте. Используя распределение сигнала во времени и частоте, можно повысить эффективность модуляции и мультиплексирования. Для этого достаточно заполнить плоскость время-частота. Приведем пример, иллюстрирующий это. Как показано на верхнем примере, использование WDF неэффективно, поскольку серьезная проблема с перекрестными членами затрудняет мультиплексирование и модуляцию.
Оптика, акустика и биомедицина
Свет является электромагнитной волной, поэтому временно-частотный анализ применим к оптике так же, как и к распространению электромагнитных волн в общем случае. Аналогично, для акустических сигналов характерно, что их частотные составляющие претерпевают резкие изменения во времени, и поэтому они не будут хорошо представлены анализом на основе единственной частотной составляющей, охватывающим всю их длительность. Поскольку акустические сигналы используются в качестве речи в коммуникации между говорящим и слушающим, их незамедлительная передача в технических системах связи критически важна, что делает использование более простых временно-частотных распределений (ВЧР), таких как преобразование Габора, подходящим для анализа этих сигналов в реальном времени за счет снижения вычислительной сложности. Если скорость частотного анализа не является ограничением, перед выбором конкретного ВЧР следует провести детальное сравнение характеристик на основе четко определенных критериев. Другой подход заключается в определении ВЧР, зависящего от сигнала и адаптированного к данным. В биомедицине временно-частотное распределение можно использовать для анализа электромиографии (ЭМГ), электроэнцефалографии (ЭЭГ), электрокардиограммы (ЭКГ) или отоакустической эмиссии (ОАЭ).
История
Ранние работы в области анализа времени-частоты можно увидеть в волнолетах Хаара (1909) Альфреда Хаара, хотя они не получили значительного применения в обработке сигналов. Более существенная работа была проделана Деннисом Габором, например, атомы Габора (1947) – ранняя форма волнолетов, и преобразование Габора – модифицированное кратковременное преобразование Фурье. Распределение Вигнера-Виля (Виль 1948, в контексте обработки сигналов) стало еще одним основополагающим шагом. Особенно в 1930-х и 1940-х годах ранний анализ времени-частоты развивался параллельно с квантовой механикой (Вигнер разработал распределение Вигнера-Виля в 1932 году в рамках квантовой механики, а на Габора оказала влияние квантовая механика – см. атом Габора); это отражается в общей математике плоскости положения-импульса и плоскости времени-частоты – как в принципе неопределенности Гейзенберга (квантовая механика), так и в пределе Габора (анализ времени-частоты), оба в конечном итоге отражают симплектическую структуру. Ранней практической мотивацией для анализа времени-частоты была разработка радиолокации – см. функцию неоднозначности.