Шур көрсеткіші: ықшам топтардың берілген түсірілімдеріндегі инвариантты екі сызықты формаларды сипаттайды. Нақты және кешенді түсірілімдерді жіктеуге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе бейнелеу теориясы саласында, Шур көрсеткіші, Иссаи Шурдың есімімен аталатын немесе Фробениус–Шур көрсеткіші, кешенді векторлық кеңістіктегі компактты топтың берілген түгелдей азаймайтын бейнелеуінің қандай инвариантты екісызықтық формаларына ие екенін сипаттайды. Оны нақты векторлық кеңістіктердегі компактты топтардың түгелдей азаймайтын бейнелеулерін жіктеу үшін пайдалануға болады.
In mathematics, and especially the discipline of representation theory, the Schur indicator, named after Issai Schur, or Frobenius–Schur indicator describes what invariant bilinear forms a given irreducible representation of a compact group on a complex vector space has. It can be used to classify the irreducible representations of compact groups on real vector spaces.
Шындыққа қайшы келетін бейнелеулер
Шур леммасы бойынша, топтың әрекетімен коммутациялайтын эндоморфизм сақинасы – нақты ассоциативті бөліну алгебрасы және Фробень теоремасы бойынша, ол тек нақты сандарға, кешенді сандарға немесе кватерниондарға изоморфты бола алады. Егер сақина нақты сандар болса, онда V⊗C – Шур көрсеткіші 1-ге тең болатын қайталанбайтын кешенді бейнелеу, сондай-ақ нақты бейнелеу деп те аталады. Егер сақина кешенді сандар болса, онда V екі түрлі конъюгацияланған кешенді құрылымға ие, бұл Шур көрсеткіші 0-ге тең екі қайталанбайтын кешенді бейнелеуді береді, олар кейде кешенді бейнелеулер деп аталады. Егер сақина кватерниондар болса, онда кватерниондардың кешенді сандарға изоморфты кіші сақинасын таңдау V-ді Шур көрсеткіші -1-ге тең G-дің қайталанбайтын кешенді бейнелеуіне айналдырады, оны кватерниондық бейнелеу деп атайды. Сонымен қатар, кешенді векторлық кеңістіктегі кез келген қайталанбайтын бейнелеу жоғарыда аталған үш жолдың бірінде нақты векторлық кеңістіктегі бірегей қайталанбайтын бейнелеуден құрастырылуы мүмкін. Демек, кешенді кеңістіктердегі қайталанбайтын бейнелеулерді және олардың Шур көрсеткіштерін білу нақты кеңістіктердегі қайталанбайтын бейнелеулерді анықтауға мүмкіндік береді. Нақты бейнелеулерді сол өлшемдегі кешенді бейнелеуге кешендеуге болады, ал кешенді бейнелеулерді нақты және жорамал компоненттерін бөлек қарастыру арқылы екі еселенген өлшемдегі нақты бейнелеуге айналдыруға болады. Сондай-ақ, барлық шекті өлшемді кешенді бейнелеулерді унитарлық бейнелеуге айналдыруға болатындықтан, унитарлық бейнелеулер үшін дуалды бейнелеу де (кешенді) конъюгатты бейнелеу болып табылады, өйткені Гильберт кеңістігінің нормасы бейнелеуден оның дуалды бейнелеуіне антилинейлі, биективті түрлендіруді қамтамасыз етеді. Өзіне-дуалды кешенді қайталанбайтын бейнелеулер бірдей өлшемдегі нақты қайталанбайтын бейнелеулерге немесе кватерниондық бейнелеулер деп аталатын екі еселенген өлшемдегі нақты қайталанбайтын бейнелеулерге сәйкес келеді (бірақ екеуіне де емес), ал өзіне-дуалды емес кешенді қайталанбайтын бейнелеулер екі еселенген өлшемдегі нақты қайталанбайтын бейнелеуге сәйкес келеді. Соңғы жағдайда, кешенді қайталанбайтын бейнелеу де, оның дуалы да бірдей нақты қайталанбайтын бейнелеуді тудырады. Кватерниондық бейнелеудің мысалы – кватернион тобы Q8-дің төрт өлшемді нақты қайталанбайтын бейнелеуі.
There are three types of irreducible real representations of a finite group on a real vector space V, as Schur's lemma implies that the endomorphism ring commuting with the group action is a real associative division algebra and by the Frobenius theorem can only be isomorphic to either the real numbers, or the complex numbers, or the quaternions. If the ring is the real numbers, then V⊗C is an irreducible complex representation with Schur indicator 1, also called a real representation. If the ring is the complex numbers, then V has two different conjugate complex structures, giving two irreducible complex representations with Schur indicator 0, sometimes called complex representations. If the ring is the quaternions, then choosing a subring of the quaternions isomorphic to the complex numbers makes V into an irreducible complex representation of G with Schur indicator −1, called a quaternionic representation. Moreover every irreducible representation on a complex vector space can be constructed from a unique irreducible representation on a real vector space in one of the three ways above. So knowing the irreducible representations on complex spaces and their Schur indicators allows one to read off the irreducible representations on real spaces. Real representations can be complexified to get a complex representation of the same dimension and complex representations can be converted into a real representation of twice the dimension by treating the real and imaginary components separately. Also, since all finite dimensional complex representations can be turned into a unitary representation, for unitary representations the dual representation is also a (complex) conjugate representation because the Hilbert space norm gives an antilinear bijective map from the representation to its dual representation. Self dual complex irreducible representation correspond to either real irreducible representation of the same dimension or real irreducible representations of twice the dimension called quaternionic representations (but not both) and non self dual complex irreducible representation correspond to a real irreducible representation of twice the dimension. Note for the latter case, both the complex irreducible representation and its dual give rise to the same real irreducible representation. An example of a quaternionic representation would be the four dimensional real irreducible representation of the quaternion group Q8.
Симметриялық және ауыспалы квадрат бойынша анықтамасы
Егер топтың бейнеленуінің негізгі векторлық кеңістігі болса, онда тензорлық көбейтінді бейнеленуі екі суббейнеленудің тікелей қосындысы ретінде жіктеледі: симметриялық квадрат, (әдетте немесе деп белгіленеді) және антисимметриялық квадрат, (әдетте , немесе деп белгіленеді). Осы квадраттық бейнелеулер тұрғысынан индикатордың келесідей, баламалы анықтамасы бар:
If is the underlying vector space of a representation of a group , then the tensor product representation can be decomposed as the direct sum of two subrepresentations, the symmetric square, denoted (also often denoted by or ) and the alternating square, (also often denoted by , , or ). In terms of these square representations, the indicator has the following, alternate definition:
мұнда тривиальді бейнелеу. Бұл осы бейнелеулердің кейіптерінде табиғи түрде пайда болатынын ескеріңіз; атап айтқанда, бізде және . Осы формулалардың бірін қойғанда, Фробениус-Шур индикаторы сыныптық функциялар бойынша табиғи инвариантты ішкі көбейтіндінің құрылымын алады: ішкі көбейтінді тікелей қосынды құраушылардың көптігін есептейді; анықтамалардың эквиваленттігі осыдан бірден шығады.
where is the trivial representation. To see this, note that the term naturally arises in the characters of these representations; to wit, we haveand. Substituting either of these formulae, the Frobenius–Schur indicator takes on the structure of the natural invariant inner product on class functions:The inner product counts the multiplicities of direct summands; the equivalence of the definitions then follows immediately.