Введение
В математике теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп, для которой можно получить конкретную и детальную теорию. Это имеет широкую область потенциальных применений, от теории симметричных функций до квантово-химических исследований атомов, молекул и твердых тел. Симметрическая группа Sn имеет порядок n!. Ее классы сопряженности обозначаются разбиениями числа n. Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу разбиений n. В отличие от общей ситуации для конечных групп, существует естественный способ параметризовать неприводимые представления тем же множеством, что и классы сопряженности, а именно разбиениями n или, эквивалентно, диаграммами Юнга размера n. Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целочисленными коэффициентами); оно может быть явно построено путем вычисления симметризаторов Юнга, действующих на пространство, порожденное таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга. Размер представления, соответствующего диаграмме Юнга, задается формулой длины крюка. Каждому неприводимому представлению ρ можно сопоставить неприводимый характер χρ. Для вычисления χρ(π), где π — перестановка, можно использовать комбинаторное правило Мурнагана — Накаямы. Обратите внимание, что χρ постоянен на классах сопряженности, то есть χρ(π) = χρ(σ⁻¹πσ) для всех перестановок σ. Над другими полями ситуация может стать гораздо сложнее. Если поле K имеет характеристику, равную нулю или большую, чем n, то по теореме Машке групповая алгебра KSn полупроста. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после сведения по модулю характеристики, если это необходимо). Однако неприводимые представления симметрической группы не известны в произвольной характеристике. В этом контексте более принято использовать язык модулей, чем представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами, путем сведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Спехта, и каждое неприводимое представление содержится в некотором таком модуле. Количество неприводимых представлений в этом случае меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размерности не известны в общем случае. Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем широко признано одной из важнейших нерешенных проблем в теории представлений.
Each such irreducible representation can in fact be realized over the integers (every permutation acting by a matrix with integer coefficients); it can be explicitly constructed by computing the Young symmetrizers acting on a space generated by the Young tableaux of shape given by the Young diagram. The dimension of the representation that corresponds to the Young diagram is given by the hook length formula. To each irreducible representation ρ we can associate an irreducible character, χρ. To compute χρ(π) where π is a permutation, one can use the combinatorial Murnaghan–Nakayama rule Note that χρ is constant on conjugacy classes,
that is, χρ(π) = χρ(σ−1πσ) for all permutations σ. Over other fields the situation can become much more complicated. If the field K has characteristic equal to zero or greater than n then by Maschke's theorem the group algebra KSn is semisimple. In these cases the irreducible representations defined over the integers give the complete set of irreducible representations (after reduction modulo the characteristic if necessary). However, the irreducible representations of the symmetric group are not known in arbitrary characteristic. In this context it is more usual to use the language of modules rather than representations. The representation obtained from an irreducible representation defined over the integers by reducing modulo the characteristic will not in general be irreducible. The modules so constructed are called Specht modules, and every irreducible does arise inside some such module. There are now fewer irreducibles, and although they can be classified they are very poorly understood. For example, even their dimensions are not known in general. The determination of the irreducible modules for the symmetric group over an arbitrary field is widely regarded as one of the most important open problems in representation theory.
Сменные группы
Теория представлений чередующихся групп схожа, хотя представление знака исчезает. Для n ≥ 7 наименьшими по размерности неприводимыми представлениями являются тривиальное представление размерности 1 и (n − 1)-мерное представление, полученное из другой составляющей пермутационного представления, при этом все остальные неприводимые представления имеют большую размерность, но существуют исключения для меньших n.
Для чередующихся групп при n ≥ 5 существует только одно одномерное неприводимое представление – тривиальное представление. Для n = 3, 4 существуют два дополнительных одномерных неприводимых представления, соответствующих отображениям в циклическую группу порядка 3: A3 ≅ C3 и A4 → A4/V ≅ C3. Для n ≥ 7 существует только одно неприводимое представление степени n − 1, и это наименьшая степень нетривиального неприводимого представления. Для n = 3 очевидный аналог (n − 1)-мерного представления является приводимым – представление перестановки совпадает с регулярным представлением и, следовательно, распадается на три одномерных представления, поскольку A3 ≅ C3 является абелевой группой; см. дискретное преобразование Фурье для теории представлений циклических групп. Для n = 4 существует только одно (n − 1)-мерное неприводимое представление, но существуют исключительные неприводимые представления размерности 1. Для n = 5 существуют два сопряженных неприводимых представления размерности 3, соответствующие его действию как икосаэдрической симметрии. Для n = 6 существует дополнительное неприводимое представление размерности 5, соответствующее исключительной транзитивной вложенности A5 в A6.