Кіріспе
Билинеарлық нысанды жалпылау. Математикада сесквилинеарлық нысан – билинеарлық нысанның жалпылауы болып табылады, ал билинеарлық нысан өз кезегінде Евклид кеңістігінің скалярлық көбейтіндісі түсінігін жалпылайды. Билинейлік форма өз аргументтерінің әрқайсысы бойынша сызықтық, бірақ сесквилинеарлық форма аргументтердің біреуін жартылай сызықтық түрде "өзгертуге" мүмкіндік береді, сондықтан осылай аталады; атауының шығу тегі латын тіліндегі sesqui сандық префиксінен басталады, ол "бір жарым" дегенді білдіреді. Векторлар жұбынан скаляр шығаратын скалярлық көбейтіндінің негізгі ұғымын скалярлық мәндердің кең ауқымын рұқсат ету арқылы және, мүмкін, бір мезгілде вектордың анықтамасын кеңейту арқылы жалпылауға болады. Математикалық физикада қолданылатын маңызды ерекше жағдай – күрделі векторлық кеңістіктегі V сесквилинеарлық нысаны. Бұл V × V → 'C' бейнелеуі, ол бір аргумент бойынша сызықтық, ал екінші аргументтің сызықтығын күрделі конъюгация арқылы "өзгертеді" (екінші аргументте антисызықтық деп аталады). Бұл жағдай математикалық физика қолданбаларында табиғи түрде туындайды. Тағы бір маңызды жағдай – скалярлардың кез келген өрістен болуына мүмкіндік беру және өзгертуді өрістің автоморфизмімен қамтамасыз ету. Проективті геометриядағы қолдану үшін скалярлардың бөліну сақинасынан (қисайған өріс) K-дан болуы талап етіледі, бұл "векторларды" K модульінің элементтерімен алмастыру қажеттігін білдіреді. Ең жалпы жағдайда, сесквилинеарлық формаларды кез келген сақиналар үшін R модульдерінде R арқылы анықтауға болады.
In mathematics, a sesquilinear form is a generalization of a bilinear form that, in turn, is a generalization of the concept of the dot product of Euclidean space. A bilinear form is linear in each of its arguments, but a sesquilinear form allows one of the arguments to be "twisted" in a semilinear manner, thus the name; which originates from the Latin numerical prefix sesqui meaning "one and a half". The basic concept of the dot product – producing a scalar from a pair of vectors – can be generalized by allowing a broader range of scalar values and, perhaps simultaneously, by widening the definition of a vector. A motivating special case is a sesquilinear form on a complex vector space, V. This is a map V × V → 'C' that is linear in one argument and "twists" the linearity of the other argument by complex conjugation (referred to as being antilinear in the other argument). This case arises naturally in mathematical physics applications. Another important case allows the scalars to come from any field and the twist is provided by a field automorphism. An application in projective geometry requires that the scalars come from a division ring (skew field), K, and this means that the "vectors" should be replaced by elements of a K module. In a very general setting, sesquilinear forms can be defined over R modules for arbitrary rings R.
Бейресми таныстыру
Сесквилинарлық нысандар абстрактілі және күрделі векторлық кеңістіктегі гермиттік нысан ұғымын жалпылайды. Гермиттік формалар физикада күрделі Гильберт кеңістігіндегі ішкі көбейтінді ретінде жиі кездеседі. Мұндай жағдайларда, C^n-нің стандартты гермиттік формасы былай беріледі:
мұнда – нөлдік санды білдіреді. Бұл көбейтінді C^n-нің ортонормал негізімен немесе тіпті ешқандай негізбен жұмыс істемейтін жағдайларға да жалпыланады. Көбейтіндіге қосымша – нөлдік санды қосу арқылы, төменде дәлірек анықталған қисайған гермиттік форманы аламыз. Анықтаманы күрделі сандармен шектеудің қажеті жоқ; оны антиавтоморфизмді алып жүретін кез келген сақина үшін анықтауға болады, бұл сақина үшін «комплекстік конъюгация» ұғымының жалпыланған түрі ретінде қарастырылады.
Конвенция
Конвенциялардың арасында қай аргументтің сызықты болуы керек екендігіне қатысты айырмашылықтар бар. Коммутативтік жағдайда, математикалық әдебиеттегідей, бірінші аргументті сызықты деп қабылдаймыз, бірақ күрделі векторлық кеңістіктердегі сесквилинеарлық формаларға арналған бөлімде бұл ережеге ерекшелік жасаймыз. Онда біз басқа конвенцияны қолданамыз және бірінші аргументті конъюгациялық сызықтық (яғни антисызықтық), ал екіншісін сызықты деп қабылдаймыз. Бұл конвенция физиктердің көпшілігі қолданды және кванттық механикадағы Дирактың «жақтау-кетік» белгісінен шыққан. Бұл сонымен қатар, әдеттегі (Евклидтік) көбейтіндінің анықтамасымен де үйлеседі. Ал жалпы коммутативті емес жағдайда, оң модульдер үшін екінші аргументті сызықты, ал сол модульдер үшін бірінші аргументті сызықты деп қабылдаймыз.
In the more general noncommutative setting, with right modules we take the second argument to be linear and with left modules we take the first argument to be linear.
Бөлімшелер шеңберінің үстінде
Бұл бөлім K бөліну сақинасы коммутативті болған жағдайда да өзгеріссіз қолданылады. Мұндай жағдайда арнайы терминология да қолданылады: бөліну сақинасы – өріс, антиавтоморфизм – автоморфизм болып өтеді, ал оң модуль – векторлық кеңістікке айналады. Сол сияқты, сөздерді тиісті ретпен өзгерту арқылы бұл сол модульге де қатысты.
Мысал
V – шекті өріс GF(q^(2)) үстіндегі үш өлшемді векторлық кеңістік болсын, мұндағы q – жай санның дәрежесі. Стандартты базис бойынша, біз 1= x = (x1, x2, x3) және 1= y = (y1, y2, y3) деп жаза аламыз және φ бейнелеуін былай анықтаймыз: σ бейнелеуі: t ↦ t^(q) – F өрісінің инволюциялық автоморфизмі. Осы формаға қатысты Mφ матрицасы бірлік матрица болып табылады. Бұл – Эрмиттік форма.
The map σ : t ↦ t^(q) is an involutory automorphism of F. The map φ is then a σ sesquilinear form. The matrix Mφ associated to this form is the identity matrix. This is a Hermitian form.