Введение
Движение с фиксированной точкой – это вращение.
В геометрии теорема вращения Эйлера утверждает, что в трехмерном пространстве любое перемещение жесткого тела, при котором точка на этом теле остается неподвижной, эквивалентно одному вращению вокруг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку. Это также означает, что композиция двух вращений также является вращением. Следовательно, множество вращений имеет групповую структуру, известную как группа вращений. Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1775 году, используя сферическую геометрию. Ось вращения называется осью Эйлера и обычно представляется единичным вектором 'ê'. Её произведение на угол вращения известно как вектор оси и угла. Расширение теоремы на кинематику приводит к понятию мгновенной оси вращения – линии неподвижных точек. В терминах линейной алгебры теорема утверждает, что в трехмерном пространстве любые две декартовы системы координат с общим началом координат связаны вращением вокруг некоторой фиксированной оси. Это также означает, что произведение двух матриц вращения снова является матрицей вращения, и что для неединичной матрицы вращения одно собственное значение равно 1, а два других либо комплексные, либо оба равны −1. Собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, является осью вращения, соединяющей две системы координат.
Доказательство
Оригинальное доказательство Эйлера было построено на основе сферической геометрии, поэтому, когда он упоминает треугольники, их следует понимать как сферические.
Предыдущий анализ
Чтобы прийти к доказательству, Эйлер анализирует, как выглядела бы ситуация, если бы теорема была верна. Для этого предположим, что жёлтая линия на рисунке 1 проходит через центр сферы и является искомой осью вращения, а точка 'O' – одна из двух точек пересечения этой оси со сферой. Затем он рассматривает произвольный большой круг, не содержащий 'O' (синий круг), и его образ после вращения (красный круг), который также является большим кругом, не содержащим 'O'. Он обозначает точку пересечения этих кругов как точку 'A'. (Если круги совпадают, то 'A' можно принять за любую точку на любом из них; иначе 'A' – одна из двух точек пересечения.) Теперь 'A' лежит на исходном круге (синем круге), поэтому её образ будет лежать на перенесённом круге (красном). Он обозначает этот образ точкой 'a'. Поскольку 'A' также лежит на перенесённом круге (красном), она является образом другой точки, лежащей на исходном круге (синем), и обозначает эту прообраз как 'α' (см. рисунок 2). Затем он рассматривает две дуги, соединяющие 'α' и 'a' с 'A'. Эти дуги имеют одинаковую длину, так как дуга 'αA' переходит в дугу 'Aa'. Кроме того, поскольку 'O' – фиксированная точка, треугольник 'αOA' переходит в треугольник 'AOa', следовательно, эти треугольники равнобедренные, а дуга 'AO' делит пополам угол ∠'αAa'.
Создание наилучшей точки-кандидата
Давайте построим точку, которая может быть инвариантной, исходя из предыдущих соображений. Начнем с синего большого круга и его образа при преобразовании, которым является красный большой круг, как показано на рисунке 1. Пусть точка 'A' будет точкой пересечения этих кругов. Если образ точки 'A' при преобразовании совпадает с самой точкой 'A', то 'A' является неподвижной точкой преобразования, и поскольку центр также является неподвижной точкой, диаметр сферы, содержащей 'A', является осью вращения, и теорема доказана. В противном случае обозначим образ точки 'A' как 'a', а ее прообраз как 'α', и соединим эти две точки с точкой 'A' дугами 'αA' и 'Aa'. Эти дуги имеют одинаковую длину. Построим большой круг, который делит пополам угол 'αAa', и выберем на этом большом круге точку 'O' так, чтобы дуги 'AO' и 'aO' были равны, и назовем область сферы, содержащую 'O' и ограниченную синим и красным большими кругами, внутренностью угла 'αAa'. (То есть, желтую область на рисунке 3). Тогда, поскольку и 'O' лежит на биссектрисе угла 'αAa', мы также имеем .
Доказательство его инвариантности при преобразовании
Теперь предположим, что 'O′' является образом точки 'O'. Тогда мы знаем, что сохраняется ориентация, поэтому 'O′' должно лежать внутри угла 'αAa'. Теперь отрезок 'AO' переходит в отрезок 'aO′', следовательно, поскольку 'AO' имеет ту же длину, что и 'aO', то и Но , поэтому и Следовательно, 'O′' совпадает с точкой 'O'. Иными словами, 'O' является неподвижной точкой преобразования, и поскольку центр также является неподвижной точкой, диаметр сферы, содержащей 'O', является осью вращения.
