Кіріспе
Белгілі бір нүктемен қозғалыс – айналу. Геометрияда Эйлер айналу теоремасы үш өлшемді кеңістікте қатты дененің кез келген орын ауыстыруы, яғни қатты дененің бір нүктесі бекітілген күйде қалса, ол бекітілген нүкте арқылы өтетін бір оське айналуға тең екенін көрсетеді. Бұл сондай-ақ екі айналудың қосылуы да айналу болып табылады дегенді білдіреді. Сондықтан айналулар жиыны топтық құрылымға ие, ол айналу тобы деп аталады. Теорема 1775 жылы шар геометриясы арқылы дәлелдеген Леонхард Эйлердің есімімен аталған. Айналу осі Эйлер осі деп аталады және әдетте бірлік вектор 'ê' арқылы көрсетіледі. Оның айналу бұрышымен көбейтіндісі ось-бұрыш векторы деп аталады. Теореманың кинематикаға қолданылуы тұрақты нүктелердің сызығын – айналудың бірден-бір осін анықтайды. Сызықтық алгебра тұрғысынан теорема 3D кеңістікте ортақ бастапқы нүктесі бар кез келген екі декарт координаталар жүйесінің белгілі бір оське айналу арқылы байланысты екенін көрсетеді. Бұл екі айналу матрицасының көбейтіндісі де айналу матрицасы болып табылады және бірлік матрица емес айналу матрицасы үшін бір өзіндік мәні 1-ге тең, ал қалған екеуі кешенді сандар немесе екеуі де -1-ге тең болады. Осы өзіндік мәнге сәйкес келетін өзіндік вектор екі жүйені байланыстыратын айналу осі болып табылады.
In geometry, Euler's rotation theorem states that, in three dimensional space, any displacement of a rigid body such that a point on the rigid body remains fixed, is equivalent to a single rotation about some axis that runs through the fixed point. It also means that the composition of two rotations is also a rotation. Therefore the set of rotations has a group structure, known as a rotation group. The theorem is named after Leonhard Euler, who proved it in 1775 by means of spherical geometry. The axis of rotation is known as an Euler axis, typically represented by a unit vector 'ê'. Its product by the rotation angle is known as an axis angle vector. The extension of the theorem to kinematics yields the concept of instant axis of rotation, a line of fixed points. In linear algebra terms, the theorem states that, in 3D space, any two Cartesian coordinate systems with a common origin are related by a rotation about some fixed axis. This also means that the product of two rotation matrices is again a rotation matrix and that for a non identity rotation matrix one eigenvalue is 1 and the other two are both complex, or both equal to −1. The eigenvector corresponding to this eigenvalue is the axis of rotation connecting the two systems.
Дәлел
Ойлердің түпкілікті дәлелі шар геометриясын қолданып жасалған, демек ол үшбұрыштар туралы айтқанда, оларды шар үшбұрыздары деп түсіну қажет.
Бұрынғы талдау
Дәлелге жету үшін Эйлер теорема дұрыс болса, жағдайдың қандай болатынын талдайды. Осы мақсатта, 1-суреттегі сары сызық сфераның ортасынан өтеді және ізделіп отырған айналу осі болсын, ал 'O' нүктесі – осы ось пен сфераның қиылысу нүктелерінің бірі. Содан кейін ол 'O' нүктесінен өтпейтін кездейсоқ үлкен шеңберді (көк шеңбер) және айналудан кейін алынған оның бейнесін (қызыл шеңбер) қарастырады, бұл да 'O' нүктесінен өтпейтін үлкен шеңбер. Ол олардың қиылысу нүктесін 'A' нүктесі деп белгілейді. (Егер шеңберлер бір-бірімен сәйкес келсе, онда 'A' нүктесі кез келген нүкте болуы мүмкін; әйтпесе 'A' екі қиылысу нүктесінің бірі болады.) Енді 'A' нүктесі бастапқы шеңберде (көк шеңберде) жатыр, сондықтан оның бейнесі тасымалданатын шеңберде (қызыл) болады. Ол осы бейнені 'a' нүктесі деп белгілейді. 'A' нүктесі тасымалданатын шеңберде (қызыл) болғандықтан, ол бастапқы шеңберде (көк) болған басқа бір нүктенің бейнесі болып табылады, және ол осы нүктені 'α' деп белгілейді (2-суретті қараңыз). Содан кейін ол 'α' және 'a' нүктелерін 'A' нүктесімен қосатын екі доғаны қарастырады. Бұл доғалардың ұзындығы тең, себебі 'αA' доғасы 'Aa' доғасына өтеді. Сондай-ақ, 'O' нүктесі бекітілген нүкте болғандықтан, 'αOA' үшбұрышы 'AOa' үшбұрышына өтеді, сондықтан бұл үшбұрыштар теңқабырлы, ал 'AO' доғасы ∠'αAa' бұрышын екіге бөледі.
