Кіріспе
Математикада симметриялық топтың бейнелеу теориясы – шекті топтардың бейнелеу теориясының ерекше жағдайы болып табылады, онда нақты және толыққанды теорияны алу мүмкін. Бұл симметриялық функциялар теориясынан бастап, атомдардың, молекулалардың және қатты денелердің кванттық химиялық зерттеулеріне дейін көптеген қолданыс аландарына ие. Симметриялық топ Sn-нің реті n! тең. Оның конъюгациялық кластары n санының бөліністерімен сипатталады. Сондықтан, шекті топтардың бейнелеу теориясына сәйкес, комплекс сандар бойынша эквивалентті емес, ирредукцияланатын бейнелеулердің саны n санының бөліністерінің санына тең. Шекті топтар үшін жалпы жағдайдан өзгеше, ирредукцияланатын бейнелеулерді конъюгациялық кластарды параметрлейтін сол жиынмен, атап айтқанда n санының бөліністерімен немесе эквивалентті түрде n өлшемді Янг диаграммаларымен параметрлеудің табиғи тәсілі бар. Мұндай әрбір ирредукцияланатын бейнелеуді бүтін сандар арқылы жүзеге асыруға болады (әрбір алмастыру бүтін сандық коэффициенттері бар матрица арқылы әрекет етеді); оны Янг диаграммасымен берілген пішіндегі Янг кестелерімен құрылған кеңістікте әрекет ететін Янг симметризаторларын есептеу арқылы нақты құрастыруға болады. Янг диаграммасына сәйкес бейнелеудің өлшемі ілгек ұзындығы формуласымен беріледі. Әрбір ирредукцияланатын ρ бейнелеуіне сәйкес ирредукцияланатын χρ сипаттамасын қосуға болады. χρ(π) есептеу үшін, мұнда π – алмастыру, комбинаторлық Мурнаган-Накаяма ережесін қолдануға болады. Басқа өрістерде жағдай әлдеқайда күрделі болуы мүмкін. Егер K өрісінің сипаттамасы 0-ге тең немесе n-ден үлкен болса, онда Машке теоремасы бойынша топтық алгебра KSn жартылай жайлы болады. Бұл жағдайларда бүтін сандар бойынша анықталған ирредукцияланатын бейнелеулер ирредукцияланатын бейнелеулердің толық жиынтығын береді (қажет болған жағдайда, сипаттама бойынша модулі бойынша төмендету арқылы). Алайда, симметриялық топтың ирредукцияланатын бейнелеулері кездейсоқ сипаттамада белгілі емес. Бұл жағдайда бейнелеулер емес, модульдер тілін қолдану жиі кездеседі. Сипаттаманы модульді азайту арқылы бүтін сандар бойынша анықталған ирредукцияланатын бейнелеуден алынған бейнелеу, жалпы алғанда, ирредукциялана бермейді. Осылай құрастырылған модульдер Спехт модульдері деп аталады, және әрбір ирредукцияланатын модуль осындай модульдің ішінде пайда болады. Қазір ирредукцияланатын модульдердің саны азайды, оларды жіктеуге болатынына қарамастан, олар туралы білім жеткіліксіз. Мысалы, олардың өлшемдері де жалпы жағдайда белгілі емес. Симметриялық топтың кездейсоқ өрістегі ирредукцияланатын модульдерін анықтау бейнелеу теориясындағы маңызды ашық мәселелердің бірі саналады.