Эквивалентность ортогональной матрицы и ротационной матрицы
Две матрицы (представляющие линейные отображения) считаются эквивалентными, если существует смена базиса, при которой одна из них становится равной другой. Правильная ортогональная матрица всегда эквивалентна (в этом смысле) либо следующей матрице, либо ее зеркальному отражению по вертикали. Следовательно, любая ортогональная матрица является либо вращением, либо несобственным вращением. Общая ортогональная матрица имеет только одно вещественное собственное значение, равное либо +1, либо −1. Если это +1, то матрица является вращением. Если −1, то матрица является несобственным вращением. Если матрица R имеет более одного инвариантного вектора, то и любой вектор является инвариантным вектором для единичной матрицы I.
Then, any orthogonal matrix is either a rotation or an improper rotation. A general orthogonal matrix has only one real eigenvalue, either +1 or −1. When it is +1 the matrix is a rotation. When −1, the matrix is an improper rotation. If 'R' has more than one invariant vector then and Any vector is an invariant vector of 'I'.
Классы эквивалентности
Следовательно, след (сумма диагональных элементов) указанной выше матрицы реального вращения равен 1 + 2 cos φ. Поскольку след инвариантен относительно преобразования подобия с помощью ортогональной матрицы, следует, что все матрицы, эквивалентные 'R' посредством таких ортогональных преобразований, имеют один и тот же след: след является классовой функцией. Это преобразование матрицы является очевидным отношением эквивалентности, то есть все такие эквивалентные матрицы образуют класс эквивалентности. Фактически, все собственные матрицы вращения 3 × 3 образуют группу, обычно обозначаемую SO(3) (специальная ортогональная группа в 3 измерениях), и все матрицы с одинаковым следом образуют класс эквивалентности в этой группе. Все элементы такого класса эквивалентности имеют общий угол вращения, но все вращения происходят вокруг различных осей. Если 'n' является собственным вектором 'R' с собственным значением 1, то 'An' также является собственным вектором 'ARAᵀ', также с собственным значением 1. При условии, что 'n' и 'An' различны.
it follows that all matrices that are equivalent to 'R' by such orthogonal matrix transformations have the same trace: the trace is a class function. This matrix transformation is clearly an equivalence relation, that is, all such equivalent matrices form an equivalence class. In fact, all proper rotation 3 × 3 rotation matrices form a group, usually denoted by SO(3) (the special orthogonal group in 3 dimensions) and all matrices with the same trace form an equivalence class in this group. All elements of such an equivalence class share their rotation angle, but all rotations are around different axes. If 'n' is an eigenvector of 'R' with eigenvalue 1, then 'An' is also an eigenvector of 'ARA'T, also with eigenvalue 1. Unless , 'n' and 'An' are different.
Генераторы вращения
Предположим, мы задаём ось вращения единичным вектором [x, y, z], и предположим, что у нас есть бесконечно малое вращение на угол Δθ вокруг этого вектора. Разлагая матрицу вращения как бесконечную сумму и используя приближение первого порядка, матрица вращения ΔR представляется как:
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ as where N is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
It can be seen that Euler's theorem essentially states that all rotations may be represented in this form. The product 'A'θ is the "generator" of the particular rotation, being the vector (x,y,z) associated with the matrix 'A'. This shows that the rotation matrix and the axis–angle format are related by the exponential function. One can derive a simple expression for the generator 'G'. One starts with an arbitrary plane (in Euclidean space) defined by a pair of perpendicular unit vectors 'a' and 'b'. In this plane one can choose an arbitrary vector 'x' with perpendicular 'y'. One then solves for 'y' in terms of 'x' and substituting into an expression for a rotation in a plane yields the rotation matrix 'R' which includes the generator
To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for 'R' by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.
Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность малых вращений вокруг той же оси. Аппроксимируя Δθ как , где N – большое число, вращение на угол θ вокруг оси можно представить как:
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ as where N is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
It can be seen that Euler's theorem essentially states that all rotations may be represented in this form. The product 'A'θ is the "generator" of the particular rotation, being the vector (x,y,z) associated with the matrix 'A'. This shows that the rotation matrix and the axis–angle format are related by the exponential function. One can derive a simple expression for the generator 'G'. One starts with an arbitrary plane (in Euclidean space) defined by a pair of perpendicular unit vectors 'a' and 'b'. In this plane one can choose an arbitrary vector 'x' with perpendicular 'y'. One then solves for 'y' in terms of 'x' and substituting into an expression for a rotation in a plane yields the rotation matrix 'R' which includes the generator
To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for 'R' by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.