Ең жақсы үміткер нүктесін құру
Алдыңғы қарастыруларды пайдалана отырып, инвариантты нүкте құрастырайық. Көк үлкен шеңберден және трансформация астындағы оның бейнесінен, яғни 1-суреттегідей қызыл үлкен шеңберден бастаймыз. "A" нүктесі осы шеңберлердің қиылысу нүктесі болсын. Егер трансформациядағы "A" нүктесінің бейнесі сол нүктемен сәйкес келсе, онда "A" нүктесі трансформацияның тұрақты нүктесі болады, ал орталық та тұрақты нүкте болғандықтан, "A" нүктесін қамтитын сфераның диаметрі айналу осі болып табылады және теорема дәлелденді. Әйтпесе, "A" нүктесінің бейнесін "a" деп, ал оның түпкі нүктесін "α" деп белгілейміз және осы екі нүктені "A" нүктесімен "αA" және "Aa" доғалары арқылы қосамыз. Бұл доғалардың ұзындығы тең. 'αAa' бұрышын екіге бөлетін үлкен шеңберді құрастырып, осы үлкен шеңберде "O" нүктесін "AO" және "aO" доғаларының ұзындығы тең болатындай етіп орналастырамыз, содан кейін "O" нүктесін қамтитын және көк және қызыл үлкен шеңберлермен шектелген сфера аймағын ''αAa' ішкі бөлігі деп атаймыз. (Яғни, 3-суреттегі сары аймақ). "O" нүктесі "αAa" бұрышының биссектрисасында жатқандықтан, сондай-ақ теңдік орындалады.
Өзгерістер кезінде оның өзгермеуін дәлелдеу
Енді "O" нүктесі "O'" нүктесінің бейнесі деп алайық. Онда біз білеміз және бағдар сақталады, сондықтан "O'" нүктесі ∠'αAa'-ның ішінде болуы керек. Енді "AO" кесіндісі "aO'" кесіндісіне өтеді, сондықтан "AO" және "aO" кесінділерінің ұзындықтары тең болғандықтан, онда және Бірақ , демек және Сондықтан "O'" нүктесі "O" нүктесімен сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, "O" нүктесі трансформацияның өзгермейтін нүктесі болып табылады, ал орталық та өзгермейтін нүкте болғандықтан, "O" нүктесін қамтитын сфераның диаметрі айналу осі болып табылады.
Ортогональды матрицаның айналу матрицасына теңдігі
Екі матрица (сызықтық түрлендірулерді бейнелейтін) бір-біріне эквивалентті деп есептеледі, егер бір негізді өзгерту арқылы бірін екіншісіне тең етуге болады. Дұрыс ортогональды матрица әрқашан келесі матрицаға немесе оның вертикальды көшірмесіне эквивалентті болады (осы мағынада). Одан кейін, кез келген ортогональды матрица айналу немесе бұрылмалы айналу болып табылады. Жалпы ортогональды матрицаның тек бір нақты өзіндік мәні болады, ол +1 немесе -1. Егер ол +1 болса, матрица айналу болып табылады. Егер -1 болса, матрица бұрылмалы айналу болып табылады. Егер 'R' матрицасында бірнеше өзгермейтін векторлар болса, онда кез келген вектор 'I' матрицасының өзгермейтін векторы болып табылады.
Then, any orthogonal matrix is either a rotation or an improper rotation. A general orthogonal matrix has only one real eigenvalue, either +1 or −1. When it is +1 the matrix is a rotation. When −1, the matrix is an improper rotation. If 'R' has more than one invariant vector then and Any vector is an invariant vector of 'I'.
Теңдестік кластары
Жоғарыда келтірілген нақты айналу матрицасының із (диагональдық элементтерінің қосындысы) 1 + 2 cos φ-қа тең. Із ортогональды матрицаның ұқсастық түрлендіруі кезінде өзгермейтін шама болғандықтан,
мұндай ортогональды матрица түрлендіруі арқылы 'R'-ге эквивалентті барлық матрицалардың іздері бірдей болады: із – сыныптық функция. Бұл матрицалық түрлендіру анық эквиваленттілік қатынасы болып табылады, яғни барлық осындай эквивалентті матрицалар эквиваленттілік класын құрайды. Шындығында, барлық 3 × 3 айналу матрицалары топты құрайды, оны әдетте SO(3) деп белгілейді (3 өлшемдегі арнайы ортогональды топ), ал бірдей ізге ие барлық матрицалар осы топтағы эквиваленттілік класын құрайды. Мұндай эквиваленттілік кластың барлық элементтері бірдей айналу бұрышына ие, бірақ барлық айналулар әртүрлі осьтер бойында жүреді. Егер 'n' – 'R' матрицасының өзіндік векторы болса, онда 'An' – 'ARAᵀ' матрицасының да өзіндік векторы болады, сонымен қатар оның өзіндік мәні 1-ге тең. 'n' және 'An' бір-бірінен өзгеше, егер басқаша көрсетілмесе.
