Введение
В математике, и особенно в теории представлений, индикатор Шура, названный в честь Иссая Шура, или индикатор Фробениуса — Шура, описывает, какие инвариантные билинейные формы имеет заданное неприводимое представление компактной группы на комплексном векторном пространстве. Его можно использовать для классификации неприводимых представлений компактных групп на вещественных векторных пространствах.
Реальные неснижаемые представления
Существует три типа нередуцируемых действительных представлений конечной группы на реальном векторном пространстве V, поскольку лемма Шура подразумевает, что кольцо эндоморфизмов, коммутирующее с групповым действием, является реальной ассоциативной алгеброй деления, и по теореме Фробениуса может быть изоморфно только действительным числам, комплексным числам или кватернионам. Если кольцо изоморфно действительным числам, то V ⊗ C является нередуцируемым комплексным представлением с индикатором Шура 1, также называемым действительным представлением. Если кольцо изоморфно комплексным числам, то V имеет две различные сопряжённые комплексные структуры, дающие два неразложимых комплексных представления с индикатором Шура 0, иногда называемые комплексными представлениями. Если кольцо изоморфно кватернионам, то выбор подкольца кватернионов, изоморфного комплексным числам, превращает V в нередуцируемое комплексное представление G с индикатором Шура −1, называемое кватернионным представлением. Более того, каждое нередуцируемое представление на комплексном векторном пространстве может быть построено из единственного нередуцируемого представления на реальном векторном пространстве одним из трех вышеописанных способов. Таким образом, знание нередуцируемых представлений на комплексных пространствах и их индикаторов Шура позволяет определить нередуцируемые представления на реальных пространствах. Действительные представления можно комплексифицировать, чтобы получить комплексное представление той же размерности, а комплексные представления можно преобразовать в действительное представление вдвое большей размерности, рассматривая вещественные и мнимые компоненты по отдельности. Также, поскольку все конечномерные комплексные представления можно преобразовать в унитарные представления, для унитарных представлений двойственное представление также является (комплексным) сопряжённым представлением, поскольку норма гильбертова пространства задаёт антилинейное биективное отображение из представления в его двойственное представление. Самодвойственные комплексные нередуцируемые представления соответствуют либо действительным нередуцируемым представлениям той же размерности, либо действительным нередуцируемым представлениям вдвое большей размерности, называемым кватернионными представлениями (но не обоим), а несамодвойственные комплексные нередуцируемые представления соответствуют действительным нередуцируемым представлениям вдвое большей размерности. Следует отметить, что в последнем случае как комплексное нередуцируемое представление, так и его двойственное порождают одно и то же действительное нередуцируемое представление. Примером кватернионного представления является четырехмерное действительное нередуцируемое представление кватернионной группы Q8.
Определение в терминах симметричного и чередующегося квадрата
Если $\mathfrak{g}$ является базовым векторным пространством представления группы $G$, то тензорное произведение представлений $\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$ может быть разложено как прямая сумма двух подпредставлений: симметричного квадрата, обозначаемого $S^2\mathfrak{g}$ (также часто обозначаемого $Sym^2\mathfrak{g}$ или $\mathfrak{g}^2$) и антисимметричного квадрата, обозначаемого $\wedge^2\mathfrak{g}$ (также часто обозначаемого $\text{Alt}^2\mathfrak{g}$, $\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g}$ или $\Lambda^2\mathfrak{g}$). В терминах этих квадратных представлений, индикатор имеет следующее альтернативное определение:
where is the trivial representation. To see this, note that the term naturally arises in the characters of these representations; to wit, we haveand. Substituting either of these formulae, the Frobenius–Schur indicator takes on the structure of the natural invariant inner product on class functions:The inner product counts the multiplicities of direct summands; the equivalence of the definitions then follows immediately.
где $1$ – тривиальное представление. Чтобы понять это, заметим, что член $\text{tr}$ естественно возникает в характерах этих представлений; а именно, у нас есть $\text{tr}_{S^2\mathfrak{g}} = \text{tr}_{\mathfrak{g}}^2$ и $\text{tr}_{\wedge^2\mathfrak{g}} = \text{tr}_{\mathfrak{g}}^2 - \text{tr}_{\mathfrak{g}}$. Подставляя любую из этих формул, индикатор Фробениуса — Шура принимает структуру естественного инвариантного внутреннего произведения на классовых функциях:
where is the trivial representation. To see this, note that the term naturally arises in the characters of these representations; to wit, we haveand. Substituting either of these formulae, the Frobenius–Schur indicator takes on the structure of the natural invariant inner product on class functions:The inner product counts the multiplicities of direct summands; the equivalence of the definitions then follows immediately.
Внутреннее произведение подсчитывает кратности прямых слагаемых; эквивалентность определений тогда следует непосредственно.
where is the trivial representation. To see this, note that the term naturally arises in the characters of these representations; to wit, we haveand. Substituting either of these formulae, the Frobenius–Schur indicator takes on the structure of the natural invariant inner product on class functions:The inner product counts the multiplicities of direct summands; the equivalence of the definitions then follows immediately.