Можно увидеть, что теорема Эйлера по сути утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Произведение 'A'θ является "генератором" данного вращения, представляя собой вектор (x, y, z), связанный с матрицей 'A'. Это показывает, что матрица вращения и представление оси-угла связаны экспоненциальной функцией. Можно вывести простое выражение для генератора 'G'. Начинаем с произвольной плоскости (в евклидовом пространстве), определяемой парой перпендикулярных единичных векторов 'a' и 'b'. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор 'x' с перпендикулярным ему вектором 'y'. Затем решаем уравнение относительно 'y' через 'x' и, подставляя в выражение для вращения в плоскости, получаем матрицу вращения 'R', включающую генератор.
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ as where N is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
It can be seen that Euler's theorem essentially states that all rotations may be represented in this form. The product 'A'θ is the "generator" of the particular rotation, being the vector (x,y,z) associated with the matrix 'A'. This shows that the rotation matrix and the axis–angle format are related by the exponential function. One can derive a simple expression for the generator 'G'. One starts with an arbitrary plane (in Euclidean space) defined by a pair of perpendicular unit vectors 'a' and 'b'. In this plane one can choose an arbitrary vector 'x' with perpendicular 'y'. One then solves for 'y' in terms of 'x' and substituting into an expression for a rotation in a plane yields the rotation matrix 'R' which includes the generator
To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for 'R' by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.
Для включения векторов, лежащих вне плоскости, в вращение необходимо модифицировать вышеуказанное выражение для 'R', добавив два оператора проекции, которые разделяют пространство. Эта модифицированная матрица вращения может быть переписана в виде экспоненциальной функции. Анализ часто проще проводить с точки зрения этих генераторов, чем с использованием полной матрицы вращения. Анализ с точки зрения генераторов известен как алгебра Ли группы вращений.
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ as where N is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
It can be seen that Euler's theorem essentially states that all rotations may be represented in this form. The product 'A'θ is the "generator" of the particular rotation, being the vector (x,y,z) associated with the matrix 'A'. This shows that the rotation matrix and the axis–angle format are related by the exponential function. One can derive a simple expression for the generator 'G'. One starts with an arbitrary plane (in Euclidean space) defined by a pair of perpendicular unit vectors 'a' and 'b'. In this plane one can choose an arbitrary vector 'x' with perpendicular 'y'. One then solves for 'y' in terms of 'x' and substituting into an expression for a rotation in a plane yields the rotation matrix 'R' which includes the generator
To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for 'R' by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.
Кватернионы
Из теоремы Эйлера следует, что относительная ориентация любой пары координатных систем может быть задана набором из трех независимых чисел. Иногда для упрощения операций с кватернионной алгеброй добавляется избыточное четвертое число. Три из этих чисел – это направляющие косинусы, определяющие ориентацию собственного вектора. Четвертое число – это угол поворота вокруг собственного вектора, разделяющий два набора координат. Такой набор из четырех чисел называется кватернионом. Хотя кватернион, как описано выше, не содержит комплексных чисел, при использовании кватернионов для описания двух последовательных вращений, их необходимо комбинировать с помощью некоммутативной кватернионной алгебры, разработанной Уильямом Роуэном Гамильтоном с использованием мнимых чисел. Вычисление вращения с помощью кватернионов заменило использование направляющих косинусов в аэрокосмической отрасли благодаря сокращению объема необходимых вычислений и способности минимизировать ошибки округления. Кроме того, в компьютерной графике важна возможность относительно легко выполнять сферическую интерполяцию между кватернионами.
Обобщения
В более высоких измерениях любое жесткое движение, сохраняющее точку в пространстве размерности 2n или 2n + 1, является композицией не более чем из n вращений в ортогональных плоскостях, хотя эти плоскости не обязательно определены однозначно, и жесткое движение может фиксировать несколько осей. Кроме того, любое жесткое движение, сохраняющее n линейно независимых точек, образующих n-мерное тело в пространстве размерности 2n или 2n + 1, соответствует вращению вокруг одной плоскости. Иными словами, если два жестких тела с одинаковой геометрией имеют не менее n точек с совпадающими координатами, образующих n-мерную выпуклую оболочку, то одно плоское вращение может точно совместить одно тело с другим в пространстве размерности 2n или 2n + 1. Жесткое движение в трех измерениях, не обязательно фиксирующее точку, называется винтовым движением. Это происходит потому, что композиция вращения с трансляцией, перпендикулярной оси вращения, эквивалентна вращению вокруг параллельной оси, а композиция с трансляцией, параллельной оси вращения, приводит к винтовому движению; см. ось винта. Это является основой винтовой теории.