Ротация генераторлары
Егер біз айналу осін [x, y, z] бірлік вектормен белгілесек, онда сол вектордың шамалы Δθ бұрышына қатысты шексіз кішкентай айналуы бар деп есептейік. Айналу матрицасын шексіз қосынды ретінде кеңейтіп, бірінші реттік жуықтау қолдансақ, айналу матрицасы ΔR былай өрнектеледі:
θ бұрышына қатысты осы ось бойынша шекті айналуды сол осьтің бойымен кіші айналулардың тізбегі ретінде қарастыруға болады. Δθ-ны N үлкен сан болғанда жуықтап есептесек, ось бойынша θ бұрышына айналуды былай бейнелеуге болады:
Көрініп тұрғанындай, Эйлер теоремасы барлық айналуларды осы формада бейнелеуге болады дейді. "A"θ көбейтіндісі – бұл "A" матрицасына сәйкес келетін (x, y, z) векторы болатын нақты айналудың "генераторы". Бұл айналу матрицасы мен ось-бұрыш форматы экспоненциалдық функция арқылы байланысты екенін көрсетеді. "G" генераторы үшін қарапайым өрнек алуға болады. Біз Евклид кеңістігінде "a" және "b" перпендикуляр бірлік векторларының жұбымен анықталған кездейсоқ жазықтықтан бастаймыз. Бұл жазықтықта "x" және оған перпендикуляр "y" векторын кездейсоқ таңдаймыз. Содан кейін "y"-ді "x" арқылы шешіп, жазықтықта айналу үшін өрнекке қоямыз, нәтижесінде генераторды қамтитын "R" айналу матрицасы шығады. Бұл өзгертілген айналу матрицасын экспоненциалдық функция түрінде қайта жазуға болады. Талдау көбінесе толық айналу матрицасына қарағанда осы генераторлармен жұмыс істеу оңайырақ. Генераторлар арқылы талдау айналу тобының Ли алгебрасы деп аталады.
To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for 'R' by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.
Квартерниондар
Ойлер теоремасынан кез келген координаттар жүйесінің жұптарының салыстырмалы бағытын үш тәуелсіз сан жиыны арқылы анықтауға болады. Кейде кватернион алгебрасымен операцияларды жеңілдету үшін артық төртінші сан қосылады. Осы сандардың үшеуі – өзвекторді бағыттайтын бағыт косинустары. Төртіншісі – екі координаттар жиынтығын бөліп тұратын өзвекторға қатысты бұрыш. Мұндай төрт саннан тұратын жиынтық кватернион деп аталады. Жоғарыда сипатталған кватерниондар күрделі сандарды қамтымаса, егер кватерниондар екі тізбектей айналымды сипаттау үшін қолданылса, оларды Уильям Роуэн Гамильтонның жорамал сандарды пайдалану арқылы туындылаған, коммутативті емес кватернион алгебрасын қолдану арқылы біріктіру қажет. Кватерниондар арқылы айналуды есептеу, қажетті есептеулерді азайту және дөңгелектеу қателіктерін төмендету арқасында аэроғарыш саласында бағыт косинустарын қолдануды ығыстырды. Сонымен қатар, компьютерлік графикада кватерниондар арасында сфералық интерполяцияны салыстырмалы түрде оңай жүзеге асыру мүмкіндігі бағалы.
Жалпылау
Жоғары өлшемдерде 2n немесе 2n + 1 өлшемдегі нүктені сақтайтын кез келген қатаң қозғалыс, айналудың ортогональды жазықтықтарындағы ең көп дегенде n айналудың композициясы болып табылады, бірақ бұл жазықтықтар бірегей түрде анықталмауы мүмкін, ал қатаң қозғалыс бірнеше осьтерді бекіте алады. Сондай-ақ, 2n немесе 2n + 1 өлшемдегі n өлшемді денеге созылатын n сызықтық тәуелсіз нүктені сақтайтын кез келген қатаң қозғалыс – бір жазықтықтағы айналу болып табылады. Басқаша айтқанда, егер геометриясы бірдей екі қатаң денеде кем дегенде n нүктеде «бірдей» орналасулар болса, олардың дөңгелек қабығы n өлшемді болса, онда бір жазық айналу бірін екіншісін 2n немесе 2n + 1 өлшемде дәл жабуға мүмкіндік береді. Үш өлшемдегі қатаң қозғалыс, міндетті түрде нүктені бекітпейтін болса, «бұрандалы қозғалыс» деп аталады. Себебі, оське перпендикуляр бағыттағы ауысқан айналудың композициясы параллель осьтің айналуын, ал оське параллель бағыттағы ауысқан композиция бұрандалы қозғалысты тудырады; бұранда осіне қараңыз. Осыдан «бұранда теориясы» пайда болады.