Введение
Обобщение билинейной формы
В математике, сесквилинейная форма является обобщением билинейной формы, которая, в свою очередь, является обобщением понятия скалярного произведения евклидова пространства. Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но сесквилинейная форма допускает "искривление" линейности одного из аргументов посредством полулинейного преобразования, отсюда и название, происходящее от латинского числового префикса sesqui, означающего "один с половиной". Базовая концепция скалярного произведения – получение скаляра из пары векторов – может быть обобщена, позволяя использовать более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно, расширяя определение вектора. Важным частным случаем является сесквилинейная форма на комплексном векторном пространстве V. Это отображение V × V → C, которое линейно по одному аргументу и "искривляет" линейность другого аргумента посредством комплексного сопряжения (называемого антилинейностью по другому аргументу). Этот случай естественно возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай допускает, чтобы скаляры принадлежали любому полю, а искривление обеспечивается автоморфизмом поля. Применение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры принадлежали к кольцу деления (скосому полю) K, что означает, что "векторы" следует заменять элементами K-модуля. В наиболее общем случае сесквилинейные формы могут быть определены над R-модулями для произвольных колец R.
In mathematics, a sesquilinear form is a generalization of a bilinear form that, in turn, is a generalization of the concept of the dot product of Euclidean space. A bilinear form is linear in each of its arguments, but a sesquilinear form allows one of the arguments to be "twisted" in a semilinear manner, thus the name; which originates from the Latin numerical prefix sesqui meaning "one and a half". The basic concept of the dot product – producing a scalar from a pair of vectors – can be generalized by allowing a broader range of scalar values and, perhaps simultaneously, by widening the definition of a vector. A motivating special case is a sesquilinear form on a complex vector space, V. This is a map V × V → 'C' that is linear in one argument and "twists" the linearity of the other argument by complex conjugation (referred to as being antilinear in the other argument). This case arises naturally in mathematical physics applications. Another important case allows the scalars to come from any field and the twist is provided by a field automorphism. An application in projective geometry requires that the scalars come from a division ring (skew field), K, and this means that the "vectors" should be replaced by elements of a K module. In a very general setting, sesquilinear forms can be defined over R modules for arbitrary rings R.
Неофициальное введение
Сесквилинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие гермитовой формы на комплексном векторном пространстве. Гермитовы формы часто встречаются в физике, как скалярное произведение в комплексном гильбертовом пространстве. В таких случаях стандартная гермитова форма на Cⁿ задается выражением
где обозначает комплексно сопряженное к . Это произведение можно обобщить на ситуации, когда работа не ведется с ортонормальным базисом для Cⁿ, или даже вообще без базиса. Вставляя дополнительный множитель в произведение, получают косоэрмитову форму, которая определяется более точно ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец, несущих антиавтоморфизм, который неформально понимается как обобщенное понятие "комплексного сопряжения" для кольца.
Конвенция
Соглашения различаются в отношении того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае мы будем считать первым аргументом линейный, как это обычно принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного сесквилинейным формам на комплексных векторных пространствах. Там мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (то есть антилинейным), а второй – линейным. Это соглашение, в основном используемое физиками, восходит к обозначению Дирака (bra–ket) в квантовой механике. Оно также согласуется с определением обычного (евклидова) произведения как. В более общем некомутативном случае, для правых модулей мы считаем линейным второй аргумент, а для левых модулей – первый.
In the more general noncommutative setting, with right modules we take the second argument to be linear and with left modules we take the first argument to be linear.
Над кольцом разделения
Этот раздел применяется без изменений, когда кольцо с делением K коммутативно. В этом случае используется и более специфическая терминология: кольцо с делением становится полем, антиавтоморфизм – автоморфизмом, а правый модуль – векторным пространством. Аналогичное утверждение справедливо и для левого модуля при соответствующей перестановке выражений.
Пример
Пусть V — трехмерное векторное пространство над конечным полем 1=F = GF(q^(2)), где q — степень простого числа. Относительно стандартного базиса мы можем записать 1= x = (x1, x2, x3) и 1= y = (y1, y2, y3) и определить отображение φ следующим образом:
Отображение σ : t ↦ t^(q) является инволютивным автоморфизмом F. Отображение φ тогда является σ-сесквилинейной формой. Матрица Mφ, ассоциированная с этой формой, является единичной матрицей. Это эрмитова форма.