Each such irreducible representation can in fact be realized over the integers (every permutation acting by a matrix with integer coefficients); it can be explicitly constructed by computing the Young symmetrizers acting on a space generated by the Young tableaux of shape given by the Young diagram. The dimension of the representation that corresponds to the Young diagram is given by the hook length formula. To each irreducible representation ρ we can associate an irreducible character, χρ. To compute χρ(π) where π is a permutation, one can use the combinatorial Murnaghan–Nakayama rule Note that χρ is constant on conjugacy classes,
that is, χρ(π) = χρ(σ−1πσ) for all permutations σ. Over other fields the situation can become much more complicated. If the field K has characteristic equal to zero or greater than n then by Maschke's theorem the group algebra KSn is semisimple. In these cases the irreducible representations defined over the integers give the complete set of irreducible representations (after reduction modulo the characteristic if necessary). However, the irreducible representations of the symmetric group are not known in arbitrary characteristic. In this context it is more usual to use the language of modules rather than representations. The representation obtained from an irreducible representation defined over the integers by reducing modulo the characteristic will not in general be irreducible. The modules so constructed are called Specht modules, and every irreducible does arise inside some such module. There are now fewer irreducibles, and although they can be classified they are very poorly understood. For example, even their dimensions are not known in general. The determination of the irreducible modules for the symmetric group over an arbitrary field is widely regarded as one of the most important open problems in representation theory.
Бірін-бірі ауыстыратын топтар
Бір-бірін алмастыратын топтардың бейнелеу теориясы ұқсас, бірақ таңба бейнелеуі жоғалады. n ≥ 7 үшін ең төмен өлшемді азайтылмайтын бейнелеулер – бірінші өлшемдегі тривиалды бейнелеу және пермутациялық бейнелеудің басқа қосылғысынан (n − 1) өлшемді бейнелеу, ал қалған барлық азайтылмайтын бейнелеулер жоғары өлшемді, бірақ кіші n үшін ерекшеліктер бар. n ≥ 5 үшін кезектесетін топтарда тек бір өлшемді азайтылмайтын бейнелеу, яғни тривиалды бейнелеу ғана бар. 1=n = 3, 4 үшін 3 реттік циклдық топқа сәйкес келетін қосымша екі бір өлшемді азайтылмайтын бейнелеу бар: A3 ≅ C3 және A4 → A4/V ≅ C3. n ≥ 7 үшін n - 1 дәрежелі тек бір ғана азайтылмайтын бейнелеу бар, және бұл тривиалды емес азайтылмайтын бейнелеудің ең кіші дәрежесі. 1=n = 3 үшін (n − 1) өлшемді бейнелеудің айқын аналогы азайтылатын болады – пермутациялық бейнелеу тұрақты бейнелеумен сәйкес келеді, сондықтан A3 ≅ C3 абельдік болғандықтан, үш бір өлшемді бейнелеуге бөлінеді; циклдық топтардың бейнелеу теориясы үшін дискретті Фурье түрленуін қараңыз. 1=n = 4 үшін тек бір n − 1 азайтылмайтын бейнелеу бар, бірақ 1 өлшемді ерекше азайтылмайтын бейнелеулер де бар. 1=n = 5 үшін 3 өлшемді екі еселік азайтылмайтын бейнелеу бар, бұл оның икосаэдрлік симметрия ретінде әрекет етуіне сәйкес келеді. 1=n = 6 үшін A5-тің A6-ға ерекше транзитивті енуіне сәйкес келетін 5 өлшемді қосымша азайтылмайтын бейнелеу бар.
The alternating groups for n ≥ 5 have only one one dimensional irreducible representation, the trivial representation. For 1=n = 3, 4 there are two additional one dimensional irreducible representations, corresponding to maps to the cyclic group of order 3: A3 ≅ C3 and A4 → A4/V ≅ C3. For n ≥ 7, there is just one irreducible representation of degree n − 1, and this is the smallest degree of a non trivial irreducible representation. For 1=n = 3 the obvious analogue of the (n − 1) dimensional representation is reducible – the permutation representation coincides with the regular representation, and thus breaks up into the three one dimensional representations, as A3 ≅ C3 is abelian; see the discrete Fourier transform for representation theory of cyclic groups. For 1=n = 4, there is just one n − 1 irreducible representation, but there are the exceptional irreducible representations of dimension 1. For 1=n = 5, there are two dual irreducible representations of dimension 3, corresponding to its action as icosahedral symmetry. For 1=n = 6, there is an extra irreducible representation of dimension 5 corresponding to the exceptional transitive embedding of A5 in A6.